3.1.1 基本计数原理(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

书 练案［１］ 第三章　 排列、组合与二项式定理 ３． １　 ［３． １． １　 基本计数原理］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．一个袋子里放有６个球，另一个袋子里放有８ 个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个 球，不同取法的种数为 （Ｃ ） Ａ． １８２ Ｂ． １４ Ｃ． ４８ Ｄ． ９１ ２．把１０个苹果分成三堆，要求每堆至少有１个， 至多５个，则不同的分法共有 （Ａ ） Ａ． ４种 Ｂ． ５种 Ｃ． ６种 Ｄ． ７种 ３．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可 供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻 区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为 （Ｃ ） Ａ． ２４种 Ｂ． ４８种 Ｃ． ７２种 Ｄ． ９６种 ４．已知函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，其中ａ、ｂ、ｃ∈｛０，１， ２，３，４｝，则不同的二次函数的个数共有（Ｃ ） Ａ． １２５个 Ｂ． １５个 Ｃ． １００个 Ｄ． １０个 ５．体育老师把９个相同的足球放入编号为１，２， ３的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不 小于其编号，则不同的放球方法有 （Ｂ ） Ａ． ８种 Ｂ． １０种 Ｃ． １２种 Ｄ． １６种 二、填空题 ６．如图，在由开关组Ａ与Ｂ组成的并联电路（规 定只能合上其中一个开关）中，接通电源使灯 泡发光的方法有　 　 　 　 种． ７．有Ａ、Ｂ、Ｃ型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、 丁４名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操 作三种型号的电脑，丙不会操作Ｃ型号的电 脑，而丁只会操作Ａ型号的电脑．从这４名操 作人员中选３人分别去操作这三种型号的电 脑，则不同的选派方法有　 　 　 　 种． ８．由０，１，２，３，４，５，６这７个数字可以组成 　 　 　 　 个无重复数字的四位偶数． 三、解答题 ９．已知ａ∈｛３，４，６｝，ｂ∈｛１，２，７，８｝，ｒ∈｛８，９｝， 则方程（ｘ － ａ）２ ＋（ｙ － ｂ）２ ＝ ｒ２ 可表示不同的 圆的个数是多少？ １０．一个袋子里装有１０张不同的中国移动手机 卡，另一个袋子里装有１２张不同的中国联通 手机卡． （１）某人要从两个袋子中任取一张供自己使 用的手机卡，共有多少种不同的取法？ （２）某人手机是双卡双待机，想得到一张移 动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共 有多少种不同的取法                                                               ？ —０７７— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．用０，１，…，９十个数字，可以组成有重复数字 的三位数的个数为 （Ｂ ） Ａ． ２４３ Ｂ． ２５２ Ｃ． ２６１ Ｄ． ２７９ ２．大学生小王和小张即将参加实习，他们分别 从荆州市荆州中学，荆门市龙泉中学、钟祥一 中，襄阳市第四中学、第五中学，宜昌市第一 中学、夷陵中学这七所省重点中学中随机选 择一所参加实习，两人可选同一所或者两所 不同的学校，假设他们选择哪所学校是等可 能的，则他们在同一个市参加实习的概率为 （Ｃ ） Ａ． １７ Ｂ． ６ ４９ Ｃ． １３ ４９ Ｄ． １３ ２１ ３．如图为我国数学家赵爽（约３ 世纪初）在为《周髀算经》作注 时验证勾股定理的示意图，现 用５种颜色给Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五 个区域涂色，规定每个区域只 涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则Ａ，Ｃ区 域涂色不相同的概率为 （Ｄ ） Ａ． １７ Ｂ． ２ ７ Ｃ． ３ ７ Ｄ． ４ ７ ４．（多选）某校实行选课走班制度，张毅同学选 择的是地理、生物、政治这三科，且生物在Ｂ 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下 表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另 外一节上自习，则下列说法正确的是（　 ） 第１节 第２节 第３节 第４节 地理１班 化学Ａ层３班 地理２班 化学Ａ层４班 生物Ａ层１班化学Ｂ层２班生物Ｂ层２班历史Ｂ层１班 物理Ａ层１班生物Ａ层３班物理Ａ层２班生物Ａ层４班 物理Ｂ层２班生物Ｂ层１班物理Ｂ层１班物理Ａ层４班 政治１班 物理Ａ层３班 政治２班 政治３班 Ａ．此人有４种选课方式 Ｂ．此人有５种选课方式 Ｃ．自习不可能安排在第２节 Ｄ．自习可安排在４节课中的任一节 二、填空题 ５．有１０本不同的数学书，９本不同的语文书，８ 本不同的英语书，从中任取两本不同类的书， 共有不同的取法　 　 　 　 种． ６．连掷两次骰子得到的点数分别为ｍ和ｎ，向量 ａ ＝（ｍ，ｎ）和向量ｂ ＝（１，－ １）的夹角为θ，则 θ为锐角的概率是　 　 　 　 ． ７．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上 是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同 长短的小木棍．如图，是利用算筹表示１ － ９的 一种方法，则据此，３可表示为“≡”，２６可表 示为“＝⊥”．现有６根算筹，据此表示方法， 若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个 数为　 　 　 　 ． 三、解答题 ８． ４个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个 人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不 同取法？ ９．如图，一个正方形花圃被分成５份．若给这５ 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜 色的花，已知现有红、黄、蓝、绿４种颜色不同 的花，求有多少种不同的种植方法？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ                                                                       Ｅ —０７８— ［练案部分］ 练案［１］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为６ × ８ ＝ ４８，故 选Ｃ． ２． Ａ　 分类考虑，若最少一堆是１个，那由至多５个知另两堆分 别为４个、５个，只有一种分法；若最少一堆是２个，则由３ ＋ ５ ＝ ４ ＋ ４知有２种分法；若最少一堆是３个，则另两堆为３个、４ 个，故共有分法１ ＋ ２ ＋ １ ＝ ４种． ３． Ｃ　 解法一：分两种情况： （１）Ａ、Ｃ不同色，先涂Ａ有４种，Ｃ有３种，Ｅ有２种，Ｂ、Ｄ各有 １种，由分步乘法计数原理知有４ × ３ × ２ ＝ ２４种． （２）Ａ、Ｃ同色，先涂Ａ有４种，Ｅ有３种，Ｂ、Ｄ各有２种，由分 步乘法计数原理知有４ × ３ × ２ × ２ ＝ ４８种． 由分类加法计数原理知，共有７２种，故选Ｃ． 解法二：先涂Ａ，有４种涂法，再涂Ｂ、Ｄ，①若Ｂ与Ｄ同色，则Ｂ 有３种，Ｅ有２种，Ｃ有２种，共有４ × ３ × ２ × ２ ＝ ４８种； ②若Ｂ与Ｄ不同色，则Ｂ有３种，Ｄ有２种，Ｅ有１种，Ｃ有１ 种，共有４ × ３ × ２ × １ × １ ＝ ２４种， 由分类加法计数原理知，共有不同涂法４８ ＋ ２４ ＝ ７２种． ４． Ｃ　 由题意可得ａ≠０，可分以下几类， 第一类：ｂ ＝ ０，ｃ≠０，此时ａ有４种选择，ｃ也有４种选择，共有 ４ × ４ ＝ １６个不同的函数； 第二类：ｃ ＝ ０，ｂ≠０，此时ａ有４种选择，ｂ也有４种选择，共有 ４ × ４ ＝ １６个不同的函数； 第三类：ｂ≠０，ｃ≠０，此时ａ，ｂ，ｃ都各有４种选择，共有４ × ４ × ４ ＝ ６４个不同的函数； 第四类：ｂ ＝ ０，ｃ ＝ ０，此时ａ有４种选择，共有４个不同的函数． 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有Ｎ ＝ １６ ＋ １６ ＋ ６４ ＋ ４ ＝ １００（个）．故选Ｃ． ５． Ｂ　 首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三 个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一 个箱子中放一个，有１种结果；第二种方法，可以把球分成两 份，１和２，这两份在三个位置，有３ × ２ ＝ ６种结果；第三种方 法，可以把三个球都放到一个箱子中，有３种结果． 综上可知共有１ ＋ ６ ＋ ３ ＝ １０种结果． ６． ５　 要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组Ａ与Ｂ 组成的并联电路中，只要合上题图中的任一开关，接通电源， 灯泡就会发光．因此接通电源使灯泡发光的方法有２ ＋ ３ ＝ ５ （种）． ７． ８　 要完成“从４名操作人员中选３人分别去操作这三种型号 的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙３人，由于丙 不会操作Ｃ型号的电脑，故有２ × ２ × １ ＝ ４（种）选派方法；第 二类，选甲、乙、丁３人，由于丁只会操作Ａ型号的电脑，故有２ 种选派方法；第三类，选甲、丙、丁３人，这时只有１种选派方 法；第四类，选乙、丙、丁３人，同样也只有１种选设方法．根据 分类加法计数原理，知共有４ ＋ ２ ＋ １ ＋ １ ＝ ８（种）选派方法． ８． ４２０　 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”， 所以千位数字不能为０，个位数字必须是偶数，且组成的四位 数中的四个数字不重复．因此应先分类，再分步． 第１类，当千位数字为奇数，即取１，３，５中的任意一个时，个 位数字可取０，２，４，６中的任意一个，百位数字不能取与这两 个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数 字．根据分步乘法计数原理，取法有３ × ４ × ５ × ４ ＝ ２４０（种）． 第２类，当千位数字为偶数，即取２，４，６中的任意一个时，个 位数字可以取除千位数字外任意一个偶数数字，百位数字不 能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数 字重复的数字．根据分步乘法计数原理，取法有３ × ３ × ５ × ４ ＝ １８０（种）． 根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数有 ２４０ ＋ １８０ ＝ ４２０（个）． ９．圆方程由三个量ａ、ｂ、ｒ确定，ａ，ｂ，ｒ分别有３种、４种、２种选 法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为３ × ４ × ２ ＝ ２４（个）． １０．（１）从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第１类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有１０种 取法； 第２类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有１２种 取法． 根据分类加法计数原理，共有１０ ＋ １２ ＝ ２２（种）取法． （２）想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有１０种 取法； 第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有１２种 取法． 根据分步乘法计数原理，共有１０ × １２ ＝ １２０（种）取法． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 由分步乘法计数原理知，用０，１，…，９十个数字组成的三 位数的个数为９ × １０ × １０ ＝ ９００，组成无重复数字的三位数的 个数为９ × ９ × ８ ＝ ６４８，因此组成有重复数字的三位数的个数 为９００ － ６４８ ＝ ２５２． ２． Ｃ　 由题意知，两人从七所学校中随机选择一所参加实习，共 有７ × ７ ＝ ４９种选法，他们在同一个市参加实习共有１ × １ ＋ ２ ×２ ＋ ２ × ２ ＋ ２ × ２ ＝ １３种选法，所以他们在同一个市参加实习 的概率为１３４９，故选Ｃ． ３． Ｄ　 分４步进行分析： 第１步，对于Ａ区域有５种颜色可选； 第２步，因为Ｂ区域与Ａ区域相邻，所以有４种颜色可选； 第３步，对于Ｅ区域，因为与Ａ，Ｂ区域相邻，所以有３种颜色 可选； 第４步，对于Ｄ，Ｃ区城，若Ｄ与Ｂ颜色相同，则Ｃ区域有３种 颜色可选； 若Ｄ与Ｂ颜色不相同，Ｄ区城有２种颜色可选，Ｃ区域有２种 颜色可选，则区域Ｄ，Ｃ共有３ ＋ ２ × ２ ＝ ７种选择． 综上，不同的涂色方案有５ × ４ × ３ × ７ ＝ ４２０种，其中，Ａ，Ｃ区 域涂色不相同的情况有５ × ４ × ３ × ２ × ２ ＝ ２４０种． 所以Ａ，Ｃ区域涂色不相同的概率为Ｐ ＝ ２４０４２０ ＝ ４ ７ ． ４． ＢＤ　 由于生物在Ｂ层，只有第２，３节有，故分两类： 若生物选第２节，则地理可选第１节或第３节，有２种选法， 其他两节政治、自习任意选即可，故有２ × ２ ＝ ４种（此种情况 自习可安排在第１、３、４节中的某节）； 若生物选第３节，则地理只能选第１节，政治只能选第４节， 自习只能选第２节，故有１种． 根据分类加法计数原理可得选课方式有４ ＋ １ ＝ ５种． 综上，自习可安排在４节课中的任一节． ５． ２４２　 取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原 理有１０ × ９ ＝ ９０（种）不同取法                                                                   ； —１４９— 取两本书中，一本语文、一本英语，有９ × ８ ＝ ７２（种）不同 取法； 取两本书中，一本数学、一本英语，有１０ × ８ ＝ ８０（种）不同 取法． 综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有９０ ＋ ７２ ＋ ８０ ＝ ２４２（种）不同取法． ６． ５１２ 　 ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ｍ － ｎ 槡２·ｍ２ ＋ ｎ槡 ２ ， ∵ θ∈（０，π２ ），∴ ａ·ｂ ＞ ０， ａ∥＼ ｂ{ ． ∴ ｍ － ｎ ＞ ０， ｍ － ｎ ２ｍ２ ＋ ２ｎ槡 ２ ＜ １{ ． ∴ ｍ ＞ ｎ，则ｍ ＝２时，ｎ ＝ １；ｍ ＝ ３时，ｎ ＝ １，２；ｍ ＝ ４时，ｎ ＝ １，２， ３；ｍ ＝５时，ｎ ＝１，２，３，４；ｍ ＝６时，ｎ ＝１，２，３，４，５． 则这样的向量ａ共有１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝ １５（个）， 而第一次投掷骰子得到的点数ｍ有６种情形，同样ｎ也有６ 种情形，∴不同的向量ａ ＝（ｍ，ｎ），共有６ × ６ ＝ ３６个，因此所 求概率Ｐ ＝ １５３６ ＝ ５ １２ ． ７． １６　 根据题意，６根算筹可以表示的数字组合为１，５；１，９；２， ４；２，８；６，４；６，８；３，３；３，７；７，７． 数字组合１，５；１，９；２，４；２，８；６，４；６，８；３，７中，每组可以表示２ 个两位数，则可以表示２ × ７ ＝ １４个两位数； 数字组合３，３；７，７中，每组可以表示１个两位数，则可以表示 ２ × １ ＝ ２个两位数． 综上，共可以表示１４ ＋ ２ ＝ １６个两位数． ８．将该问题转化为“用１，２，３，４四个数字组成无重复数字的四 位数，要求１不在个位、２不在十位、３不在百位、４不在千位的 四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有３ 种不同的方法；第二步确定把１放到十位、百位、千位中的任 一位上，也有３种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有 一种方法，由分类计数原理可得不同的分配方法为３ × ３ ＝ ９种． ９．先对Ａ部分种植，有４种不同的种植方法；再对Ｂ部分种植， 有３种不同的种植方法；对Ｃ部分种植进行分类： ①若与Ｂ相同，Ｄ有２种不同的种植方法，Ｅ有２种不同的种 植方法，共有４ × ３ × １ × ２ × ２ ＝ ４８（种）； ②若与Ｂ不同，Ｃ有２种不同的种植方法，Ｄ有１种不同的种 植方法，Ｅ有２种不同的种植方法，共有４ × ３ × ２ × １ × ２ ＝ ４８ （种）；综上所述，共有９６种种植方法． 练案［２］ Ａ组·素养自测 １． ＡＤ　 根据排列的定义进行判断． ２． Ｃ　 符合题意的商有Ａ２４ ＝ ４ × ３ ＝ １２． ３． Ａ　 因为最大数为ｍ ＋ ２０，所以共有２１个自然数连续相乘，根 据排列公式可得ｍ（ｍ ＋ １）（ｍ ＋ ２）…（ｍ ＋ １９）（ｍ ＋ ２０） ＝ Ａ２１ｍ ＋ ２０ ． ４． Ｂ　 由 ８！（９ － ｎ）！× ３ ＝ ９！ （１１ － ｎ）！× ４， 得（１１ － ｎ）（１０ － ｎ）＝ １２，解得ｎ ＝ ７，ｎ ＝ １４（舍）． ５． Ｂ　 先确定最大数，即ｎ，再确定因式的个数，即ｍ，易知ｎ ＝ ｘ － ２，ｍ ＝（ｘ － ２）－（ｘ － １５）＋ １ ＝ １４，所以原式＝ Ａ１４ｘ － ２ ． ６． ２０　 先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从４枪不 命中之间的三个空位及两端两个空位共５个空位中选出２个 进行排列，有Ａ２５ ＝ ２０种． ７． ５２７ 　 Ａ５８ ＋ Ａ ４ ８ Ａ６９ － Ａ ５ ９ ＝ ８ × ７ × ６ × ５ × ４ ＋ ８ × ７ × ６ × ５９ × ８ × ７ × ６ × ５ × ４ － ９ × ８ × ７ × ６ × ５ ＝ ５ ２７ ． ８． ７２０　 这是６个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有Ａ６６ ＝ ６ × ５ × ４ × ３ × ２ × １ ＝ ７２０（种）． ９．（２）（４）（６）（８）都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是 排列． １０．证明：左边＝ ｎ！（ｎ － ｋ）！＋ ｋ ｎ！ （ｎ － ｋ ＋ １）！ ＝ ｎ！［（ｎ － ｋ ＋ １）＋ ｋ］（ｎ － ｋ ＋ １）！ ＝ （ｎ ＋ １）ｎ！（ｎ － ｋ ＋ １）！＝ （ｎ ＋ １）！ （ｎ － ｋ ＋ １）！， 右边＝ Ａｋｎ ＋ １ ＝ （ｎ ＋ １）！（ｎ － ｋ ＋ １）！，所以Ａ ｋ ｎ ＋ ｋＡ ｋ － １ ｎ ＝ Ａ ｋ ｎ ＋ １ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 根据题意，２ ０２１ × ２ ０２０ × ２ ０１９ × ２ ０１８ × ２ ０１７ ×…× １ ９８１ × １ ９８１ ＝ Ａ４１２ ０２１ ． ２． Ｃ　 由排列数公式知，Ａ５５，Ａ６６，…，Ａ１００１００中均含有２和５的因子， 故个位数均为０，所以Ｓ的个位数字应是Ａ１１ ＋ Ａ２２ ＋ Ａ３３ ＋ Ａ４４ 的 个位数字，而Ａ１１ ＋ Ａ２２ ＋ Ａ３３ ＋ Ａ４４ ＝ １ ＋ ２ × １ ＋ ３ × ２ × １ ＋ ４ × ３ × ２ × １ ＝ ３３，故个位数字为３． ３． ＡＢＤ　 （ｎ ＋ １）！ｎ ＋ １ ＝ （ｎ ＋ １）× ｎ！ ｎ ＋ １ ＝ ｎ！，所以Ａ正确； ｎＡｍ － １ｎ － １ ＝ ｎ ×（ｎ － １）！ ［（ｎ － １）－（ｍ － １）］！＝ ｎ！ （ｎ － ｍ）！＝ Ａ ｍ ｎ，所以Ｂ正确； Ａｍ － １ｎ － １ ＝ （ｎ － １）！ ［（ｎ － １）－（ｍ － １）］！＝ （ｎ － １）！ （ｎ － ｍ）！，所以Ｃ不正确； 由排列数公式可知Ａｍｎ ＋ ｍＡｍ － １ｎ ＝ ｎ！（ｎ － ｍ）！＋ ｍ ｎ！［ｎ －（ｍ － １）］！＝ ｎ！ （ｎ － ｍ）！× １ ＋ ｍ ｎ －（ｍ － １[ ]） ＝ ｎ！（ｎ － ｍ）！× ｎ ＋ １ ｎ －（ｍ － １）＝ （ｎ ＋ １）！ ［（ｎ ＋ １）－ ｍ］！＝ Ａ ｍ ｎ ＋ １，所以Ｄ 正确． ４． Ｂ　 不考虑限制条件有Ａ２５ 种选法，若甲当副组长，有Ａ１４ 种选 法，故甲不当副组长的选法有Ａ２５ － Ａ１４ ＝ １６（种）． ５． １０　 由排列数公式得ｎ！（ｎ － ５）！（ｎ － ７）！ｎ！＞ １２， 即（ｎ － ５）（ｎ － ６）＞ １２， 解得ｎ ＞ ９或ｎ ＜ ２． 又ｎ≥７，所以ｎ ＞ ９， 又ｎ∈Ｎ，所以ｎ的最小值为１０． ６． １５　 根据题意，Ａ ７ ｎ － Ａ ５ ｎ Ａ５ｎ ＝ ８９，则Ａ ７ ｎ Ａ５ｎ ＝ ９０，变形可得Ａ７ｎ ＝ ９０Ａ５ｎ， 则有 ｎ！（ｎ － ７）！＝ ９０ × ｎ！ （ｎ － ５）！， 变形可得：（ｎ － ５）（ｎ － ６）＝ ９０， 解可得：ｎ ＝ １５或ｎ ＝ － ４（舍）； 故ｎ ＝ １５． ７． １０　 个位数字为０时，符合要求的四位偶数有Ａ３３ ＝ ６（个）；个 位数字为２时，符合要求的四位偶数有Ａ１２Ａ２２ ＝ ４（个）． 故由数字２，０，１，９组成的没有重复数字的四位偶数的个数为 ６ ＋ ４ ＝ １０． ８．（１）由排列的定义知共有Ａ８８种不同的排法． （２）８人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分， 其排列数等于８人排成一排的排列数Ａ８８ ．也可以分步进行， 第一步：从８人中任选４人放在前排共有Ａ４８ 种排法，第二步： 剩下的４人放在后排共有Ａ４４种排法，由分步乘法计数原理知 共有Ａ４８ × Ａ４４ ＝ Ａ８８种排法． （３）同（２）的分析可知，共有Ａ３８ × Ａ５５ ＝ Ａ８８（种）                                                                      ． —１５０—