第4章 概率与统计章末知识梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

优级品非优级品 甲车间 ２６ ２４ 乙车间 ７０ ３０ 　 　 可得Ｋ２ ＝ １５０ ×（２６ × ３０ － ２４ × ７０） ２ ５０ × １００ × ９６ × ５４ ＝ ７５ １６ ＝ ４． ６８７ ５， 因为３． ８４１ ＜ ４． ６８７ ５ ＜ ６． ６３５， 所以有９５％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 差异，没有９９％的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在 差异． （２）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的 优级品的频率为９６１５０ ＝ ０． ６４， 用频率估计概率可得ｐ ＝ ０． ６４， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率ｐ ＝ ０． ５， 则ｐ ＋１． ６５ ｐ（１ － ｐ）槡ｎ ＝ ０． ５ ＋ １． ６５ ０．５（１ －０．５）槡１５０ ≈０． ５ ＋ １． ６５ × ０． ５１２． ２４７≈０． ５６８， 可知ｐ ＞ ｐ ＋ １． ６５ ｐ（１ － ｐ）槡ｎ ， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优 级品率提高了． 　 　 例３：χ２ ＝ ９０ ×（１０ × ３８ － ７ × ３５） ２ １７ × ７３ × ４５ × ４５ ＝ ０． ６５３， ０． ６５３ ＜ ３． ８４１， 所以没有充分证据认为成绩与班级有关． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 根据独立性检验的思想方法，正确选项为Ｃ． ２． Ｂ　 由ａ ＋ ３５ ＝ ４５，得ａ ＝ １０．由ａ ＋ ７ ＝ ｍ，得ｍ ＝ １７．由ｍ ＋ ７３ ＝ ｓ，得ｓ ＝ ９０．由４５ ＋ ｎ ＝ ｓ，得ｎ ＝ ４５． ３． Ｃ　 χ２ 越大，“事件Ａ，Ｂ有关”的可信度越大，“事件Ａ，Ｂ无 关”的可信度越小；χ２越小，“事件Ａ，Ｂ有关”的可信度越小， “事件Ａ，Ｂ无关”的可信度越大． ４． Ａ　 易知当χ２≥６． ６３５时，有９９％的把握认为事件Ａ和Ｂ有 关．故选Ａ． ５． ０． ０１　 因为７． ３５３ ＞ ６． ６３５，所以这种判断出错的最大可能性 为０． ０１． 章末知识梳理 核心知识归纳 　 　 思考１：不是．这是对全概率公式的形式主义的认识，完全 把它作为一个“公式”来理解是不对的．其实，我们没有必要去 背这个公式，根据Ｂ ＝ ＢΩ ＝ ＢＡ１ ＋ ＢＡ２ ＋…＋ ＢＡｎ，应着眼于Ａ１， Ａ２，…，Ａｎ的结构．事实上，对于具体问题，若能设出ｎ个事件Ａｉ （ｉ ＝ １，２，…，ｎ），使之满足Ａ１ ＋ Ａ２ ＋…＋ Ａｎ ＝ Ω， ＡｉＡｊ ＝{  （任意两个事 件互斥，ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ，ｉ≠ｊ）．（１）就可得Ｂ ＝ ＢΩ ＝ ＢＡ１ ＋ ＢＡ２ ＋ …＋ ＢＡｎ ．（２）这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式． 因此，能否使用全概率公式，关键在于（２），而要有（２），关 键又在于适当地对Ω进行一个分割，即有（１）． 思考２：①两点分布是一种特殊的二项分布，即ｎ ＝ １时的二 项分布． ②超几何分布与二项分布之间的关系：ｎ次试验中，Ｘ为事 件Ａ出现的次数，当这ｎ次试验是独立重复试验时，Ｘ服从二项 分布；当这ｎ次试验是不放回摸球，事件Ａ为摸到某种特性（如 某种颜色）的球时，Ｘ服从超几何分布．但是当袋子中的球的数 目Ｎ很大时，超几何分布近似于二项分布，并且随着Ｎ的增加， 这种近似的精确度也增加． ③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时 的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看 成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样， 取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同 的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何 分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 思考３：散点图可以形象直观地展示两个变量的关系，通过 散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否 能直接用线性回归模型来拟合原始数据． 要点专项突破 　 　 例１：５１３ 　 解法一：记“至少出现２枚正面朝上”为事件Ａ， “恰好出现３枚正面朝上”为事件Ｂ，所求概率为Ｐ（Ｂ ｜Ａ），事件Ａ 包含的基本事件的个数为ｎ（Ａ）＝ Ｃ２５ ＋ Ｃ３５ ＋ Ｃ４５ ＋ Ｃ５５ ＝ ２６， 事件Ｂ包含的基本事件的个数为ｎ（Ｂ）＝ Ｃ３５ ＝ １０， ∴ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ｎ（ＡＢ）ｎ（Ａ）＝ ｎ（Ｂ） ｎ（Ａ）＝ １０ ２６ ＝ ５ １３ ． 解法二：事件Ａ，Ｂ同上，则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ ２ ５ ＋ Ｃ ３ ５ ＋ Ｃ ４ ５ ＋ Ｃ ５ ５ ２５ ＝ ２６３２， Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ ３ ５ ２５ ＝ １０３２， 所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ）＝ ５ １３ ． 　 　 例２：（１）Ｐ（２张都没有中奖）＝ Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＝ １５４５ ＝ １ ３ ， 即该顾客２张都没中奖的概率为１３ ． （２）Ｘ的所有可能值为０，１０，２０，５０，６０， 且Ｐ（Ｘ ＝０）＝ Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＝ １３ ，Ｐ（Ｘ ＝１０）＝ Ｃ１３Ｃ １ ６ Ｃ２１０ ＝ ２５ ，Ｐ（Ｘ ＝２０）＝ Ｃ２３ Ｃ２１０ ＝ １１５，Ｐ（Ｘ ＝５０）＝ Ｃ１１Ｃ １ ６ Ｃ２１０ ＝ ２１５，Ｐ（Ｘ ＝６０）＝ Ｃ１１Ｃ １ ３ Ｃ２１０ ＝ １１５， 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １０ ２０ ５０ ６０ Ｐ １３ ２ ５ １ １５ ２ １５ １ １５ 　 　 从而期望Ｅ（Ｘ）＝０ × １３ ＋１０ × ２ ５ ＋２０ × １ １５ ＋５０ × ２ １５ ＋ ６０ × １ １５ ＝１６． 　 　 例３：（１）甲、乙所在队的比赛成绩不少于５分，则甲第一阶 段至少投中１次，乙第二阶段也至少投中１次， ∴比赛成绩不少于５分的概率Ｐ ＝（１ － ０． ６３）（１ － ０． ５３）＝ ０． ６８６． （２）（ⅰ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛 成绩为１５分的概率为Ｐ甲＝［１ －（１ － ｐ）３］ｑ３， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 １５分的概率为Ｐ乙＝［１ －（１ － ｑ）３］·ｐ３， ∵ ０ ＜ ｐ ＜ ｑ， ∴ Ｐ甲－ Ｐ乙＝ ｑ ３ －（ｑ － ｐｑ）３ － ｐ３ ＋（ｐ － ｐｑ）３ ＝（ｑ － ｐ）（ｑ２ ＋ ｐｑ ＋ ｐ２）＋（ｐ － ｑ）·［（ｐ － ｐｑ）２ ＋（ｑ － ｐｑ）２ ＋（ｐ － ｐｑ）（ｑ － ｐｑ）］ ＝（ｐ － ｑ）（３ｐ２ｑ２ － ３ｐ２ｑ － ３ｐｑ２） ＝ ３ｐｑ（ｐ － ｑ）（ｐｑ － ｐ － ｑ）＝ ３ｐｑ（ｐ － ｑ）［（１ － ｐ）（１ － ｑ）－ １］ ＞ ０， ∴ Ｐ甲＞ Ｐ乙，应该由甲参加第一阶段比赛． （ⅱ）若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩Ｘ                                                                       的所有可能取 —１４７— 值为０，５，１０，１５， Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝（１ － ｐ）３ ＋［１ －（１ － ｐ）３］·（１ － ｑ）３， Ｐ（Ｘ ＝ ５）＝［１ －（１ － ｐ）３］Ｃ１３ｑ·（１ － ｑ）２， Ｐ（Ｘ ＝ １０）＝［１ －（１ － ｐ）３］·Ｃ２３ｑ２（１ － ｑ）， Ｐ（Ｘ ＝ １５）＝［１ －（１ － ｐ）３］·ｑ３， ∴ Ｅ（Ｘ）＝１５［１ －（１ － ｐ）３］ｑ ＝１５（ｐ３ －３ｐ２ ＋３ｐ）·ｑ 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Ｙ的所有可能取值为 ０，５，１０，１５， 同理Ｅ（Ｙ）＝ １５（ｑ３ － ３ｑ２ ＋ ３ｑ）·ｐ ∴ Ｅ（Ｘ）－ Ｅ（Ｙ）＝ １５［ｐｑ（ｐ ＋ ｑ）（ｐ － ｑ）－ ３ｐｑ（ｐ － ｑ）］ ＝ １５（ｐ － ｑ）ｐｑ（ｐ ＋ ｑ － ３）， 因为０ ＜ ｐ ＜ ｑ，则ｐ － ｑ ＜ ０，ｐ ＋ ｑ － ３ ＜ １ ＋ １ － ３ ＜ ０， 则（ｐ － ｑ）ｐｑ（ｐ ＋ ｑ － ３）＞ ０， ∴应该由甲参加第一阶段比赛． 　 　 例４：（１）根据表中所给的５对数据，在平面直角坐标系中 画出散点图，如图所示． （２）∵ ｘ ＝ ３ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ９５ ＝ ６，ｙ ＝ ２ ＋ ３ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ５ ＝ １７ ５ ， ∴ ｎ ｘ　 ｙ ＝ ５ × ６ × １７５ ＝ １０２， ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ３ × ２ ＋ ５ × ３ ＋ ６ × ３ ＋ ７ × ４ ＋ ９ × ５ ＝ １１２， ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ ３ ２ ＋ ５２ ＋ ６２ ＋ ７２ ＋ ９２ ＝ ２００， ｎ ｘ２ ＝ ５ × ６２ ＝ １８０， ｂ^ ＝ １１２ － １０２２００ － １８０ ＝ １ ２ ＝ ０． ５， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ １７５ － ０． ５ × ６ ＝ ２ ５ ＝ ０． ４， ∴利润额ｙ对销售额ｘ的回归直线方程是^ｙ ＝ ０． ５ｘ ＋ ０． ４． （３）根据题意，令^ｙ ＝ ０． ５ｘ ＋ ０． ４ ＝ １０， 解得ｘ ＝ １９． ２（千万元）， 故销售额约为１９． ２千万元． 　 　 例５：（１）用分层抽样的方法更合理．甲班成绩位于［９０， １２０）内的试卷共有２０ ＋ １５ ＋ １０ ＝ ４５（份），从中抽取９份，抽样 比为９４５ ＝ １ ５ ，故在［９０，１００），［１００，１１０），［１１０，１２０）各分数段内 抽取试卷２０ × １５ ＝ ４（份），１５ × １ ５ ＝ ３（份），１０ × １ ５ ＝ ２（份）． （２）估计乙班的平均分为ｘ乙＝ ８５ × １５０ ＋ ９５ × １１ ５０ ＋ １０５ × ２３ ５０ ＋ １１５ × １３５０ ＋ １２５ × ２ ５０ ＝ １０５． ８，１０５． ８ － １０１． ８ ＝ ４，即两班的平均 分相差４分． （３）补全列联表如下： 成绩小于１００分成绩不小于１００分总计 甲班 ２４ ２６ ５０ 乙班 １２ ３８ ５０ 总计 ３６ ６４ １００ 　 　 由列联表中的数据，得χ２的观测值为 ｋ ＝ １００ ×（２４ × ３８ － ２６ × １２） ２ ３６ × ６４ × ５０ × ５０ ＝ ６． ２５ ＞ ５． ０２４， 所以在犯错误的概率不超过０． ０２５的前提下，可以认为这 两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关． 　 　 例６：（１）由表知甲流水线样本中合格品数为８ ＋ １４ ＋ ８ ＝ ３０，故甲流水线样本中合格品的频率为３０４０ ＝ ０． ７５． （２）乙流水线上质量值落在［５０５，５１５］内的合格产品件数 为０． ０２ × ５ × ４０ ＝ ４，不合格产品件数为０． ０１ × ５ × ４０ ＝ ２． 从中任取３件产品恰好只有２件合格品的概率为Ｐ ＝ Ｃ ２ ４Ｃ １ ２ Ｃ３６ ＝ １２２０ ＝ ３ ５ ． （３）由（１）知甲流水线样本中合格品数为３０，乙流水线样本 中合格品数为０． ９ × ４０ ＝ ３６． ２ × ２列联表如下： 甲流水线乙流水线总计 合格品 ３０ ３６ ６６ 不合格品 １０ ４ １４ 总计 ４０ ４０ ８０ 　 　 因为χ２的观测值为ｋ ＝ ８０ ×（１２０ － ３６０） ２ ６６ × １４ × ４０ × ４０ ≈３． １１７ ＞ ２． ７０６， 所以有９０％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水 线的选择有关． 　 　 例７：（１）由Ｘ ～ Ｎ（２，σ２）知，图像的对称轴为直线ｘ ＝ ２，画 出示意图，如图所示． 　 　 ∵ Ｐ（０ ＜ Ｘ ＜ ２）＝ Ｐ（２ ＜ Ｘ ＜ ４）， ∴ Ｐ（０ ＜ Ｘ ＜ ４）＝ ２Ｐ（０ ＜ Ｘ ＜ ２）＝ ２ × ０． ２ ＝ ０． ４． （２）Ｐ（Ｘ ＞４）＝ １２ ［１ －Ｐ（０ ＜Ｘ ＜４）］＝ １ ２ ×（１ －０．４）＝０．３ 　 　 例８：（１）如果三个题目均答错，得０ ＋０ ＋（－１０）＝ －１０（分）． 如果三个题目均答对，得１０ ＋ １０ ＋ ２０ ＝ ４０分． 如果三个题目一对两错，包括两种情况： ①前两个中一对一错，第三个错，得１０ ＋０ ＋（－１０）＝０（分）； ②前两个错，第三个对，得０ ＋ ０ ＋ ２０ ＝ ２０（分）． 如果三个题目两对一错，也包括两种情形： ①前两个对，第三个错，得１０ ＋ １０ ＋（－ １０）＝ １０（分）； ②第三个对，前两个一对一错，得２０ ＋ １０ ＋ ０ ＝ ３０（分）． 故ξ的可能取值为－ １０，０，１０，２０，３０，４０． Ｐ（Ｘ ＝ － １０）＝ ０． ２ × ０． ２ × ０． ４ ＝ ０． ０１６； Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ１２ × ０． ２ × ０． ８ × ０． ４ ＝ ０． １２８； Ｐ（Ｘ ＝ １０）＝ ０． ８ × ０． ８ × ０． ４ ＝ ０． ２５６； Ｐ（Ｘ ＝ ２０）＝ ０． ２ × ０． ２ × ０． ６ ＝ ０． ０２４； Ｐ（Ｘ ＝ ３０）＝ Ｃ１２ × ０． ８ × ０． ２ × ０． ６ ＝ ０． １９２； Ｐ（Ｘ ＝ ４０）＝ ０． ８ × ０． ８ × ０． ６ ＝ ０． ３８４． 所以Ｘ的分布列为： Ｘ － １０ ０ １０ ２０ ３０ ４０ Ｐ ０． ０１６ ０． １２８ ０． ２５６ ０． ０２４ ０． １９２ ０． ３８４ 　 　 Ｅ（Ｘ）＝ － １０ × ０． ０１６ ＋ ０ × ０． １２８ ＋ １０ × ０． ２５６ ＋ ２０ × ０． ０２４ ＋ ３０ × ０． １９２ ＋ ４０ × ０． ３８４≈２４． （２）这位挑战者总得分不为负分的概率为 Ｐ（Ｘ≥０）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＜ ０）＝ １ － ０． ０１６ ＝ ０． ９８４                                                                       ． —１４８— ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 章末知识梳理 + , = > ? @ A B + , C D 条件概率与事件的独立性 　 　 １．条件概率：Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）（Ｐ（Ａ）＞０） ２．乘法公式与全概率公式、贝叶斯公式： Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） Ｐ（Ｂ）＝ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（ＢＡｉ）＝ ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜ Ａｉ），ｉ ＝ １， ２，…，ｎ Ｐ（Ａｉ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｉ）Ｐ（Ｂ） ＝ Ｐ（Ａｊ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｊ）  ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｉ） ，ｉ ＝１，２，…，ｎ ３．独立性与条件概率的关系：当Ｐ（Ｂ）＞ ０且 Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）时，有Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ｂ） ＝Ｐ（Ａ） 思考１：计算Ｐ（Ｂ）时，如果事件Ｂ的表达式 中有积有和，是否就必定要用全概率公式？ 随机变量 　 　 １．离散型随机变 量及其分布列 离散型随机变量的概念 分布列的概念和性质{两点分布 ２．二项分 布与超几 何分布 独立重复试验 二项分布：Ｘ ～ Ｂ（ｎ，ｐ）． Ｐ（Ｘ ＝ ｋ） ＝ Ｃｋｎｐ ｋ（１ － ｐ）ｎ － ｋ，ｋ ＝０，１，…，ｎ 超几何分布：Ｘ ～ Ｈ（Ｎ，ｎ，Ｍ）． Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）＝ Ｃ ｋ ＭＣ ｎ － ｋ Ｎ －Ｍ ＣｎＮ ，ｋ ＝ ｔ，ｔ ＋ １， …，ｓ，ｔ≤Ｘ≤ｓ，ｓ为ｎ与Ｍ中的较             小者 ３．离散型 随机变量 的均值与 方差 均 值 Ｅ（Ｘ）＝ ｘ１ｐ１ ＋ ｘ２ｐ２ ＋…＋ ｘｎｐｎ ＝  ｎ ｉ ＝１ ｘｉｐｉ 两点分布：Ｅ（Ｘ）＝ ｐ；二项分布： Ｅ（Ｘ）＝ ｎｐ 超几何分布：Ｅ（Ｘ）＝ ｎＭＮ Ｅ（ａＸ ＋ ｂ）＝ ａＥ（Ｘ）＋ ｂ（ａ≠０            ） 方 差 Ｄ（Ｘ）＝［ｘ１ － Ｅ（Ｘ）］２ｐ１ ＋［ｘ２ － Ｅ（Ｘ）］２ｐ２ ＋…＋［ｘｎ －Ｅ（Ｘ）］２ｐｎ ＝ ｎ ｉ ＝１ ［ｘｉ －Ｅ（Ｘ）］２ｐｉ 两点分布：Ｄ（Ｘ）＝ ｐ（１ － ｐ）；二 项分布：Ｄ（Ｘ）＝ ｎｐ（１ － ｐ） Ｄ（ａＸ ＋ ｂ）＝ ａ２Ｄ（Ｘ）（ａ≠０                       ） ４．正态分布正态曲线的特点正态分布的“３σ原则{                                           ” !(" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 思考２：两点分布、超几何分布与二项分布分 别有何关系？ 统计模型 　 　 １．回归直线方程^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^其中ｂ^ ＝  ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ － ｘ）２ ＝  ｎ ｉ ＝１ ｘｉｙｉ － ｎ ｘ　ｙ  ｎ ｉ ＝１ ｘ２ｉ － ｎ ｘ ２ ，^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ２．相关 　 系数 ｜ ｒ ｜≤１，当ｒ ＞ ０时正相关，当ｒ ＜ ０时负相关 ｜ ｒ ｜越接近于１，两个变量相关性 越强 ｜ ｒ ｜越接近于０，两个变量相关性         越弱 ３．非线性回归：非线性问题线性化 ４．独立性 　 检验 ２ × ２列联表 利用公式 χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） （ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ）求出χ２ 的值，         与临界值比较 思考３：在两个变量的回归分析中，作散点图 的目的是什么                                           ？ E F G H I J 要点一 条件概率的求法 　 　 １．条件概率在高考命题中出现的概率较低， 且多以选择题或填空题的形式出现，难度适中． ２．计算在事件Ｂ发生的条件下事件Ａ发生的 概率，有两种方法：（１）利用条件概率的计算公 式，分别计算概率Ｐ（ＡＢ），Ｐ（Ｂ），将它们相除即 可；（２）利用缩小基本事件空间的方法计算，即将 原来的基本事件空间Ω缩小为已知的条件事件 Ｂ，原来事件Ａ缩小为ＡＢ，每个基本事件发生的概 率相等，从而利用古典概型的概率公式计算． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．抛掷５枚硬币，在已知至少出现了２枚硬 币的正面朝上的情况下，恰好出现３枚硬币正面 朝上的概率为　 　 　 　 ． ［分析］　 求出“至少出现２枚硬币正面朝 上”及“恰好有３枚硬币正面朝上”的概率，利用 条件概率公式求解，也可直接利用古典概型的概 率公式求解． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 在利用条件概率公式求解时， 要注意事件Ｂ发生，则事件Ａ一定发生，即Ａ∩Ｂ ＝ Ａ，故Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）                         ． !(# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 要点二离散型随机变量的分布列、期望与方差 　 　 １．求离散型随机变量的分布列的关键有两 点：（１）确定Ｘ的所有取值，明确其含义；（２）求出 Ｘ取每一个值时的概率，求概率是一个难点，需要 综合运用古典概型、互斥事件、相互独立事件的概 率公式进行解决． ２．求离散型随机变量的期望与方差时，首先 应求出其分布列，再套用期望和方差的公式求解， 当可以判断随机变量服从超几何分布、二项分布 等特殊分布时，还可以直接用这两种特殊分布的 期望、方差公式计算求解，但必须明确其各个参 数值． ３．在实际问题的决策中，要根据问题的需要， 通过比较期望的大小或通过比较期望、方差两个 值的大小来进行方案的评判与决策． ２．在一次购物抽奖活动中，假设某１０张奖券 中有一等奖券１张，可获价值为５０元的奖品；有 二等奖券３张，每张可获价值为１０元的奖品；其 余６张没有奖．某顾客从此１０张券中任抽２ 张，求： （１）该顾客２张都没有中奖的概率； （２）该顾客获得的奖品总价值Ｘ元的概率分 布列和数学期望． ［分析］　 （１）由古典概型公式可求出“２张 都没中奖”的概率． （２）列出Ｘ的可能取值，由超几何分布公式 可求出Ｘ的分布列． 　 　 ［尝试作答         ］ ３．（２０２４·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个 阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则 如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮３次，若 ３次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为０分； 若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段 由该队的另一名队员投篮３次，每次投篮投中得 ５分，未投中得０分．该队的比赛成绩为第二阶段 的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设 甲每次投中的概率为ｐ，乙每次投中的概率为ｑ， 各次投中与否相互独立． （１）若ｐ ＝ ０． ４，ｑ ＝ ０． ５，甲参加第一阶段比 赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于５分的 概率． （２）假设０ ＜ ｐ ＜ ｑ， （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为１５ 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学 期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 离散型随机变量的期望与方 差的关注点 （１）求离散型随机变量的期望与方差，一般 先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算． （２）要熟记特殊分布的期望与方差公式（如 两点分布、二项分布、超几何分布）． （３）注意期望与方差的性质． （４）实际应用问题，要注意分析实际问题用 哪种数学模型来表达． 要点三 回归分析 　 　 １．回归分析是对具有相关关系的两个变量进 行统计分析的一种常用方法，也是本章的重点、高 考的热点，主要考查线性回归分析．题型既有选 择、填空题，也有解答题． ２．回归分析包括线性回归分析和非线性回归 分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量 代换转化为线性回归分析．因此，回归分析的方法 主要还是指线性回归分析的方法．                                                                        要注意理解以 !($ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 下几点：①确定线性相关系数，判断变量是否线性 相关的依据是观察样本点的散点图和线性回归系 数的大小；②模型的合理性的刻画，确定线性相关 程度的方法是通过计算相关系数ｒ进行判断． ４．连锁经营公司所属５个零售店某月的销售 额利润资料如表： 商品名称 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 销售额ｘ ／千万元 ３ ５ ６ ７ ９ 利润额ｙ ／百万元 ２ ３ ３ ４ ５ 　 　 （１）画出销售额和利润额的散点图； （２）若销售额和利润额具有相关关系，试计 算利润额ｙ对销售额ｘ的回归直线方程； （３）估计要达到１ ０００万元的利润额，销售额 约为多少万元． 参考公式：ｂ^ ＝∑ ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ －ｘ）（ｙｉ －ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ －ｘ）２ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝１ ｘｉｙｉ －ｎ珋ｘｙ ∑ ｎ ｉ ＝１ ｘ２ｉ －ｎ ｘ ２ ， ａ^＝珋ｙ － ｂ^珋ｘ． ［分析］　 （１）根据表中所给的数据，在平面直 角坐标系中画出散点图即可；（２）求出对应的数值ｘ， ｙ，以及ｎ ｘ　ｙ，∑５ ｉ ＝１ ｘｉｙｉ，∑ ５ ｉ ＝１ ｘ２ｉ 和ｎ ｘ２，代入公式即可求出 回归直线方程的系数与方程；（３）根据题意，令^ｙ ＝１０ （注意单位），求出ｘ的值即可． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 １．建立回归模型的步骤 （１）确定研究对象，明确变量ｘ，ｙ． （２）画出变量的散点图，观察它们之间的 关系． （３）确定回归方程的类型． （４）按一定规则估计回归方程中的参数（如 最小二乘法）． （５）得出回归方程． ２．分析两个变量线性相关的常用方法 （１）散点图法，该法主要是用来直观地分析 两变量间是否存在相关关系． （２）相关系数法，该法主要是从量上分析两 个变量间相互联系的密切程度，｜ ｒ ｜越接近于１，相 关程度越大；｜ ｒ ｜越接近于０，相关程度越小． 要点四 独立性检验的基本思想与方法 　 　 对两个分类变量之间是否有关系作出判断， 我们称之为独立性检验，其基本思想是：先假设两 个分类变量没有关系，再根据这个假设应用统计 的方法进行分析，得到一个统计量χ２，通过计算这 个统计量的观测值，再由统计学得到的各临界值， 确定我们的假设是否成立，以及假设的不合理程 度．如果χ２的观测值ｋ≥２． ７０６，我们就有９０％的 把握认为假设不合理，即我们有９０％的把握认为 两个分类变量有关系；如果ｋ ＜ ２． ７０６，我们就认 为假设是合理的，即我们没有充分的证据证实两 个分类变量有关系．它类似于数学上的反证法，可 以说是带有概率性质的反证法，而χ２的观测值的 大小可以让我们明确假设的不合理程度，即两个 分类变量有关系的可信程度，也明确了我们作出 的判断出错的可能性大小． ５．某校为了探索一种新的教学模式，进行了 一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、 乙两班均有５０人，一年后对两班进行测试，成绩 如下表（总分：１５０分）． 甲班 成绩 ［８０，９０） ［９０，１００）［１００，１１０）［１１０，１２０）［１２０，１３０） 频数 ４ ２０ １５ １０ １ 　 　 乙班 成绩 ［８０，９０） ［９０，１００）［１００，１１０）［１１０，１２０）［１２０，１３０） 频数 １ １１ ２３ １３ ２ 　 　 （１）现从甲班成绩位于［９０，１２０）内的试卷中 抽取９份进行试卷分析，请问用什么抽样方法更 合理，并写出最后的抽样结果； （２）根据所给数据可估计在这次测试中，甲 班的平均分是１０１． ８，请你估计乙班的平均分，并 计算两班平均分相差几分； （３）完成下面２ × ２列联表，你认为在犯错误 的概率不超过０． ０２５的前提下，这两个班在这次 测试中成绩的差异与实施课题实验有关吗？并说 明理由                                                                        ． !(% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 成绩小于１００分成绩不小于１００分总计 甲班 ２６ ５０ 乙班 １２ ５０ 总计 ３６ ６４ １００ 　 　 ［分析］　 由３组数据 存在差异确 定抽样方法 → 计算 抽样 比 → 确定各 区间抽 取份数 （２） 累加各组 组中值与 频率的积 → 计算乙班 的平均分→ 得到两班平 均分的差 （３） 根据所给的数 据补全２ × ２列 联表 → 由列联表中的 数据求出χ２的 观测值ｋ → 把观测值ｋ同临界值表中的数据进行比较， 得到对应的概率的值 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 独立性检验的一般步骤 （１）根据样本数据制成２ × ２列联表． （２）根据公式，计算χ２的值． （３）比较χ２ 与临界值的大小关系并作统计 推断． 要点五概率、统计与独立性检验的综合问题 　 　 概率、统计与独立性检验的综合问题在高考 中常常出现，一般为解答题，难度中等．有时古典 概型与独立性检验综合，有时样本的分布与独立 性检验综合，更有三者融合在一起的综合性较强 的题目出现． （１）独立性检验中的统计量χ２的计算公式中 分母是列联表中除了总合计的四个合计量的乘 积，分子是总合计量与样本频数中四个数的交叉 乘积之差的平方的乘积，解题时要正确使用列联 表中的数据，对照公式把它们放到应该放的地方． 注意确定性思维和统计思维的差异，确定性思维 作出的是完全确定的、百分之百正确的结论，但统 计思维作出的是带有随机性的、不能完全确定的 结论．若在解题时忽视了这两种思维方式的差异， 就可能对统计计算的结果作出错误的解释． （２）求解此类综合问题时要充分运用样本的 分布、古典概型分布列、均值、独立性检验等相关 知识． ６．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流 水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 ４０件产品作为样本，并称出它们的质量（单位：ｇ） ，质量值落在［４９５ ，５１０）内的产品为合格品，否则 为不合格品．统计结果如下表及图所示． 甲流水线样本的频数分布表 产品质量／ ｇ 频数 ［４９０，４９５） ６ ［４９５，５００） ８ ［５００，５０５） １４ ［５０５ ，５１０） ８ ［５１０，５１５］ ４ 乙流水线样本的频率分布直方图 　 　 （１）求甲流水线样本合格的频率； （２）从乙流水线上质量值落在［５０５ ，５１５］内 的产品中任取３件产品，求这３件产品中恰好只 有２件合格品的概率； （３）由以上统计数据完成下面的２ × ２列联 表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与 两条自动包装流水线的选择有关． 甲流水线乙流水线总计 合格品 不合格品                                                                        总计 !(& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 附：χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ），其中 ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ． Ｐ（χ２≥ｋ） ０． １５ ０． １０ ０． ０５ ０． ０２５ ０． ０１０ ０． ００５ ０． ００１ ｋ ２． ０７２ ２． ７０６ ３． ８４１ ５． ０２４ ６． ６３５ ７． ８７９ １０． ８２８ 　 　 ［尝试作答        ］ 要点六 数形结合思想 　 　 本章的很多内容是由图表给出的，这实际上 就是对数形结合思想的应用，数形结合思想在高 考中占有重要位置，是高考重点考查的数学思想， 它可以使题目的解答更形象、直观、一目了然． ７．在一次测试中，测量结果Ｘ服从正态分布 Ｎ（２，σ２）（σ ＞０），若Ｘ在（０，２）内取值的概率为 ０． ２，求： （１）Ｘ在（０，４）内取值的概率； （２）Ｐ（Ｘ ＞４）． ［分析］　 本题考查正态分布，由于Ｘ服从正 态分布Ｎ（２，σ２）（σ ＞ ０），所以μ ＝ ２．画出正态曲 线的图像，根据图像性质求相应区间的概率． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 解决求某区间的概率问题，可 以利用正态曲线的对称性，画出相应正态曲线的 图像，应用数形结合思想把“求某一区间内的概 率”问题转化为求“阴影部分面积”问题． 要点七 分类讨论思想 　 　 分类讨论思想的实质：整体问题转化为部分 问题来解决，转化成部分问题后增加了题设条件， 易于解题．在求概率问题时，会经常遇到事件Ａ是 由多个互斥事件构成的情况（如“至少”“至多”型 的概率问题），随机变量ξ的某个取值可能对应着 若干个试验结果的情形，这就需要借助分类讨论 的思想方法将此类问题分成若干个小问题去 解决． ８．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯 第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答 正确各得１０分，回答不正确各得０分，第三个题 目，回答正确得２０分，回答不正确得－ １０分．如 果一个挑战者回答前两题正确的概率都是０． ８， 回答第三题正确的概率为０． ６，且各题回答正确与 否相互之间没有影响． （１）求这位挑战者回答这三个问题的总得分 Ｘ的分布列和数学期望； （２）求这位挑战者总得分不为负分（即Ｘ≥ ０）的概率． ［分析］　 解答本题的关键是明确ξ的取值 及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取 值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 此题应用了分类讨论思想，把 总得分ξ的取值分情况进行讨论，而对ξ ＝ － １０， ４０之外的值又分两种情况进行讨论，讨论一定要 按一定标准，做到不重不漏． 请同学们认真完成考案（二）（三）（四                                                                        ） !('