4.3.2 独立性检验(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·天津卷）下列图中，线性相关性系数最 大的是 （　 　 ） Ａ 　 　 　 　 Ｂ Ｃ 　 　 　 　 Ｄ ２．已知ｘ与ｙ之间的一组数据： ｘ ０ １ ２ ３ ｙ １ ３ ５ ７ 若ｙ与ｘ线性相关，则ｙ与ｘ的回归直线^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^必过 （Ｄ ） Ａ．点（２，２）　 Ｂ．点（１．５，０）　 Ｃ．点（１，２）　 Ｄ．点（１．５，４） ３．如图所示，给出了样本容量均为７的Ａ，Ｂ两组 样本数据的散点图，已知Ａ组样本数据的相关 系数为ｒ１，Ｂ组数据的相关系数为ｒ２，则（Ｃ ） Ａ． ｒ１ ＝ ｒ２ Ｂ． ｒ１ ＜ ｒ２ Ｃ． ｒ１ ＞ ｒ２ Ｄ．无法判定 ４．对于线性相关系数ｒ，叙述正确的是 （Ｄ ） Ａ． ｒ∈（－ ∞，＋ ∞），且ｒ越大，相关程度越大 Ｂ． ｒ∈（－ ∞，＋ ∞），且｜ ｒ ｜越大，相关程度越大 Ｃ． ｒ∈［－１，１］，且ｒ越大，相关程度越大 Ｄ． ｒ∈［－１，１］，且｜ ｒ ｜越大，相关程度越大 ５．正常情况下，年龄在１８岁到３８岁的人，体重ｙ（ｋｇ） 对身高ｘ（ｃｍ）的回归方程为^ｙ ＝ ０． ７２ｘ － ５８． ２， 张红同学（２０岁）身高为１７８ ｃｍ，她的体重应该 在　 　 　 　 ｋｇ左右． 请同学们认真完成练案［１７                                    ］ ４． ３． ２　 独立性检验 !"#$%&'( 课程标准 １．通过实例，理解２ × ２列联表的统计意义． ２．通过实例，了解２ × ２列联表独立性检验及其应用． 学法解读 １．通过２ × ２列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养． ２．借助χ２计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养． !'' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ ２ × ２列联表 　 　 （１）定义：如果随机事件Ａ与Ｂ的样本数据 整理成如下的表格形式． Ａ Ａ 总计 Ｂ ａ ｂ ａ ＋ ｂ Ｂ ｃ ｄ ｃ ＋ ｄ 总计 ａ ＋ ｃ ｂ ＋ ｄ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ 　 　 因为这个表格中，核心数据是中间４个格子， 所以这样的表格通常称为２ × ２列联表． （２）χ２计算公式：χ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ， 其中ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 独立性检验 　 　 （１）任意给定一个α（称为显著性水平　 ，通 常取为０． ０５，０． ０１等），可以找到满足条件Ｐ（χ２≥ ｋ）＝ α的数ｋ（称为显著性水平α对应的　 　 　 　 　 　 ），就称在犯错误的概率不超过　 　 　 　 的 前提下，可以认为Ａ与Ｂ不独立（也称为Ａ与Ｂ 有关）；或说有　 　 　 　 的把握认为Ａ与Ｂ有关． 若χ２ ＜ ｋ成立，就称不能得到前述结论．这一过程 通常称为独立性检验． （２）统计学中，常用的显著性水平α以及对 应的分位数ｋ如表所示． α ＝ Ｐ（χ２≥ｋ） ０． １ ０． ０５ ０． ０１ ０． ００５ ０． ００１ ｋ ２． ７０６ ３． ８４１ ６． ６３５ ７． ８７９ １０． ８２８ 　 　 思考：若χ２ ＜ ｋ成立，则说明事件Ａ与Ｂ无 关，对吗                                   ？ /012%345 题型探究 题型一 由χ２进行独立检验 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某商场为提高服务质量，随机调查了５０名 男顾客和５０名女顾客，每位顾客对该商场的服务 给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意不满意 男顾客 ４０ １０ 女顾客 ３０ ２０ 　 　 （１）分别估计男、女顾客对该商场服务满意 的概率； （２）能否有９５％的把握认为男、女顾客对该 商场服务的评价有差异？ 附：χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）， Ｐ（χ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ 　 　 ［分析］　 （１）根据列联表，用频率代替概率， 可分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （２）求出χ２的值，与临界值表对比可得结论． 　 　 ［尝试作答                                ］ !'( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 解决独立性检验问题的基本 步骤 列表 认真读题，根据相关数据列出２ × ２列→ 联表 ↓  计算 将２ × ２列联表中的数据代入公式求χ ２ → 的值 ↓  比较 将求得的χ２→ 的值与临界值进行比较 ↓  结论→ 由比较结果得出相应结论 对点训练? ２０２４年春季，某出租汽车公 司决定更换一批小汽车以代替原来报废的出租 车，现有Ａ，Ｂ两款车型的使用寿命（单位：年）频 数表如下： 使用寿命／年 ５ ６ ７ ８ 总计 Ａ型出租车／辆 １０ ２０ ４５ ２５ １００ Ｂ型出租车／辆 １５ ３５ ４０ １０ １００ 　 　 （１）填写下表，并判断是否有９９％的把握认 为出租车的使用寿命与汽车车型有关； 使用寿命 不高于６年 使用寿命不 低于７年 总计 Ａ型 Ｂ型 总计 　 　 （２）司机师傅小李准备在一辆开了４年的Ａ 型车和一辆开了４年的Ｂ型车中选择，为了尽最 大可能实现３年内（含３年）不换车，试通过计算 说明，他应如何选择． 题型二 独立性检验的综合应用 ２．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有 关，对本班４８人进行了问卷调查，得到了如下的２ × ２列联表： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 ６ 女生 １０ 合计 ４８ 　 　 已知在全班４８人中随机抽取１人，抽到喜爱 打篮球的学生的概率为２３ ． （１）请将上面的２ × ２列联表补充完整（不用 写计算过程）； （２）能否在犯错误的概率不超过０． ０５的前提 下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （３）现从女生中抽取２人进一步调查，设其中 喜爱打篮球的女生人数为Ｘ，求Ｘ的分布列与 均值． ［分析］　 （１）由古典概型的概率求得２ × ２ 列联表． （２）计算χ２，判断Ｐ（χ２ ＞ ３． ８４１）＝ ０． ０５是否 成立． （３）结合超几何分布求解． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．检验两个变量是否相互独 立，主要依据是计算χ２的值再利用该值与分位数 ｋ进行比较作出判断． ２． χ２计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是 代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心． ３．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之 一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性 质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上 体现的只是统计关系，而不是因果关系                                                                        ． !') ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 对点训练? （２０２４·全国甲卷理科）某 工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从 该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取１５０件 进行检验，数据如下： 优级品合格品不合格品总计 甲车间 ２６ ２４ ０ ５０ 乙车间 ７０ ２８ ２ １００ 总计 ９６ ５２ ２ １５０ 　 　 （１）填写如下列联表： 优级品非优级品 甲车间 乙车间 　 　 能否有９５％的把握认为甲、乙两车间产品的 优级品率存在差异？能否有９９％的把握认为甲， 乙两车间产品的优级品率存在差异？ （２）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ｐ ＝ ０． ５，设ｐ－ 为升级改造后抽取的ｎ件产品的优 级品率．如果ｐ－ ＞ ｐ ＋ １． ６５ ｐ（１ － ｐ）槡ｎ ，则认为该工 厂产品的优级品率提高了，根据抽取的１５０件产 品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该 工厂产品的优级品率提高了？（槡１５０≈１２． ２４７） 附：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） Ｐ（Ｋ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ 易错警示 　 　 没有准确掌握公式中参数的含义致误 ３．有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生 考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列 联表 班级与成绩列联表 优秀 不优秀 总计 甲班 １０ ３５ ４５ 乙班 ７ ３８ ４５ 总计 １７ ７３ ９０ 　 　 试问能有多大把握认为“成绩与班级有关 系”？ ［错解］　 由公式得χ２ ＝ ９０ ×（１０ ×７ －３５ ×３８） ２ １７ ×７３ ×４５ ×４５ ＝５６．８６， ５６． ８６ ＞ ６． ６３５所以有９９％的把握认为“成绩 与班级有关系”． ［辨析］　 由于对２ × ２列联表中ａ，ｂ，ｃ，ｄ的 位置不清楚，在代入公式时代错了数值导致计算 结果的错误． ［正解］　 ［点评］　 独立性检验中，参数χ２公式复杂计 算量大，要弄清公式特点熟记公式，小心计算避免 粗心致误                                                                      ． !'* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．通过随机询问１１０名性别不同的大学生是否爱 好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 ４０ ２０ ６０ 不爱好 ２０ ３０ ５０ 总计 ６０ ５０ １１０ 经计算得χ２ ＝ １１０ ×（４０ × ３０ － ２０ × ２０） ２ ６０ × ５０ × ６０ × ５０ ≈７． ８． 则正确的结论是 （Ｃ ） Ａ．在犯错误的概率不超过０． １％的前提下，认 为“爱好该项运动与性别有关” Ｂ．在犯错误的概率不超过０． １％的前提下，认 为“爱好该项运动与性别无关” Ｃ．有９９％以上的把握认为“爱好该项运动与性 别有关” Ｄ．有９９％以上的把握认为“爱好该项运动与性 别无关” ２．一个２ × ２列联表如下： ｙ１ ｙ２ 总计 ｘ１ ａ ３５ ４５ ｘ２ ７ ｂ ｎ 总计 ｍ ７３ ｓ 则表中ｍ，ｎ的值分别是 （Ｂ ） Ａ． １０，３８ Ｂ． １７，４５ Ｃ． １０，４５ Ｄ． １７，３８ ３．下列关于χ２的说法中正确的是 （Ｃ ） Ａ． χ２越大，“事件Ａ，Ｂ有关”的可信度越小 Ｂ． χ２越大，“事件Ａ，Ｂ无关”的可信度越大 Ｃ． χ２越小，“事件Ａ，Ｂ有关”的可信度越小 Ｄ． χ２越小，“事件Ａ，Ｂ无关”的可信度越小 ４．利用独立性检验对事件Ａ和Ｂ是否有关进行研 究时，若有９９％的把握认为事件Ａ和Ｂ有关， 则计算出的χ２的取值范围是 （Ａ ） Ｐ（χ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ Ａ． χ２≥６． ６３５ Ｂ． χ２ ＜ ６． ６３５ Ｃ． χ２≥３． ８４１ Ｄ． χ２ ＜ ３． ８４１ ５．某企业有２个分厂生产某种零件，为了研究两 个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从２ 个分厂生产的零件中各抽取了５００件，具体数 据如表所示： 甲厂乙厂总计 优质品 ３６０ ３２０ ６８０ 非优质品 １４０ １８０ ３２０ 总计 ５００ ５００ １ ０００ 根据表中数据得 χ２ ＝ １ ０００ ×（３６０ × １８０ － ３２０ × １４０） ２ ６８０ × ３２０ × ５００ × ５００ ≈７． ３５３． 从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那 么这种判断出错的最大可能性为　 　 　 　 ． 附： Ｐ（χ２≥ｋ） ０． １ ０． ０５ ０． ０１ ０． ００１ ｋ ２． ７０６ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ 请同学们认真完成练案［１８                                                        ］ !(! 　 　 根据散点图可知ｙ与ｘ近似地呈反比例函数关系，设ｙ ＝ ｋ ｘ ，令ｔ ＝ １ ｘ ，则ｙ ＝ ｋｔ，原数据变为： ｔ ４ ２ １ ０． ５ ０． ２５ ｙ １６ １２ ５ ２ １ 　 　 由置换后的数值表作散点如图所示： 　 　 由散点图可以看出ｙ与ｔ呈近似的线性相关关系．列表 如下： ｉ ｔｉ ｙｉ ｔｉ ｙｉ ｔ２ｉ ｙ２ｉ １ ４ １６ ６４ １６ ２５６ ２ ２ １２ ２４ ４ １４４ ３ １ ５ ５ １ ２５ ４ ０． ５ ２ １ ０． ２５ ４ ５ ０． ２５ １ ０． ２５ ０． ０６２５ １ ∑ ７． ７５ ３６ ９４． ２５ ２１． ３１２５ ４３０ 　 　 所以ｔ ＝ １． ５５，ｙ ＝ ７． ２， 所以ｂ^ ＝ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｔｉｙｉ － ５ｔ ｙ Σ ５ ｉ ＝ １ ｔ２ｉ － ５ｔ ２ ≈４． １３４４． ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｔ≈０． ８． 所以^ｙ ＝ ４． １３４４ｔ ＋ ０． ８． 所以ｙ与ｘ的回归方程是^ｙ ＝ ４． １３４４ｘ ＋ ０． ８． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 观察４幅图可知，Ａ图散点分布比较集中，且大体接近某 一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相 关，｜ ｒ ｜值相比于其他３图更接近１．故选Ａ． ２． Ｄ　 因为ｘ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３４ ＝ １． ５，^ｙ ＝ １ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ４ ＝ ４，所以回归 直线必过点（１． ５，４）． ３． Ｃ　 ４． Ｄ　 ５． ６９． ９６　 用回归方程对身高为１７８ ｃｍ的人的体重进行预测， 当ｘ ＝ １７８时，^ｙ ＝ ０． ７２ × １７８ － ５８． ２ ＝ ６９． ９６（ｋｇ）． ４． ３． ２　 独立性检验 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （２） ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）　 ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ 　 　 知识点２　 （１）显著性水平　 分位数　 α　 １ － α 思考：不对，若χ２ ＜ ｋ成立，则说明有１ － α的把握认为事件 Ａ与Ｂ无关． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）由调查数据知，男顾客对该商场服务满意的概率 的估计值为０． ８；女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 ３０ ５０ ＝ ０． ６． （２）χ２ ＝ １００ ×（４０ × ２０ － ３０ × １０） ２ ５０ × ５０ × ７０ × ３０ ≈４． ７６２． 由于４． ７６２ ＞ ３． ８４１，故有９５％的把握认为男、女顾客对该 商场服务的评价有差异． 　 　 对点训练１：（１）根据题目所给数据得到如下２ × ２的列 联表： 使用寿命不高于６年使用寿命不低于７年总计 Ａ型 ３０ ７０ １００ Ｂ型 ５０ ５０ １００ 总计 ８０ １２０ ２００ 　 　 所以χ２ ＝ ２００ ×（５０ × ７０ － ３０ × ５０） ２ １００ × １００ × ８０ × １２０ ≈８． ３３３． 查表可得Ｐ（χ２≥６． ６３５）＝ ０． ０１， 由于８． ３３３ ＞ ６． ６３５， 所以有９９％的把握认为出租车的使用寿命与汽车车型 有关． （２）记事件Ａ为“小李选择Ａ型车，３年内（含３年）不换 车”，事件Ｂ为“小李选择Ｂ型车，３年内（含３年）不换车”，所以 Ｐ（Ａ）＝４５ ＋２５１００ ＝０． ７，Ｐ（Ｂ）＝ ４０ ＋１０ １００ ＝ ０． ５，因为Ｐ（Ａ）＞ Ｐ（Ｂ）， 所以小李应选择Ａ型车． 　 　 例２：（１）列联表补充如下： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 ２２ ６ ２８ 女生 １０ １０ ２０ 合计 ３２ １６ ４８ 　 　 （２）由χ２ ＝ ４８ ×（２２０ － ６０） ２ ２８ × ２０ × ３２ × １６≈４． ２８６． 因为４． ２８６ ＞ ３． ８４１，所以，能在犯错误的概率不超过０． ０５ 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． （３）喜爱打篮球的女生人数Ｘ的可能取值为０，１，２． 其概率分别为 Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ ２ １０ Ｃ２２０ ＝ ９３８， Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ １ １０Ｃ １ １０ Ｃ２２０ ＝ １０１９， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ ２ １０ Ｃ２２０ ＝ ９３８， 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ９３８ １０ １９ ９ ３８ 　 　 Ｘ的均值为Ｅ（Ｘ）＝ ０ ＋ １０１９ ＋ ９ １９ ＝ １． 　 　 对点训练２：（１）根据题意可得列联表                                                                      ： —１４６— 优级品非优级品 甲车间 ２６ ２４ 乙车间 ７０ ３０ 　 　 可得Ｋ２ ＝ １５０ ×（２６ × ３０ － ２４ × ７０） ２ ５０ × １００ × ９６ × ５４ ＝ ７５ １６ ＝ ４． ６８７ ５， 因为３． ８４１ ＜ ４． ６８７ ５ ＜ ６． ６３５， 所以有９５％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 差异，没有９９％的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在 差异． （２）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的 优级品的频率为９６１５０ ＝ ０． ６４， 用频率估计概率可得ｐ ＝ ０． ６４， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率ｐ ＝ ０． ５， 则ｐ ＋１． ６５ ｐ（１ － ｐ）槡ｎ ＝ ０． ５ ＋ １． ６５ ０．５（１ －０．５）槡１５０ ≈０． ５ ＋ １． ６５ × ０． ５１２． ２４７≈０． ５６８， 可知ｐ ＞ ｐ ＋ １． ６５ ｐ（１ － ｐ）槡ｎ ， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优 级品率提高了． 　 　 例３：χ２ ＝ ９０ ×（１０ × ３８ － ７ × ３５） ２ １７ × ７３ × ４５ × ４５ ＝ ０． ６５３， ０． ６５３ ＜ ３． ８４１， 所以没有充分证据认为成绩与班级有关． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 根据独立性检验的思想方法，正确选项为Ｃ． ２． Ｂ　 由ａ ＋ ３５ ＝ ４５，得ａ ＝ １０．由ａ ＋ ７ ＝ ｍ，得ｍ ＝ １７．由ｍ ＋ ７３ ＝ ｓ，得ｓ ＝ ９０．由４５ ＋ ｎ ＝ ｓ，得ｎ ＝ ４５． ３． Ｃ　 χ２ 越大，“事件Ａ，Ｂ有关”的可信度越大，“事件Ａ，Ｂ无 关”的可信度越小；χ２越小，“事件Ａ，Ｂ有关”的可信度越小， “事件Ａ，Ｂ无关”的可信度越大． ４． Ａ　 易知当χ２≥６． ６３５时，有９９％的把握认为事件Ａ和Ｂ有 关．故选Ａ． ５． ０． ０１　 因为７． ３５３ ＞ ６． ６３５，所以这种判断出错的最大可能性 为０． ０１． 章末知识梳理 核心知识归纳 　 　 思考１：不是．这是对全概率公式的形式主义的认识，完全 把它作为一个“公式”来理解是不对的．其实，我们没有必要去 背这个公式，根据Ｂ ＝ ＢΩ ＝ ＢＡ１ ＋ ＢＡ２ ＋…＋ ＢＡｎ，应着眼于Ａ１， Ａ２，…，Ａｎ的结构．事实上，对于具体问题，若能设出ｎ个事件Ａｉ （ｉ ＝ １，２，…，ｎ），使之满足Ａ１ ＋ Ａ２ ＋…＋ Ａｎ ＝ Ω， ＡｉＡｊ ＝{  （任意两个事 件互斥，ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ，ｉ≠ｊ）．（１）就可得Ｂ ＝ ＢΩ ＝ ＢＡ１ ＋ ＢＡ２ ＋ …＋ ＢＡｎ ．（２）这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式． 因此，能否使用全概率公式，关键在于（２），而要有（２），关 键又在于适当地对Ω进行一个分割，即有（１）． 思考２：①两点分布是一种特殊的二项分布，即ｎ ＝ １时的二 项分布． ②超几何分布与二项分布之间的关系：ｎ次试验中，Ｘ为事 件Ａ出现的次数，当这ｎ次试验是独立重复试验时，Ｘ服从二项 分布；当这ｎ次试验是不放回摸球，事件Ａ为摸到某种特性（如 某种颜色）的球时，Ｘ服从超几何分布．但是当袋子中的球的数 目Ｎ很大时，超几何分布近似于二项分布，并且随着Ｎ的增加， 这种近似的精确度也增加． ③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时 的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看 成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样， 取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同 的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何 分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 思考３：散点图可以形象直观地展示两个变量的关系，通过 散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否 能直接用线性回归模型来拟合原始数据． 要点专项突破 　 　 例１：５１３ 　 解法一：记“至少出现２枚正面朝上”为事件Ａ， “恰好出现３枚正面朝上”为事件Ｂ，所求概率为Ｐ（Ｂ ｜Ａ），事件Ａ 包含的基本事件的个数为ｎ（Ａ）＝ Ｃ２５ ＋ Ｃ３５ ＋ Ｃ４５ ＋ Ｃ５５ ＝ ２６， 事件Ｂ包含的基本事件的个数为ｎ（Ｂ）＝ Ｃ３５ ＝ １０， ∴ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ｎ（ＡＢ）ｎ（Ａ）＝ ｎ（Ｂ） ｎ（Ａ）＝ １０ ２６ ＝ ５ １３ ． 解法二：事件Ａ，Ｂ同上，则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ ２ ５ ＋ Ｃ ３ ５ ＋ Ｃ ４ ５ ＋ Ｃ ５ ５ ２５ ＝ ２６３２， Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ ３ ５ ２５ ＝ １０３２， 所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ）＝ ５ １３ ． 　 　 例２：（１）Ｐ（２张都没有中奖）＝ Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＝ １５４５ ＝ １ ３ ， 即该顾客２张都没中奖的概率为１３ ． （２）Ｘ的所有可能值为０，１０，２０，５０，６０， 且Ｐ（Ｘ ＝０）＝ Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＝ １３ ，Ｐ（Ｘ ＝１０）＝ Ｃ１３Ｃ １ ６ Ｃ２１０ ＝ ２５ ，Ｐ（Ｘ ＝２０）＝ Ｃ２３ Ｃ２１０ ＝ １１５，Ｐ（Ｘ ＝５０）＝ Ｃ１１Ｃ １ ６ Ｃ２１０ ＝ ２１５，Ｐ（Ｘ ＝６０）＝ Ｃ１１Ｃ １ ３ Ｃ２１０ ＝ １１５， 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １０ ２０ ５０ ６０ Ｐ １３ ２ ５ １ １５ ２ １５ １ １５ 　 　 从而期望Ｅ（Ｘ）＝０ × １３ ＋１０ × ２ ５ ＋２０ × １ １５ ＋５０ × ２ １５ ＋ ６０ × １ １５ ＝１６． 　 　 例３：（１）甲、乙所在队的比赛成绩不少于５分，则甲第一阶 段至少投中１次，乙第二阶段也至少投中１次， ∴比赛成绩不少于５分的概率Ｐ ＝（１ － ０． ６３）（１ － ０． ５３）＝ ０． ６８６． （２）（ⅰ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛 成绩为１５分的概率为Ｐ甲＝［１ －（１ － ｐ）３］ｑ３， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 １５分的概率为Ｐ乙＝［１ －（１ － ｑ）３］·ｐ３， ∵ ０ ＜ ｐ ＜ ｑ， ∴ Ｐ甲－ Ｐ乙＝ ｑ ３ －（ｑ － ｐｑ）３ － ｐ３ ＋（ｐ － ｐｑ）３ ＝（ｑ － ｐ）（ｑ２ ＋ ｐｑ ＋ ｐ２）＋（ｐ － ｑ）·［（ｐ － ｐｑ）２ ＋（ｑ － ｐｑ）２ ＋（ｐ － ｐｑ）（ｑ － ｐｑ）］ ＝（ｐ － ｑ）（３ｐ２ｑ２ － ３ｐ２ｑ － ３ｐｑ２） ＝ ３ｐｑ（ｐ － ｑ）（ｐｑ － ｐ － ｑ）＝ ３ｐｑ（ｐ － ｑ）［（１ － ｐ）（１ － ｑ）－ １］ ＞ ０， ∴ Ｐ甲＞ Ｐ乙，应该由甲参加第一阶段比赛． （ⅱ）若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩Ｘ                                                                       的所有可能取 —１４７—