4.3.2 独立性检验-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册［RJB］ 4.3.2　独立性检验 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 教学重点：1.掌握作2×2列联表的方法.2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤． 教学难点：1.独立性检验的基本思想和χ2的含义.2.利用独立性检验解决简单实际问题． 核心素养：1.通过学习2×2列联表及其统计意义培养数学抽象素养.2.通过利用独立性检验解决实际问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　2×2列联表及随机事件的概率 把随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式，核心的数据是中间的4个格子，这样的表格通常称为2×2列联表． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 记n＝a＋b＋c＋d，则由表可知： (1)事件A发生的概率可估计为P(A)＝； (2)事件B发生的概率可估计为P(B)＝； (3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)＝． 知识点二　独立性检验 　(1)在2×2列联表中，定义随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 任意给定一个α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)．若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2<k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验． (2)统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示． α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [提醒]　查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的χ2相比较． 1．(2×2列联表)某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下面2×2列联表所示，则其中m＝________，n＝________． 单位：人 80分及以上 80分以下 总计 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 总计 56 44 n 答案：26　100 2．(独立性检验的基本思想)为了调查高中生的性别与是否喜欢踢足球之间有无关系，一般需要收集数据：______________________________． 若χ2≈7.8，则得到的正确结论是在犯错误的概率不超过________的前提下，可以认为“喜欢踢足球与性别有关”． 答案：男、女生中喜欢和不喜欢踢足球的人数　1% 题型一　2×2列联表　 　在一项有关医疗保健的社会调查中，调查的男性为530人，女性为670人，发现其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的2×2列联表． [解]　作2×2列联表如下： 单位：人 喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食 总计 男 117 413 530 女 492 178 670 总计 609 591 1200 感悟提升　作2×2列联表的关注点 (1)作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误． (2)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别． [跟踪训练1]　某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表． 单位：人 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 解：根据所给数据，完成2×2列联表如下： 单位：人 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 总计 55 45 100 题型二　独立性检验的基本思想　 　在吸烟与患肺病这两个随机事件中，下列说法正确的是(　　) A．若χ2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个人患有肺病 B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指不超过5%的可能性使得推断出现错误 D．以上三种说法都不正确 [解析]　独立性检验的结果反映的是有关或无关的概率的大小，故A，B错误，C正确． [答案]　C 感悟提升　独立性检验的基本思想 (1)独立性检验的结果反映的是有关或无关的概率． (2)要研究A，B两个随机事件彼此是否相关，通过2×2列联表构造随机变量χ2.如果χ2的观测值较大，那么在一定程度上说明两个随机事件有较大把握相关． 　(1)给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是(　　) A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关 B．喝酒者得胃病的概率 C．喜欢喝酒与性别是否有关 D．青少年犯罪与上网成瘾是否有关 答案：B 解析：独立性检验主要是对两个随机事件是否有关进行检验，故不可用独立性检验解决的问题是B项．故选B. (2)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的2×2列联表： 单位：人 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由χ2＝算得， χ2＝≈7.8. 附表： α＝P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(　　) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为爱好该项运动与性别有关 B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为爱好该项运动与性别无关 C．有99%的把握认为爱好该项运动与性别有关 D．有99%的把握认为爱好该项运动与性别无关 答案：C 解析：根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为爱好该项运动与性别有关，即有99%的把握认为爱好该项运动与性别有关．故选C. 题型三　独立性检验的实际应用　 　(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1 32．6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7．8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2 19．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； 单位：个 ＜m ≥m 对照组 试验组 ②根据①中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 [解]　(1)试验组的样本平均数为 ×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝＝19.8. (2)①依题意，可知这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数， 第20位数据为23.2，第21位数据为23.6， 所以m＝＝23.4， 故列联表为 单位：个 ＜m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 ②由①可得，χ2＝＝6.4＞3.841， 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． 感悟提升　利用独立性检验解决实际问题的步骤 (1)根据实际问题的需要确定允许推断“两个随机事件有关”的显著性水平α，然后查表确定分位数k； (2)利用公式χ2＝计算随机变量χ2； (3)如果χ2≥k，推断“A与B有关”犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“A与B有关”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“A与B有关”． 　某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%) 甲校高二年级数学成绩： 分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 10 25 35 30 x 乙校高二年级数学成绩： 分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 15 30 25 y 5 (1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)； (2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为两个学校的数学成绩有差异？ 单位：人 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 解：(1)依题意知甲校应抽取110人，乙校应抽取90人， 所以x＝110－10－25－35－30＝10， y＝90－15－30－25－5＝15， 估计甲校数学成绩的平均分为 ≈75(分)． 乙校数学成绩的平均分为 ≈71(分)． (2)2×2列联表如下： 单位：人 甲校 乙校 总计 优秀 40 20 60 非优秀 70 70 140 总计 110 90 200 χ2＝≈4.714， 又因为查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，由于4.714>3.841，故能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为两个学校的数学成绩有差异． 1．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是(　　) A．在100个男性中约有90人喜爱喝酒 B．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10% C．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10% D．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90% 答案：D 解析：独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A，B错误．由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至多为10%，故C错误，D正确．故选D. 2．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人月收入情况，得到如下的2×2列联表： 单位：人 月收入4000元以下 月收入4000元及以上 总计 高中文化以上 9 44 53 高中文化及以下 19 30 49 总计 28 74 102 附表： α＝P(χ2≥k) 0.1 0.025 0.01 K 2.706 5.024 6.635 由上表中数据计算得χ2＝≈6.073，则认为工人文化程度与月收入有关系的把握为(　　) A．1% ．99% C．2.5% ．97.5% 答案：D 解析：由于6.073>5.024，故在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为工人文化程度与月收入有关系，即有97.5%的把握认为工人文化程度与月收入有关系． 3．(多选)下列关于χ2统计量的说法正确的是(　　) A．可以为负值 B．χ2的值越大，认为两个事件有关系的把握越大 C．当χ2的值很小时，不能推定两个事件不相关 D．χ2＝ 答案：BC 解析：χ2的值不可能为负值，故A错误；易知B正确；χ2的值很小时，只能说两个事件的相关程度低，不能推定两个事件不相关，故C正确；χ2＝，故D错误．故选BC. 4．(2024·安徽合肥八中高二月考)为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表： 单位：人 爱运动 不爱运动 总计 男生 m 12 30 女生 8 20 总计 n 50 则m＝________，n＝________． 答案：18　24 解析：依题意可得2×2列联表如下： 单位：人 爱运动 不爱运动 总计 男生 18 12 30 女生 8 12 20 总计 26 24 50 故m＝18，n＝24. 5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表： 单位：人 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计 30 20 50 则在犯错误的概率不超过________(用百分数表示)的前提下，可以认为喜爱打篮球与性别有关． 答案：0.5% 解析：χ2＝＝≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为喜爱打篮球与性别有关． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 独立性检验的概念及辨析 独立性检验的基本思想 计算χ2的值，判断两事件有关系的把握 列联表、χ2的计算及两事件是否有关的判断 利用给定的事件有关的犯错误的概率求参数 根据列联表直观分析两事件是否有关 列联表中数据变化对χ2值的影响 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 在给定犯错误的概率的条件下判断两事件是否有关 求列联表中的参数、判断两事件有关系的把握 独立性检验与二项分布相结合 独立性检验与二项分布相结合 利用给定的事件有关犯错误的概率求参数 在给定犯错误的概率的条件下判断两事件是否有关 统计、超几何分布、独立性检验的综合 一、选择题 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．事件A与B独立，即两个事件互不影响 B．事件A与B关系越密切，则χ2就越大 C．χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据 D．若判定两事件A与B相关，则A发生B一定发生 答案：AB 解析：由事件的独立性知，A正确；由独立性检验的意义知，B正确；χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C不正确；若事件A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D不正确． 2．利用独立性检验对两个随机事件是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　) A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635 C．χ2≥7.879 D．χ2<7.879 答案：C 解析：有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率不超过0.5%，对应的k的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为χ2≥7.879. 3．某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，随机抽取了50人进行调查，数据如下表： 单位：人 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 18 9 27 女性 8 15 23 总计 26 24 50 则认为喜欢户外运动与性别有关系的把握为(　　) A．99% B．95% C．90% D．无充分依据 答案：B 解析：由表中数据得χ2＝≈5.059>3.841，所以有95%的把握认为喜欢户外运动与性别有关系． 4．(多选)在一次恶劣天气的飞行过程中，调查男、女乘客晕机的情况，相关数据如下表所示： 单位：人 晕机 不晕机 总计 男 a 15 女 6 d 总计 28 46 则下列说法正确的是(　　) A.> B．χ2<2.706 C．能在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为在恶劣天气飞行中，晕机情况与性别有关 D．不能在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为在恶劣天气飞行中，晕机情况与性别有关 答案：ABD 解析：由列联表数据知解得则＝＝>＝，故A正确；易知χ2＝≈0.775<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为在恶劣天气飞行中，晕机情况与性别有关，故B，D正确，C错误．故选ABD. 5．(多选)某校新开设了一门人工智能课程，该校团委对“学生喜欢人工智能课程与性别是否有关”做了一次调查，其中参与调查的男、女生人数相同，男生喜欢人工智能课程的人数占男生人数的，女生喜欢人工智能课程的人数占女生人数的.若认为喜欢人工智能课程与性别有关时，犯错误的概率不超过5%，但不能保证不超过1%，则参与调查的男生人数可能是(　　) A．25 B．45 C．60 D．40 答案：BC 解析：设参与调查的男生人数为5n(n∈N＋)，根据题意列出2×2列联表如下表所示： 单位：人 男生 女生 总计 喜欢人工智能课程 4n 3n 7n 不喜欢人工智能课程 n 2n 3n 总计 5n 5n 10n 则χ2＝＝，结合题意得3.841≤χ2<6.635，即3.841≤<6.635，得8.0661≤n<13.9335，因为n∈N＋，所以n的可能取值为9，10，11，12，13，因此，参与调查的男生人数可能为45，50，55，60，65.故选BC. 二、填空题 6．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 单位：人 文艺节目 新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？________(填“是”或“否”)． 答案：是 解析：因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． 7．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍． 答案：2 解析：公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，则 ＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍． 8．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下2×2列联表： 单位：人 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 总计 30 75 105 则________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为药物有效． 附：χ2＝. α＝P(χ2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 答案：能 解析：根据2×2列联表， 计算χ2＝＝≈6.109>5.024，所以能在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为药物有效． 三、解答题 9．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查，得到的数据如下表： 单位：人 男性 女性 总计 参与该项老年运动 p 8 x 不参与该项老年运动 q 32 y 总计 60 40 100 从参与该项老年运动的被调查者中随机抽取1人，这个人是男性的概率是. (1)求2×2列联表中p，q，x，y的值； (2)是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？ 参考公式及数据： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由已知可得＝， 所以p＝16，q＝44，x＝24，y＝76. (2)因为χ2＝≈0.585<2.706， 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． 10．某市销售商为了解A，B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示： 单位：人 购买A款 购买B款 总计 女 25 男 40 总计 100 已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人． (1)将上面的2×2列联表补充完整； (2)是否有99%的把握认为购买手机款式与性别有关？请说明理由； (3)用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1的概率． 附： α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)由题可得列联表如下： 单位：人 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 (2)由题可得χ2＝≈8.249， 因为8.249＞6.635，所以有99%的把握认为购买手机款式与性别有关． (3)从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成做了4次独立重复试验，每次选出购买A款手机的人的概率均为＝， 设X为4人中选出购买A款手机的人数，X～B， 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 11．(多选)(2024·辽宁沈阳铁路实验中学高二4月月考)“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查，得到以下数据，则(　　) 单位：人 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据： ①χ2＝，n＝a＋b＋c＋d； ②当α＝P(χ2≥k)＝0.1时，k＝2.706. A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 D．没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关 答案：BD 解析：对于A，从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率P＝＝，故A错误；对于B，样本中喜欢天宫课堂的频率为＝，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率P1＝C×＝，故B正确；对于C，抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80，70，又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为＝，故C错误；对于D，因为χ2＝＝≈2.667<2.706，所以没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关，故D正确．故选BD. 12．(2024·河南南阳高二期中)ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了A，B两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取m名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买A套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有99.5%的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则m的最小值为________． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 答案：170 解析：由题意可得用户类型与购买的套餐类型2×2列联表如下： 单位：户 A B 总计 个人用户 m m m 公司用户 m m m 总计 m m m χ2＝＝>7.879，解得m>165.459，又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170. 13．(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝. α＝P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据题意可得列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 由表中数据可得χ2＝＝＝4.6875， 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64， 用频率估计概率可得＝0.64，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65＝0.5＋1.65× ≈0.5＋1.65× ≈0.57， 可知>p＋1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 14．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)现采用分层抽样的方式从分数落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (3)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，请判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关？ 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)由题意知，100×(0.0015＋a＋0.0025＋0.0015＋0.0010)＝1， 解得a＝0.0035， 样本平均数为＝500×0.15＋600×0.35＋700×0.25＋800×0.15＋900×0.10＝670. (2)由题意可得，从[550，650)中抽取7人，从[750，850)中抽取3人， 随机变量X的取值范围是{0，1，2，3}，且X服从超几何分布，即X～H(10，3，3)， 则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)， 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 P 0 1 2 3 X 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)由题意可知，样本中男生有40人，女生有60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生有10人，得出以下2×2列联表： 单位：人 属于“高分选手” 不属于“高分选手” 总计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 总计 25 75 100 χ2＝ ＝＝≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$