4.3.1一元线性回归模型(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ４． ３　 统计模型 ４． ３． １　 一元线性回归模型 !"#$%&'( 课程标准 １．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理， 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件． ２．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． ３．结合实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 学法解读 １．了解变量间的相关关系． （数学抽象） ２．能根据散点图，判断两个变量是否具有相关关系． ３．了解线性回归思想，会求回归直线的方程． ４．会判断相关性的强弱，能根据回归直线方程进行预测． ５．能利用回归分析解决实际问题，能解决非线性回归问题． )*+,%-.+ 相关关系 　 　 （１）两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 特征两变量关系具有确定性　 两变量关系带有 随机性　 　 　 （２）散点图：将样本中ｎ对数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ ＝１， ２，…，ｎ）描在平面直角坐标系　 中得到的图形． （３）线性相关：如果变量ｘ与变量ｙ之间的关 系可以近似地用一次函数　 来刻画，则称ｘ与ｙ 线性相关． （４）正相关与负相关 正相关 负相关 一个变量增大，另一个 变量大体上也增大　 一个变量增大，另一 个变量大体上 减少　 　 　 思考１：正相关与负相关是对所有具有相关 关系的两个变量而言的，对吗？ 回归直线方程及其性质 　 　 （１）最小二乘法 一般地，已知变量ｘ与ｙ的ｎ对成对数据（ｘｉ， ｙｉ），ｉ ＝２，３，…，ｎ，任意给定一个一次函数ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ，对每一个已知的ｘｉ，由直线方程可以得到一个 估计值^ｙｉ ＝ ｂｘｉ ＋ ａ，如果一次函数^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^能使 残差平方和即　 　 　 　 　 　 　 取得最小值，则^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^称为ｙ关于ｘ的回归直线方程（对应的直线 称为回归直线）．因为是使得平方和最小，所以其 中涉及的方法称为最小二乘法                                 ． !'" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）回归直线方程的系数计算公式 回归直线方程 回归系数 ａ^的计算公式 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ ｂ^ ＝ 　 　 　 　 　 　 ＝  ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ｎ ｘ　ｙ  ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ ２ ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ 　 　 （３）回归直线方程的性质 ①回归直线方程一定过点　 　 　 　 　 ． ②一次函数^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^的单调性由ｂ^的符号 决定，函数递增的充要条件是　 　 　 　 　 ． ③回归系数ｂ^的实际意义：当ｘ增大一个单 位时，^ｙ增大ｂ^个单位． 思考２：求回归直线方程的目的是什么？ 相关关系 　 　 （１）定义：统计学里一般用γ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 来衡量ｙ与ｘ的线 性相关性强弱，这里的γ称为线性相关系数（简称为 相关系数）． （２）性质 ① ｜ γ ｜≤ 　 　 　 　 　 ，且ｙ与ｘ正相关的充要 条件是　 　 　 　 　 ，ｙ与ｘ负相关的充要条件是 　 　 　 　 　 ． ② ｜ γ ｜越　 　 　 　 　 ，说明两个变量之间的线 性相关性越　 　 　 　 ，也就是得出的回归直线方 程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况； ｜ γ ｜越　 　 　 　 ，说明两个变量之间的线性相关性 越　 　 　 　 ，也就是得出的回归直线方程越有 价值； ③ ｜ γ ｜ ＝ １的充要条件是成对数据构成的点 都在回归直线　 上． 非线性回归方程 　 　 如果具有相关关系的两个变量ｘ，ｙ不是 线性相关　 关系，那么称为非线性相关关系．所得到 的方程称为非线性回归方程（也简称为回归方程）． 思考３：如何猜测非线性回归方程的类型                                           ？ /012%345 题型探究 题型一 相关关系的判断 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．两对变量Ａ和Ｂ，Ｃ和Ｄ的对应数据分别 如表１和表２所示，据此画出散点图，分别判 断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，则说 出它们具有什么样的相关关系． 表１ Ａ ２６ １８ １３ １０ ４ － １ Ｂ ２０ ２４ ３４ ３８ ５０ ６４ 表２ Ｃ ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ３５ Ｄ ５４１． ６７ ６０８． ６６ ６７２． ０９ ７０４． ９９ ８０６． ７１ ９０２． ５９ ９４５． ４２ １ ００６． ７５ 　 　 ［分析］　 画出散点图→观察各点的分布→ 判断是否具有相关关系 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 研究两变量是否存在某种关 系的思路 在研究两个变量之间是否存在某种关系时， 必须从散点图入手．对于散点图，可以作出如下 判断                         ： !'# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （１）如果所有的样本点都落在某一曲线上， 就用该曲线对应的函数来描述变量之间的关系， 即变量之间具有函数关系． （２）如果所有的样本点都落在某一曲线附 近，那么变量之间具有相关关系． （３）如果所有的样本点都落在某一直线附 近，那么变量之间具有线性相关关系． 对点训练? （１）对变量ｘ，ｙ由观测数据 （ｘｉ，ｙｉ）（ｉ ＝ １，２，…，１０），得散点图１；对变量ｕ，ｖ 由观测数据（ｕｉ，ｖｉ）（ｉ ＝ １，２，…，１０），得散点图２． 由这两个散点图可以判断 （Ｃ ） Ａ．变量ｘ与ｙ正相关，ｕ与ｖ正相关 Ｂ．变量ｘ与ｙ正相关，ｕ与ｖ负相关 Ｃ．变量ｘ与ｙ负相关，ｕ与ｖ正相关 Ｄ．变量ｘ与ｙ负相关，ｕ与ｖ负相关 （２）下列两个变量间的关系不是函数关系的是 （Ｄ ） Ａ．圆的半径与周长 Ｂ．角的度数与它的正弦值 Ｃ．粮食亩产量为常数时，土地面积与粮食总 产量 Ｄ．日照时间与水稻的单位产量 题型二 回归直线方程及其应用 ２．随着网络的普及，网上购物的方式已经受 到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的 成交量ｘ（单位：件）与店铺的浏览量ｙ（单位；次） 之间的对应数据如下表所示： ｘ ／件 ２ ４ ５ ６ ８ ｙ ／次 ３０ ４０ ５０ ６０ ７０ 　 　 （１）根据表中数据画出散点图； （２）根据表中的数据，求出ｙ关于ｘ的回归直线 方程； （３）当这种商品的成交量突破１００件（含１００ 件）时，预测这家店铺的浏览量至少为多少． ［分析］　 以横轴表示成交量，纵轴表示浏览 量，画出散点图，若散点图显示两变量线性相关， 则依据公式求解回归直线方程，再利用回归直线 方程进行估计． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 线性回归分析的步骤 （１）收集样本数据，设为（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ ＝ １，２，…， ｎ）（数据一般由题目给出）． （２）作出散点图，确定ｘ，ｙ具有线性相关 关系． （３）计算ｘ，ｙ，ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ， ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ． （４）代入公式计算相关系数，确定相关性的 强弱． （５）代入公式计算ｂ^，^ａ，写出回归直线方程 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^； （６）利用回归直线方程进行预测． 对点训练? 某厂的生产原料耗费ｘ（单 位：百万元）与销售额ｙ（单位：百万元）之间有如 下的对应关系： ｘ ／百万元 ２ ４ ６ ８ ｙ ／百万元 ３０ ４０ ５０ ７０ 　 　 ｘ与ｙ之间是否具有线性相关关系？若有，判 断相关性的强弱，并求其回归直线方程． 题型三 非线性回归方程 ３．某企业新研发了一种产品，产品的成本由 原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料 成本ｙ（元）与生产该产品的数量ｘ（千件）有关，经 统计得到如下数据： ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ｙ １１２ ６１ ４４． ５ ３５ ３０． ５ ２８ ２５                                                                        ２４ !'$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 根据以上数据，绘制了散点图． 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系， 现考虑用反比例函数模型ｙ ＝ ａ ＋ ｂｘ和指数函数模 型ｙ ＝ ｃｅｄｘ分别对两个变量的关系进行拟合．已求 得用指数函数模型拟合的回归方程为^ｙ ＝ ９６． ５４ｅ －０． ２ｘ，ｌｎｙ与ｘ的相关系数ｒ１ ＝ － ０． ９４． 参考数据其中ｕｉ ＝ １ｘ( )ｉ ：  ８ ｉ ＝ １ ｕｉｙｉ ｕ ｕ２  ８ ｉ ＝ １ ｕ２ｉ  ８ ｉ ＝ １ ｙｉ  ８ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ ０． ６１ × ６ １８５．槡 ５ ｅ － ２ １８３． ４ ０． ３４ ０． １１５ １． ５３ ３６０ ２２ ３８５． ５ ６１． ４ ０． １３５ 　 　 （１）用反比例函数模型求ｙ关于ｘ的回归 方程； （２）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟 合效果更好（精确到０． ０１），并用其估计产量为１０ 千件时每件产品的非原料成本； （３）该企业采取订单生产模式（根据订单数量 进行生产，即产品全部售出）．根据市场调研数据， 若该产品单价定为１００元，则签订９千件订单的概 率为０． ８，签订１０千件订单的概率为０． ２；若单价定 为９０元，则签订１０千件订单的概率为０． ３，签订１１ 千件订单的概率为０． ７．已知每件产品的原料成本 为１０元，根据（２）的结果，企业要想获得更高利润， 产品单价应选择１００元还是９０元，请说明理由． 参考公式：对于一组数据（ｕ１，ｖ１），（ｕ２，ｖ２），…， （ｕｎ，ｖｎ），其回归直线ｖ ＝ α ＋ βｕ的斜率和截距的最 小二乘估计分别为：^β ＝  ｎ ｉ ＝１ ｕｉｖｉ － ｎ ｕ　ｖ  ｎ ｉ ＝１ ｕ２ｉ － ｎ ｕ ２ ，^ａ ＝ ｖ － β^ ｕ， 相关系数ｒ ＝  ｎ ｉ ＝１ ｕｉｖｉ － ｎ ｕ　ｖ  ｎ ｉ ＝１ ｕ２ｉ － ｎ ｕ( ) ２  ｎ ｉ ＝１ ｖ２ｉ － ｎ ｖ( )槡 ２ ［分析］　 （１）首先可令ｕ ＝ １ｘ并将ｙ ＝ ａ ＋ ｂ ｘ 转化为ｙ ＝ ａ ＋ ｂｕ，然后根据题目所给数据以及线 性回归方程的相关公式计算出ｂ^以及^ａ，即可得出 结果． （２）计算出反比例函数模型的相关系数ｒ并 通过对比即可得出结果． （３）可分别计算出单价为１００元和９０元时产 品的利润，通过对比即可得出结果． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 非线性回归问题有时并不给 出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点 图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对 数函数等）图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合 得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题 化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步 骤为： 作散点图 根据原始数据（ｘ，ｙ）作出散点图 ↓  选拟合函数 根据散点图，选择恰当的拟合函数 ↓  变换求解 作恰当的变换，将其转化成线性函数， 求线性回归方程 ↓  变换还原 在上面的基础上通过相应 的变换，即可得非线性回归 方程 对点训练? “绿水青山就是金山银山” 的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展．以下 表格和图反映了近几年我国某新能源乘用车的年 销售量情况． 年份 ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２ ２０２３ 年份代码ｘ １ ２ ３ ４ ５ 某新能源乘用车 年销售量ｙ ／万辆１． ５ ５． ９ １７． ７ ３２． ９ ５５．                                                                        ６ !'% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 （１）请根据散点图判断，ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ与ｙ ＝ ｃｘ２ ＋ ｄ中哪一个更适宜作为年销售量ｙ关于年份代码ｘ 的回归方程类型．（给出判断即可，不必说明理由） （２）根据（１）的判断结果及表中数据，建立ｙ 关于ｘ的回归方程，并预测２０２４年我国该新能源 乘用车的年销售量．（精确到０． １） 参考数据：ｙ ＝ ２２． ７２，５ ｉ ＝ １ （ｗｉ － ｗ）２ ＝ ３７４，  ５ ｉ ＝ １ （ｗｉ － ｗ）（ｙｉ － ｙ）＝８５１． ２（其中ｗｉ ＝ ｘ２ｉ）． 易错警示 　 　 生搬硬套求回归直线方程的步骤致错． ４．在一次抽样调查中测得样本的５个样本点 数值如下表： ｘ ０． ２５ ０． ５ １ ２ ４ ｙ １６ １２ ５ ２ １ 　 　 试建立ｙ与ｘ之间的回归方程． ［错解］　 ∵ ｘ ＝ ０． ２５ ＋ ０． ５ ＋ １ ＋ ２ ＋ ４５ ＝ １． ５５； ｙ ＝ １６ ＋ １２ ＋ ５ ＋ ２ ＋ １５ ＝ ７． ２， ∑ ５ ｉ ＝１ ｘｉｙｉ ＝０．２５ ×１６ ＋０．５ ×１２ ＋１ ×５ ＋２ ×２ ＋４ ×１ ＝２３． ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ ０． ２５ ２ ＋ ０． ５２ ＋ １２ ＋ ２２ ＋ ４２ ＝ ２１． ３１２ ５． ∑ ５ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ ＝ １６ ２ ＋ １２２ ＋ ５２ ＋ ２２ ＋ １２ ＝ ４３０． ∴ ｂ^ ＝ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ５ｘ ｙ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ５ｘ ２ ＝ ２３ － ５ × １． ５５ × ７． ２ ２１． ３１２５ － ５ × １． ５５２ ＝ － ３． ５２６ ９≈ －３． ５３． ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝７． ２ ＋ ３． ５３ × １． ５５≈１２． ６７． ∴ ｙ^ ＝１２． ６７ － ３． ５３ｘ． ［辨析］　 此题解法是错误的，原因是这两个 变量之间不是线性相关关系．此类问题的解决，应 先对两个变量间的相关关系进行相关性检验，然 后结合作出的散点图，选择适宜的回归方程． ［正解］　 ［点评］　 只有当两变量间呈线性相关关系 时，才可以求回归系数，得到回归直线方程^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^：若两变量间的关系不是线性相关关系，应 观察分析其散点图，找出拟合函数，通过变量代换 再作线性回归                                                                        ． !'& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·天津卷）下列图中，线性相关性系数最 大的是 （　 　 ） Ａ 　 　 　 　 Ｂ Ｃ 　 　 　 　 Ｄ ２．已知ｘ与ｙ之间的一组数据： ｘ ０ １ ２ ３ ｙ １ ３ ５ ７ 若ｙ与ｘ线性相关，则ｙ与ｘ的回归直线^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^必过 （Ｄ ） Ａ．点（２，２）　 Ｂ．点（１．５，０）　 Ｃ．点（１，２）　 Ｄ．点（１．５，４） ３．如图所示，给出了样本容量均为７的Ａ，Ｂ两组 样本数据的散点图，已知Ａ组样本数据的相关 系数为ｒ１，Ｂ组数据的相关系数为ｒ２，则（Ｃ ） Ａ． ｒ１ ＝ ｒ２ Ｂ． ｒ１ ＜ ｒ２ Ｃ． ｒ１ ＞ ｒ２ Ｄ．无法判定 ４．对于线性相关系数ｒ，叙述正确的是 （Ｄ ） Ａ． ｒ∈（－ ∞，＋ ∞），且ｒ越大，相关程度越大 Ｂ． ｒ∈（－ ∞，＋ ∞），且｜ ｒ ｜越大，相关程度越大 Ｃ． ｒ∈［－１，１］，且ｒ越大，相关程度越大 Ｄ． ｒ∈［－１，１］，且｜ ｒ ｜越大，相关程度越大 ５．正常情况下，年龄在１８岁到３８岁的人，体重ｙ（ｋｇ） 对身高ｘ（ｃｍ）的回归方程为^ｙ ＝ ０． ７２ｘ － ５８． ２， 张红同学（２０岁）身高为１７８ ｃｍ，她的体重应该 在　 　 　 　 ｋｇ左右． 请同学们认真完成练案［１７                                    ］ ４． ３． ２　 独立性检验 !"#$%&'( 课程标准 １．通过实例，理解２ × ２列联表的统计意义． ２．通过实例，了解２ × ２列联表独立性检验及其应用． 学法解读 １．通过２ × ２列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养． ２．借助χ２计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养． !'' 　 　 知识点３　 （１）μ ＝ ０且σ ＝ １　 （３）１ 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）证明：∵ Ｘ ～ Ｎ（１０，１）， ∴正态曲线φμ，σ（ｘ）关于直线ｘ ＝ １０对称，而区间（１，２）和 （１８，１９）关于直线ｘ ＝ １０对称， 即Ｐ（１ ＜ Ｘ ＜ ２）＝ Ｐ（１８ ＜ Ｘ ＜ １９）． （２）∵ Ｐ（Ｘ≤２）＋ Ｐ（２ ＜ Ｘ≤１０）＋ Ｐ（１０ ＜ Ｘ ＜ １８）＋ Ｐ（Ｘ≥１８）＝ １，μ ＝ １０， ∴ Ｐ（Ｘ≤２）＝ Ｐ（Ｘ≥１８）＝ ａ，Ｐ（２ ＜ Ｘ≤１０）＝ Ｐ（１０ ＜ Ｘ ＜１８）， ∴ ２ａ ＋ ２Ｐ（１０ ＜ Ｘ ＜ １８）＝ １， 即Ｐ（１０ ＜ Ｘ ＜ １８）＝ １ － ２ａ２ ＝ １ ２ － ａ． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 Ｐ（－ ２ ＜ ξ ＜ ２）＝ １ － ２Ｐ（ξ ＞ ２）＝ １ － ２ × ０． ０２３ ＝ ０． ９５４． （２）ＢＣ　 依题可知，ｘ ＝ ２． １，ｓ２ ＝ ０． ０１，所以Ｙ ～ Ｎ（２． １， ０． １），故Ｐ（Ｙ ＞ ２）＝ Ｐ（Ｙ ＞ ２． １ － ０． １）＝ Ｐ（Ｙ ＜ ２． １ ＋ ０． １）≈ ０． ８４１ ３ ＞ ０． ５，Ｃ正确，Ｄ错误；因为Ｘ ～ Ｎ（１． ８，０． １），所以Ｐ（Ｘ ＞ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＞ １． ８ ＋ ２ × ０． １），因为Ｐ（Ｘ ＜ １． ８ ＋ ０． １）≈０． ８４１ ３， 所以Ｐ（Ｘ ＞ １． ８ ＋ ０． １）≈１ － ０． ８４１ ３ ＝ ０． １５８ ７ ＜ ０． ２，而Ｐ（Ｘ ＞ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＞ １． ８ ＋ ２ × ０． １）＜ Ｐ（Ｘ ＞ １． ８ ＋ ０． １）＜ ０． ２，Ｂ正确，Ａ 错误．故选ＢＣ． 　 　 例２：由题意可知，分数Ｘ ～ Ｎ（１１０，２０２），μ ＝ １１０，σ ＝ ２０， Ｐ（Ｘ≥９０）＝ Ｐ（Ｘ≥１１０ － ２０）＝ Ｐ（Ｘ≥μ － σ）， 因为Ｐ（Ｘ≤μ －σ）＋Ｐ（μ －σ≤Ｘ≤μ ＋σ）＋Ｐ（Ｘ≥μ ＋σ） ＝ ２Ｐ（Ｘ≤μ － σ）＋ ０． ６８３ ＝ １， 所以Ｐ（Ｘ≤μ － σ）＝ ０． １５８ ５， 所以Ｐ（Ｘ≥９０）＝１ －Ｐ（Ｘ≤μ －σ）＝１ －０．１５８ ５ ＝０．８４１ ５． 　 　 例３：由于圆柱形零件的外径尺寸Ｘ ～ Ｎ（４，０． ２５），由正态 分布的特征可知，Ｘ在区间（４ － ３ × ０． ５，４ ＋ ３ × ０． ５）（即（２． ５， ５． ５））之外取值的概率约为０． ００２ ７．而５． ７（２． ５，５． ５），这说 明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统 计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合 格的． 　 　 对点训练２：∵ ξ ～ Ｎ（９０，１００），∴ μ ＝ ９０，σ ＝ １０． （１）在该正态分布中，μ － ２σ ＝ ７０，μ ＋ ２σ ＝ １１０， ∵ Ｐ（μ － ２σ ＜ Ｘ≤μ ＋ ２σ）＝ ０． ９５４ ５， ∴考试成绩ξ位于区间（７０，１１０］内的概率为０． ９５４ ５． （２）μ － σ ＝ ８０，μ ＋ σ ＝ １００， ∵ Ｐ（μ － σ ＜ Ｘ≤μ ＋ σ）＝ ０． ６８２ ７， ∴考试成绩ξ位于区间（８０，１００］内的概率为０． ６８２ ７． 由共有２０００名考生，知考试成绩在（８０，１００］间的考生大约 有２ ０００ × ０． ６８２ ７≈１ ３６５（人）． 　 　 例４：（１）设参赛学生的分数为ξ， 因为ξ ～ Ｎ（７０，１００），所以ξ － ７０１０ ～ Ｎ（０，１）． 由条件知，Ｐ（ξ≥９０）＝ １ － Ｐ（ξ ＜ ９０） ＝ １ －Φ ９０ － ７０( )１０ ＝ １ －Φ（２）＝ １ － ０． ９７７ ２ ＝ ０． ０２２ ８． 这说明成绩在９０分以上（含９０分）的学生人数约占全体参 赛人数的２． ２８％， ∴参赛总人数约为１２０． ０２２ ８≈５２６（人）． （２）假定设奖的分数线为ｘ分，则Ｘ ～ Ｎ（７０，１００），故ｘ － ７０１０ ～ Ｎ（０，１）．又Ｐ（ξ≥ｘ）＝ １ － Ｐ（ξ ＜ ｘ） ＝ １ －Φ ｘ － ７０( )１０ ＝ ５０５２６≈０． ０９５ １． 即Φ ｘ － ７０( )１０ ≈０． ９０４ ９，查表得ｘ － ７０１０ ≈１． ３１， 解得ｘ ＝ ８３． １． 故设奖的分数线约为８３分． 　 　 对点训练３：（１）因为Ｘ ～ Ｎ（０，１）， 所以Φ（－ ３）＝ Ｐ（Ｘ ＜ － ３） ＝ １２ ［１ － Ｐ（－ ３≤Ｘ≤３）］≈ １ ２ （１ － ０． ９９７）＝ ０． ００１ ５． （２）因为Ｘ ～ Ｎ（０，１）且Φ（０． ４２）＝ ０． ６６２ ８， 所以由Φ（－ ａ）＋Φ（ａ）＝ １得，Φ（－ ０． ４２）＝ １ －Φ（０． ４２） ＝ １ － ０． ６６２ ８ ＝ ０． ３３７ ２． 　 　 例５：０． ０２１ ５　 因为ξ － Ｎ（１，４），所以μ ＝ １，σ ＝ ２， Ｐ（５ ＜ ξ ＜ ７）＝ Ｐ（－ ５ ＜ ξ ＜ － ３）， 则Ｐ（５ ＜ ξ ＜ ７） ＝ １２ ［Ｐ（－ ５ ＜ ξ ＜ ７）－ Ｐ（－ ３≤ξ≤５）］ ＝ １２ ［Ｐ（１ － ６ ＜ ξ ＜ １ ＋ ６）－ Ｐ（１ － ４≤ξ≤１ ＋ ４）］ ＝ １２ ［Ｐ（μ － ３σ ＜ ξ ＜ μ ＋ ３σ）－ Ｐ（μ － ２σ≤ξ≤μ ＋ ２σ）］ ≈ １２ ×（０． ９９７ － ０． ９５４） ＝ ０． ０２１ ５． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 正态曲线函数的图像关于直线ｘ ＝ μ ＞ ０对称，故选Ｄ． ２． Ｂ　 由Ｘ ～ Ｎ － ２，( )１４ ，知μ ＝ － ２，σ ＝ １２ ， ∴ Ｐ（－ ３． ５ ＜ Ｘ≤ － ０． ５）＝ Ｐ（－ ２ － ３ × ０． ５ ＜ Ｘ≤ － ２ ＋ ３ × ０． ５）＝ ０． ９９７ ３． ３． Ｂ　 随机变量Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２）， ∵ Ｐ（Ｘ≤ａ）＝ Ｐ（Ｘ ＞ ａ），Ｐ（Ｘ≤ａ）＋ Ｐ（Ｘ ＞ ａ）＝ １， ∴ ｘ ＝ ａ为相应正态曲线的对称轴． ∴ ａ ＝ μ． 正态曲线函数的图像关于直线ｘ ＝Ｍ ＞ ０对称，故选Ｂ． ４． Ｂ　 由ξ ～ Ｎ（１，４）知，μ ＝ １，σ ＝ ２， ∴ μ － σ ＝ － １，μ ＋ σ ＝ ３， ∴ Ｐ（１ ＜ ξ≤３）＝ １２ Ｐ（－ １ ＜ ξ≤３）＝ ０． ３４１ ３，故选Ｂ． ５． ０． ８　 ∵ Ｘ ～ Ｎ（１，σ２），且Ｐ（０ ＜ Ｘ≤１）＝ ０． ４， ∴ Ｐ（０ ＜ Ｘ≤２）＝ ２Ｐ（０ ＜ Ｘ≤１）＝ ０． ８． ４． ３　 统计模型 ４． ３． １　 一元线性回归模型 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）确定性　 随机性　 （２）平面直角坐标系　 （３）一次函数　 （４）增大　 减少 思考１：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而 言的． 　 　 知识点２　 （１）（ｙ１ － ｙ^１）２ ＋（ｙ２ － ｙ^２）２ ＋…＋（ｙｎ － ｙ^ｎ）２ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ^ｉ）２ 　 （２） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ 　 （３）①（ｘ，ｙ）　 ②ｂ^ ＞ ０ 思考２：回归直线方程确定之后，就可用于预测． 　 　 知识点３　 （１）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ｎ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）槡 ２  ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ｎ ｘ　 ｙ （ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ ２）（ｎ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ － ｎ ｙ ２槡 ） 　 （２）①１　 γ ＞ ０　 γ ＜ ０　 ②小　 弱　 大　 强　 ③回归直线                                                                       　 —１４４— 　 　 知识点４　 线性相关 思考３：可以通过作出散点图，结合已学的函数模型进行 猜测． 关键能力·攻重难 　 　 例１：散点图分别如图１和图２所示． 从图中可以看出两图中的点各自分布在一条直线附近，因 此两对变量都具有相关关系． 图１中，当Ａ的值由小变大时，Ｂ的值却是由大变小，故Ａ 和Ｂ成负相关； 图２中，当Ｃ的值由小变大时，Ｄ的值也是由小变大，故Ｃ 和Ｄ成正相关． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 由图像知，变量ｘ与ｙ呈负相关关系；ｕ 与ｖ呈正相关关系． （２）Ｄ　 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系， 但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数 值是确定的，是一种确定性的关系．因为Ａ项Ｃ ＝ ２πｒ，Ｂ项ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，Ｃ项ｙ ＝ ａｘ（ａ ＞ ０，ａ为常数），所以这三项均是函数关系；Ｄ 项是相关关系． 　 　 例２：（１）散点图如图所示． （２）根据散点图可得，变量ｘ与ｙ之间具有线性相关关系． 根据数据可知，ｘ ＝ ５，ｙ ＝ ５０，５ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ １ ３９０， ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ １４５，代入 公式得ｂ^ ＝  ５ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ５ｘ　ｙ  ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ５ｘ ２ ＝ １ ３９０ － ５ × ５ × ５０ １４５ － ５ × ５２ ＝ ７，^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ５０ － ７ × ５ ＝ １５． 故所求的回归直线方程是^ｙ ＝ ７ｘ ＋ １５． （３）根据上面求出的回归直线方程，当成交量突破１００件 （含１００件），即ｘ ＝ ｙ^ － １５７ ≥１００时，^ｙ≥７１５，所以预测这家店铺 的浏览量至少为７１５次． 　 　 对点训练２：散点图如图所示，由图可知ｘ，ｙ有线性相关 关系． ｘ ＝ ５，ｙ ＝ ４７． ５，４ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ １２０， ４ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ ＝ ９ ９００， ４ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ １ ０８０， ｒ ＝  ４ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ４ｘ　ｙ  ４ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ４ｘ( ) ２  ４ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ － ４ｙ( )槡 ２ ＝ １ ０８０ － ４ × ５ × ４７． ５ （１２０ － ４ × ５２）（９ ９００ － ４ × ４７． ５２槡 ） ≈０． ９８２ ７． 故ｘ与ｙ之间具有很强的线性相关关系．由公式得回归 系数 ｂ^ ＝  ４ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ４ｘ　ｙ  ４ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ４ｘ ２ ＝ １ ０８０ － ４ × ５ × ４７． ５ １２０ － ４ × ５２ ＝ ６． ５， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ４７． ５ － ６． ５ × ５ ＝ １５． 故ｙ对ｘ的回归直线方程为^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ １５． 　 　 例３：（１）令ｕ ＝ １ｘ ，则ｙ ＝ ａ ＋ ｂ ｘ可转化为ｙ ＝ ａ ＋ ｂｕ，因为ｙ ＝ ３６０８ ＝ ４５，所以 ｂ^ ＝  ８ ｉ ＝１ ｕｉｙｉ －８ｕ　ｙ  ８ ｉ ＝１ ｕ２ｉ －８ｕ ２ ＝１８３．４ －８ ×０．３４ ×４５１．５３ －８ ×０．１１５ ＝ ６１ ０．６１ ＝１００， 则^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｕ ＝ ４５ － １００ × ０． ３４ ＝ １１，所以^ｙ ＝ １１ ＋ １００ｕ， 所以ｙ关于ｘ的回归方程为^ｙ ＝ １１ ＋ １００ｘ ． （２）ｙ与１ｘ的相关系数为：ｒ２ ＝  ８ ｉ ＝ １ ｕｉｙｉ － ８ ｕ　ｙ （８ ｉ ＝ １ ｕ２ｉ － ８ｕ ２）（８ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ － ８ｙ ２槡 ） ＝ ６１ ０． ６１ × ６ １８５．槡 ５ ≈０． ９９． 因为｜ ｒ１ ｜ ＜ ｜ ｒ２ ｜，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当ｘ ＝ １０时，ｙ ＝ １００１０ ＋ １１ ＝ ２１（元）， 所以当产量为１０千件时，每件产品的非原料成本为２１元． （３）①当产品单价为１００元，设订单数为ｘ千件，因为签订９ 千件订单的概率为０． ８，签订１０千件订单的概率为０． ２， 所以Ｅ（ｘ）＝ ９ × ０． ８ ＋ １０ × ０． ２ ＝ ９． ２， 所以企业利润为１００ × ９． ２ － ９． ２ × １００９． ２( )＋ ２１ ＝ ６２６． ８（千元）． ②当产品单价为９０元，设订单数为ｙ千件，因为签订１０千件 订单的概率为０． ３，签订１１千件订单的概率为０． ７， 所以Ｅ（ｙ）＝１０ ×０． ３ ＋１１ ×０． ７ ＝１０． ７， 所以企业利润为 ９０ × １０． ７ － １０． ７ × １００１０． ７( )＋ ２１ ＝ ６３８． ３（千元）． 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择９０元． 　 　 对点训练３：（１）根据散点图可知，ｙ ＝ ｃｘ２ ＋ ｄ更适宜作为年 销售量ｙ关于年份代码ｘ的回归方程类型． （２）令ｗ ＝ ｘ２，则^ｙ ＝ ｃ^ｗ ＋ ｄ^． 易知ｗ ＝ １１，ｃ^ ＝  ５ ｉ ＝ １ （ｗｉ － ｗ）（ｙｉ － ｙ）  ５ ｉ ＝ １ （ｗｉ － ｗ）２ ＝ ８５１． ２３７４ ≈２． ２８， ｄ^ ＝ ｙ － ｃ^ ｗ≈２２． ７２ － ２． ２８ × １１ ＝ － ２． ３６，所以^ｙ ＝ ２． ２８ｗ － ２． ３６，所以ｙ关于ｘ的回归方程为^ｙ ＝ ２． ２８ｘ２ － ２． ３６． 令ｘ ＝ ６，得^ｙ ＝ ７９． ７２≈７９． ７． 故预测２０２４年我国该新源乘用车的年销售量为７９． ７万辆． 　 　 例４：由数值表可作散点图如图所示                                                                     ： —１４５— 　 　 根据散点图可知ｙ与ｘ近似地呈反比例函数关系，设ｙ ＝ ｋ ｘ ，令ｔ ＝ １ ｘ ，则ｙ ＝ ｋｔ，原数据变为： ｔ ４ ２ １ ０． ５ ０． ２５ ｙ １６ １２ ５ ２ １ 　 　 由置换后的数值表作散点如图所示： 　 　 由散点图可以看出ｙ与ｔ呈近似的线性相关关系．列表 如下： ｉ ｔｉ ｙｉ ｔｉ ｙｉ ｔ２ｉ ｙ２ｉ １ ４ １６ ６４ １６ ２５６ ２ ２ １２ ２４ ４ １４４ ３ １ ５ ５ １ ２５ ４ ０． ５ ２ １ ０． ２５ ４ ５ ０． ２５ １ ０． ２５ ０． ０６２５ １ ∑ ７． ７５ ３６ ９４． ２５ ２１． ３１２５ ４３０ 　 　 所以ｔ ＝ １． ５５，ｙ ＝ ７． ２， 所以ｂ^ ＝ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｔｉｙｉ － ５ｔ ｙ Σ ５ ｉ ＝ １ ｔ２ｉ － ５ｔ ２ ≈４． １３４４． ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｔ≈０． ８． 所以^ｙ ＝ ４． １３４４ｔ ＋ ０． ８． 所以ｙ与ｘ的回归方程是^ｙ ＝ ４． １３４４ｘ ＋ ０． ８． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 观察４幅图可知，Ａ图散点分布比较集中，且大体接近某 一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相 关，｜ ｒ ｜值相比于其他３图更接近１．故选Ａ． ２． Ｄ　 因为ｘ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３４ ＝ １． ５，^ｙ ＝ １ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ４ ＝ ４，所以回归 直线必过点（１． ５，４）． ３． Ｃ　 ４． Ｄ　 ５． ６９． ９６　 用回归方程对身高为１７８ ｃｍ的人的体重进行预测， 当ｘ ＝ １７８时，^ｙ ＝ ０． ７２ × １７８ － ５８． ２ ＝ ６９． ９６（ｋｇ）． ４． ３． ２　 独立性检验 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （２） ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）　 ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ 　 　 知识点２　 （１）显著性水平　 分位数　 α　 １ － α 思考：不对，若χ２ ＜ ｋ成立，则说明有１ － α的把握认为事件 Ａ与Ｂ无关． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）由调查数据知，男顾客对该商场服务满意的概率 的估计值为０． ８；女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 ３０ ５０ ＝ ０． ６． （２）χ２ ＝ １００ ×（４０ × ２０ － ３０ × １０） ２ ５０ × ５０ × ７０ × ３０ ≈４． ７６２． 由于４． ７６２ ＞ ３． ８４１，故有９５％的把握认为男、女顾客对该 商场服务的评价有差异． 　 　 对点训练１：（１）根据题目所给数据得到如下２ × ２的列 联表： 使用寿命不高于６年使用寿命不低于７年总计 Ａ型 ３０ ７０ １００ Ｂ型 ５０ ５０ １００ 总计 ８０ １２０ ２００ 　 　 所以χ２ ＝ ２００ ×（５０ × ７０ － ３０ × ５０） ２ １００ × １００ × ８０ × １２０ ≈８． ３３３． 查表可得Ｐ（χ２≥６． ６３５）＝ ０． ０１， 由于８． ３３３ ＞ ６． ６３５， 所以有９９％的把握认为出租车的使用寿命与汽车车型 有关． （２）记事件Ａ为“小李选择Ａ型车，３年内（含３年）不换 车”，事件Ｂ为“小李选择Ｂ型车，３年内（含３年）不换车”，所以 Ｐ（Ａ）＝４５ ＋２５１００ ＝０． ７，Ｐ（Ｂ）＝ ４０ ＋１０ １００ ＝ ０． ５，因为Ｐ（Ａ）＞ Ｐ（Ｂ）， 所以小李应选择Ａ型车． 　 　 例２：（１）列联表补充如下： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 ２２ ６ ２８ 女生 １０ １０ ２０ 合计 ３２ １６ ４８ 　 　 （２）由χ２ ＝ ４８ ×（２２０ － ６０） ２ ２８ × ２０ × ３２ × １６≈４． ２８６． 因为４． ２８６ ＞ ３． ８４１，所以，能在犯错误的概率不超过０． ０５ 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． （３）喜爱打篮球的女生人数Ｘ的可能取值为０，１，２． 其概率分别为 Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ ２ １０ Ｃ２２０ ＝ ９３８， Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ １ １０Ｃ １ １０ Ｃ２２０ ＝ １０１９， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ ２ １０ Ｃ２２０ ＝ ９３８， 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ９３８ １０ １９ ９ ３８ 　 　 Ｘ的均值为Ｅ（Ｘ）＝ ０ ＋ １０１９ ＋ ９ １９ ＝ １． 　 　 对点训练２：（１）根据题意可得列联表                                                                      ： —１４６—