4.2.5 正态分布(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

即顾客所获的奖励额为60元的概率为号 P(X=5)= 1=5 (ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20,60. 故随机变量X的概率分布列为： P(X=60)=2,P(X=20)= C I =2 2 3 4 5 所以X的分布列为 5 5 5 5 X 20 60 B(0=1x+2x+3x5+4×5+5x5=3 D0=(1-3尸x5+(2-3)2×5+(3-3)2x5+ 所以展客所获的奖励额的期型为()=20×宁+0x宁(4-3)炉×兮+6-3)户×兮 =40. (2)根据商场的预算，每个顿客的平均奖励额为60元，所以 =5×(22+12+02+12+2)=2 先寻找期望为60的可能方案对于面值由10元和50元组成的课堂检测·固双基 情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60是面值之和的最 大值，所以期望不可能为60：如果选择(50,50,50,10)的方案， .C由题意得()=仰=6，D()=m(1-p）=3,六P=之 因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60，因此 可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. n=l2P(X=)=C×(2)×(分)）=3x2散选c 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,2.B设摸得白球的概率为P, 20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20， 由题意得，X~B(4,P), 40.40),记为方案2 i .D(X)=4p(1-p)=1p=2 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额 六E(X0=4p=4×2=2 (单位：元)为X1,则X的分布列为 ! 故选B 场 60 100 3.A由题意可知~（子）： P 6 3 2 . 3n=E()=24,n=36. 所以X1的期望为E(X,)=20× 6+60x 2 +100×6 又D)=mx子×(1-号)-号×36=8 0,的方爱为0X)=(20-60)×名+(0-60×号+4c(0=号+写= 2 （10-60)2×右1g0 3 + 4-240=(号-)×号+（号-6）x号=号 对于方案2，即方案(20,20,40,40).设项客所获的奖励额 5 (单位：元)为X2,则X2的分布列为 3 解得 (舍)或5=1， X 40 60 80 =3 2 1 6 3 6 5.2 4 由题意得，6+p+3=1, 所以无的期塑为E(七)=40×石+60× 3+80× 6 p=2 0,的方差为(6)=(40-60)2×石+(60-60)2×号 + 由期塑公式得E()=0×右+2×宁+口×行=2， a=3 (80-0)2×右= 00=(0-2)2×石+(2-22×2+(3-2)2×号=1 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2的奖 故D(2X-3)=2×D(X)=4. 励额的方差比方案1的小，故应该选择方案2 例4：设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为 4.2.5正态分布 1、2345. X=表示前-1次没打开此门，第长次才打开了此们. 必备知识·探新知 知识点1(2)①x=4中间高两边低②1③σ越大 0越小(3)0.34130.13590.0215 思考1：心越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所 C11 P(X=3)= 以曲线越“胖”0越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强， 所以曲线越“瘦”， P(X=4)= C11 知识点2(1)面积9(x）均值标准差方差 (2)68.3%95.4%99.7%(3)0.3% 一143- 知识点3(1)4=0且σ=1(3)1 解得x=83.1. 关键能力·攻重难 故设奖的分数线约为83分 例1：(1)证明：X~N(10,1), 对点训练3：(1)因为X~N(0,1) ·正态曲线9。(x)关于直线x=10对称，而区间(1,2)和 所以中(-3)=P(X<-3) (18,19)关于直线x=10对称， 即P(1<X<2)=P(18<X<19) =21-P(-3≤X≤3]=之1-0.97=0.015 (2),P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(I0<X<18)+ (2)因为X~N(0,1)且(0.42)=0.6628， P(X≥18)=1,4=10. 所以由中-a)+(a)=1得，(-0.42)=1-(0.42) .P(X≤2)=P(X≥18)=a,P(2<X≤10)=P(10< =1-0.6628=0.3372. X<18), 例5：00215因为5-N(1,4),所以4=1,0=2， .2a+2P(10<X<18)=1, P(5<E<7)=P(-5<E<-3), 即P10<X<18)-=方-4 则P(5<E<7)】 对点训练1：(1)CP(-2<E<2)=1-2P(6>2)=1-2 =2[氏-5<5<7)-(-3≤6≤5)门 ×0.023=0.954. (2)BC依题可知，x=2.1,2=0.01,所以y-N(2.1, =P1-6<g<1+6)-P1-4≤5≤1+4] 0.1).放P(y>2)=P(y>2.1-0.1)=P(y<2.1+0.1)= =[Pu-3g<5<u+3o）-Pu-2a≤5s+2o月 0.8413>0.5,C正确.D错误：因为X~N(1.8,0.1).所以P(X >2)=P(X>1.8+2×0.1).因为P(X<1.8+0.1)=0.8413, =2×(0.99-0.954) 所以P(X>1.8+0.1)=1-0.8413=0.1587<0.2,而P(X> =0.0215 2)=PX>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+01)<Q2,B正确，A课堂检测·固双基 错误，故选BC :1.D正态曲线函数的图像关于直线x=4>0对称，故选D 例2：由题意可知，分数X-N(110,20)4=110,0=20, P(X≥90)=P(X≥110-20)=P(X≥μ-r), 2.B由X--2,）知u=-2.0=2 因为P代X≤4-r)+P4-TEX+π)+PX≥4+G) .P(-3.5<X≤-0.5)= =2P(X≤μ-0)+0.683=1. P(-2-3×0.5<X≤-2+3×0.5)=0.9973 所以P(X≤μ-r)=0.1585. 3.B随机变量X~N(4,σ)， 所以P(X≥90)=1-P(Xμ-σ)=1-0.1585=0.8415. P(X≤a)=P(X>a),P(X≤a)+P(X>a)=1, 例3：由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),由正态 ,∴.x=a为相应正态曲线的对称轴 分布的特征可知，X在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)（即(2.5， .a=化 5.5))之外取值的概率约为0.0027，而5.7(2.5,5.5)，这说 正态曲线函数的图像关于直线x=M>0对称，故选B. 明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统4.B由5-N(1,4)知4=1,0=2 计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合 4-=-14+0=3. 格的 对点训练2：E-N(90.100),.4=90,w=10 P(1<≤3)=2P(-1<5≤3)=0.3413，故选B (1)在该正态分布中“-20=704+20=110， 5.0.8,X-N(1.c),且P(0<X≤1)=0.4. P(μ-2o<X≤μ+2r）=0.9545, ∴.P(0<X≤2)=2P(0<X≤1)=0.8 六考试成绩专位于区间(70,110]内的概率为0.9545. (2)4-c=80.4+0=100, 4.3统计模型 P(μ-g<X≤μ+o)=0.6827 ∴考试成绩位于区间(80,100]内的概率为0.6827 4.3.1一元线性回归模型 由共有2000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大约必备知识·探新知 有2000×0.6827=1365（人）. 知识点1(1)确定性随机性(2)平面直角坐标系 例4：(1)设参赛学生的分数为， (3)一次函数(4)增大减少 因为5-N(70,100),所以-70-N(0.1). 思考1：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而 10 言的 由条件知，P(E≥90)=1-P(传<90) 知识点2(1)(-另)2+（为-方）2+…+(y-)2= =1-0909）-1-(2)=1-a972=0028 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参 -2 2-0 (3)①(x,y)②%>0 赛人数的2.28%， 含（年-0 12 思考2：回归直线方程确定之后，就可用于预测 ·参赛总人数约为0.028526（人） 含(-用(-习 （2)假定设奖的分数线为分，则X-(70,10),放00 知识点3(1) √含(-)'8(- -N(0,1).又P(≥x)=1-P(E<x) =1-00）-器-0.051 (2)①1y>0y<0②小 甲00）-0.9049，查表得00131， √8-n)(2-n子) 弱大强③回归直线 一144-! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ４． ２． ５　 正态分布 !"#$%&'( 课程标准 １．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质． ２．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题． ３．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内 取值的概率． 学法解读 １．通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养． ２．借助正态分布中的“３σ原则”解题及标准正态分布函数φ（ｘ）的函数值计算正态分布Ｘ ～ Ｎ（μ， σ２）在某一区间内取值的概率，提升数学运算的素养． )*+,%-.+ 正态曲线 　 　 （１）定义：当ｎ充分大时，Ｘ ～ Ｂ（ｎ，ｐ）的直观 表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．具体地 φ（ｘ）＝ １ σ ２槡π ｅ － （ｘ － μ）２ ２σ２ ，φ（ｘ）的解析式中含有μ和 σ两个参数，其中μ ＝ Ｅ（Ｘ），即Ｘ的均值，σ ＝ Ｄ（Ｘ槡 ），即Ｘ的标准差．一般地φ（ｘ）对应的图像 称为正态曲线． （２）性质： ①正态曲线关于直线ｘ ＝ μ　 对称，具有 “中间高　 ，两边低　 ”的特点； ②正态曲线与ｘ轴所围成的图形面积为 　 　 　 　 ； ③曲线的形态由参数σ确定，　 　 　 　 ，曲线 越“胖”；　 　 　 　 ，曲线越“瘦”． （３）面积：正态曲线与ｘ轴在区间［μ，μ ＋ σ］ 内所围面积约为０． ３４１ ３　 ，在区间［μ ＋ σ，μ ＋ ２σ］内所围面积约为０． １３５ ９　 ，在区间［μ ＋ ２σ， μ ＋３σ］内所围面积约为０． ０２１ ５　 ．如图． 思考：为什么σ决定正态曲线的“胖瘦”？ 正态分布 　 　 （１）定义：一般地，如果随机变量Ｘ落在区间 ［ａ，ｂ］内的概率，总是等于φμ，σ（ｘ）对应的正态曲 线与ｘ轴在区间［ａ，ｂ］内围成的　 　 　 　 ，则称Ｘ 服从参数为μ与σ的正态分布，记作Ｘ ～ Ｎ（μ， σ２），此时　 　 　 　 称为Ｘ的概率密度函数，μ是 Ｘ的　 　 　 　 ，σ是Ｘ的　 　 　 　 ，σ２ 是Ｘ的 　 　 　 　                                       ． !&( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）三个特殊区间内取值的概率值： Ｐ（μ － σ≤Ｘ≤μ ＋ σ）≈ 　 　 　 　 ， Ｐ（μ －２σ≤Ｘ≤μ ＋２σ）≈ 　 　 　 　 ， Ｐ（μ －３σ≤Ｘ≤μ ＋３σ）≈ 　 　 　 　 ． （３）“３σ原则”：由Ｐ（μ － ３σ≤Ｘ≤μ ＋ ３σ）≈ ９９． ７％知，正态变量Ｘ在区间［μ － ３σ，μ ＋ ３σ］之 外取值的概率约为　 　 　 　 （这样的事件可看成 小概率事件）． 标准正态分布 　 　 （１）标准正态分布的定义：μ ＝０且σ ＝ １　 的 正态分布称为标准正态分布． （２）Φ（ａ）的概念：如果Ｘ ～ Ｎ（０，１），那么对 于任意ａ，通常记Φ（ａ）＝ Ｐ（Ｘ ＜ ａ），即Φ（ａ）表示 Ｎ（０，１）对应的正态曲线与ｘ轴的区间（－ ∞，ａ） 内所围的面积． （３）Φ（ａ）的性质：Φ（－ ａ）＋Φ（ａ）＝ 　 　 　 　                  ． /012%345 题型探究 题型一 利用正态分布的对称性求概率 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设Ｘ ～ Ｎ（１０，１）． （１）求证：Ｐ（１ ＜ Ｘ ＜２）＝ Ｐ（１８ ＜ Ｘ ＜１９）； （２）若Ｐ（Ｘ≤２）＝ ａ，求Ｐ（１０ ＜ Ｘ ＜１８）． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 正态总体在某个区间内取值 概率的求解策略 （１）充分利用正态曲线对称性和曲线与ｘ轴 之间面积为１． （２）熟记Ｐ（μ － σ ＜ Ｘ≤μ ＋ σ），Ｐ（μ － ２σ ＜ Ｘ ≤μ ＋２σ），Ｐ（μ －３σ ＜ Ｘ≤μ ＋３σ）的值． （３）注意概率值的求解转化： ①Ｐ（Ｘ ＜ ａ）＝１ － Ｐ（Ｘ≥ａ）； ②Ｐ（Ｘ ＜ μ － ａ）＝ Ｐ（Ｘ≥μ ＋ ａ）； ③若ｂ ＜ μ，则Ｐ（Ｘ ＜ ｂ）＝ １ － Ｐ（μ － ｂ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ｂ）２ ． 特别提醒：正态曲线，并非都关于ｙ轴对称， 只有标准正态分布曲线才关于ｙ轴对称． 对点训练? （１）已知随机变量ξ服从正态 分布Ｎ（０，σ２），若Ｐ（ξ ＞２）＝０．０２３，则Ｐ（－２ ＜ ξ ＜２） ＝ （Ｃ ） Ａ． ０． ４７７ Ｂ． ０． ６２５ Ｃ． ０． ９５４ Ｄ． ０． ９７７ （２）（多选）（２０２４·新课标Ⅰ卷）随着“一带 一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推 动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位： 万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口 后亩收入的样本均值ｘ ＝ ２． １，样本方差ｓ２ ＝ ０． ０１， 已知该种植区以往的亩收入Ｘ服从正态分布 Ｎ（１． ８，０． １２），假设推动出口后的亩收入Ｙ服从 正态分布Ｎ（ｘ，ｓ２），则（若随机变量Ｚ服从正态分 布Ｎ（μ，σ２），Ｐ（Ｚ ＜ μ ＋ σ）≈０． ８４１ ３） （　 　 ） Ａ． Ｐ（Ｘ ＞２）＞０． ２ Ｂ． Ｐ（Ｘ ＞２）＜０． ５ Ｃ． Ｐ（Ｙ ＞２）＞０． ５ Ｄ． Ｐ（Ｙ ＞２）＜０． ８ 题型二 实际问题中的正态分布 　 　 角度１　 求给定区间的概率 ２．数学考试试卷满分是１５０分，设在一次考 试中，某班学生的分数Ｘ近似服从正态分布，且均 值为１１０，标准差为２０．求这个班在这次数学考试 中分数在９０分以上的概率． 　 　 ［尝试作答                                                        ］ !&) ! 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" # . # # # # # # # 　 　 角度２　 实际应用问题 ３．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸Ｘ ～ Ｎ（４，０． ２５）．质检人员从该厂生产的１ ０００件零件 中随机抽查一件，测得它的外径为５． ７ ｃｍ，试问该 厂生产的这批零件是否合格？ ［分析］　 判断某批产品是否合格，主要运用 统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是 否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺 寸是在（μ － ３σ，μ ＋ ３σ）之内还是在（μ － ３σ，μ ＋ ３σ）之外． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 解答正态分布的实际应用题 的关注点 （１）方法：转化法，把普通的区间转化为３σ 区间，由特殊区间的概率值求出． （２）理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线 与ｘ轴之间的面积为１；③Ｐ（μ － σ≤Ｘ≤μ ＋ σ）， Ｐ（μ －２σ≤Ｘ≤μ ＋ ２σ），Ｐ（μ － ３σ≤Ｘ≤μ ＋ ３σ） 的概率值． 对点训练? 在某次数学考试中，考生的 成绩服从一个正态分布，即ξ ～ Ｎ（９０，１００）． （１）试求考试成绩ξ位于区间（７０，１１０］内的 概率； （２）若这次考试共有２０００名考生，试估计考 试成绩在（８０，１００］间的考生大约有多少人． 题型三 标准正态分布及其应用 ４．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生 的竞赛成绩近似服从正态分布Ｎ（７０，１００）．已知 成绩在９０分以上（含９０分）的学生有１２名． （１）试问此次参赛学生总数约为多少人？ （２）若该校计划奖励竞赛成绩排在前５０名的 学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ（ｘ０）＝ Ｐ（ｘ ＜ ｘ０） ｘ０ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １． ２ ０． ８８４ ９ ０． ８８６ ９ ０． ８８８ ０． ８９０ ７７ ０． ８９２ ５ ０． ８９４ ４ ０． ８９６ ２ ０． ８９８ ０ ０． ８９９ ７ ０． ９０１ ５ １． ３ ０． ９０３ ２ ０． ９０４ ９ ０． ９０６ ６ ０． ９０８ ２ ０． ９０９ ９ ０． ９１１ ５ ０． ９１３ １ ０． ９１４ ７ ０． ９１６ ２ ０． ９１７ ７ １． ４ ０． ９１９ ２ ０． ９２０ ７ ０． ９２２ ２ ０． ９２３ ６ ０． ９２５ １ ０． ９２６ ５ ０． ９２７ ８ ０． ９２９ ２ ０． ９３０ ６ ０． ９３１ ６ １． ９ ０． ９７７ １３ ０． ９７１ ９ ０． ９７２ ６ ０． ９７３ ２ ０． ９７３ ８ ０． ９７４ ４ ０． ９７５ ０ ０． ９７５ ６ ０． ９７６ ２ ０． ９７６ ７ ２． ０ ０． ９７７ ２ ０． ９７７ ８ ０． ９７８ ３ ０． ９７８ ８ ０． ９７９ ３ ０． ９７９ ８ ０． ９８０ ３ ０． ９８０ ８ ０． ９８１ ２ ０． ９８１ ７ ２． １ ０． ９８２ １ ０． ９８２ ６ ０． ９８３ ０ ０． ９８３ ４ ０． ９８３ ８ ０． ９８４ ２ ０． ９８４ ６ ０． ９８５ ０ ０． ９８５ ４ ０． ９８５ ７ 　 　 ［分析］　 （１）先求出９０分以上（含９０分）的 学生所占的百分比，再计算参赛学生的总数Ａ； （２）利用Ｐ（ξ≥ ｘ）＝ ５０Ａ，结合Ｐ（ξ ＜ ｘ）＝ Φ ｘ －７０( )１０ 求解． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 １．任何一个一般的正态分布 都可以通过线性变换转化为标准正态分布． 即：如果Ｘ ～Ｎ（μ，σ２），则Ｚ ＝ Ｘ － μσ ～Ｎ（０，１）． ２．Φ（ａ）＝ Ｐ（ｘ ＜ ａ）即标准正态曲线与ｘ轴在 区间（－∞，ａ）上的概率，解题时要熟记该要点                                                                        ． !&* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 对点训练? 设随机变量Ｘ ～ Ｎ（０，１）， （１）求Φ（－３）的值； （２）若Φ（０． ４２）＝０． ６６２ ８，求Φ（－０． ４２）． 易错警示 　 　 对正态曲线的性质理解不准确致错 ５．设ξ ～ Ｎ （１，４），那么Ｐ （５ ＜ ξ ＜ ７） ＝ ０． ０２１ ５　 ． ［错解］　 因为ξ ～ Ｎ（１，４），所以μ ＝１，σ ＝２， Ｐ（５ ＜ ξ ＜７）＝ Ｐ（－５ ＜ ξ ＜ －３）． 则Ｐ（５ ＜ ξ ＜７） ＝ Ｐ（－５ ＜ ξ ＜７）－ Ｐ（－３≤ξ≤５） ＝ Ｐ（１ － ６ ＜ ξ ＜１ ＋ ６）－ Ｐ（１ － ４≤ξ≤１ ＋ ４） ＝ Ｐ（μ － ３σ ＜ ξ ＜ μ ＋ ３σ）－ Ｐ（μ － ２σ≤ξ≤ μ ＋２σ） ≈０． ９９７ － ０． ９５４ ＝ ０． ０４３． 上述错解中，由正态曲线关于直线ｘ ＝１对称，得 到Ｐ（５ ＜ ξ ＜７）＝Ｐ（－５ ＜ ξ ＜ －３）＝Ｐ（－５ ＜ ξ ＜７）－ Ｐ（－３≤ξ≤５），事实上，Ｐ（５ ＜ ξ ＜７）＝ １２［Ｐ（－５ ＜ ξ ＜７）－Ｐ（－３≤ξ≤５）］． ［正解］　 ［点评］　 因为正态曲线关于直线ｘ ＝ μ对称，所 以随机变量在对称轴两侧的对称区间上的概率相等． 在求概率的转化过程中易漏乘１２，从而出现错误                                          ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．正态曲线函数ｆ（ｘ）＝ １ ２槡πσ ｅ － （ｘ － μ）２ ２σ２ ，ｘ∈Ｒ，其中μ ＞ ０的图像是下图中的 （Ｄ ） ２．若Ｘ ～Ｎ（－２，１４），则Ｘ落在（－３．５，－０．５］内的概 率是 （Ｂ ） Ａ．９５．４５％ Ｂ．９９．７３％ Ｃ．４．５５％ Ｄ．０．２７％ ３．若随机变量Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２），且Ｐ（Ｘ≤ａ）＝ Ｐ（Ｘ ＞ ａ），则ａ的值为 （Ｂ ） Ａ．０ Ｂ． μ Ｃ． －μ Ｄ． σ ４．已知随机变量ξ服从正态分布Ｎ（１，４），则Ｐ（１ ＜ ξ ≤３）＝ （Ｂ ） （参考数据：若随机变量ξ ～ Ｎ（μ，σ２），则Ｐ（μ － σ ＜ ξ ＜μ ＋σ）＝０． ６８２ ６，Ｐ（μ －２σ ＜ ξ ＜ μ ＋２σ）＝ ０．９５４ ４，Ｐ（μ －３σ ＜ ξ ＜μ ＋３σ）＝０．９９７ ４） Ａ． ０． ６８２ ６ Ｂ． ０． ３４１ ３ Ｃ． ０． ９５４ ４ Ｄ． ０． ４７７ ２ ５．在某项测量中，测量结果Ｘ服从正态分布Ｎ（１， σ２）（σ ＞０），若Ｘ在（０，１］内取值的概率为 ０． ４，则Ｘ在（０，２］内取值的概率为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１６                        ］ !'!