4.2.4 第2课时离散型随机变量的方差(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

选手甲答4题进人决赛的概率为G×(号)×号×号-哥 思考：由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊 与一般的关系.即若X~B(n,P),则D(X)=p(1-P),取n=1, 选手甲答5题进人决赛的概率为心×（号）×（行广×号 则D(X)=p(1-p)就是两点分布的方差 关键能力·攻重难 例1：(1)X的分布列为 所以选手甲可进人决赛的概率为号+号+导一品 0 1 2 3 4 (2)依题意.X的可能取值为3,4,5 2 则有Px=3)=(号)+（付分）=号 六(0=0x号+1×六+2x0+3×品+4×写=.5 3 00=0-15)2x行+1-1.52×0+(2-1.52× 0+(3-15)2×0+4-152x写=275 Px=5)=Cx(号)x(兮×号+Cx(号)x(行) (2)由D(Y)=aD(X),得a2×2.75=11.即a=±2 又E()=aE(X)+b.所以当a=2时，由1=2×1.5=b,得 ×务因此，有 6=-2: 当a=-2时，由1=-2×1.5+b得6=4， X 3 0 六亿2或[84.2即为所求 3 27 对点调练1：由分布列的性质，知号+分+口=1，故4= 4 0=3×分+4×号+5×号- 所以x的均值E()=(-1)×方+0×+1×士 课堂检测·固双基 1.B出海的期望效益E(X)=5000×0.6+(1-0.6)×(-2000) 4 =3000-800=2200(元). 2.B设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为12,9,6 )x的方差0)=(-1+4)x+(0+x+ a罗古号 +x好墙 PK=6)=乙5放(D=78 (2)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)= 42D(X)=11. 3号PX=0)=立=(1-p)×子p=分随机变量X 例2：(1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且 的可能值为012,3.因此P(X=0)=立P心X=)=号× 6,) (+x×()=Px=2)=号x()x2+ ∴E(0=6×号=2.D(0=6x号×1-3）=号 (2)由已知得Y=30X,E(Y)=30E(X)=60, 号×（分=音x=)=号x合=石因此(0= D(Y)=900D(X)=1200. 对点训练2：(1)0.16依题意知：X服从两点分布，所以 x+2×+3x6 D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16. 4号依题意得X的取值可能为0.12.3且P代X=0)=高 (2)6号 由题意知，X服从二项分布B(n,P),由E(X) 3 器P=0密器PX=2)器2蕊P(X=) =p=3,D(X)=卿(1-p)=2 高做(0=0×积+1甚+2x瓷+3×高号 得1-p=分所以p=之n=6 例3：由题意，E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1, 5.9这是10次独立重复试验，-A(10,)】 E(X,)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.所以E(X,) =E(X:). 所议0=0mx名：号 D(x)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)月 ×0.3=0.49」 第2课时 离散型随机变量的方差 D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1) 必备知识·探新知 ×0.4=0.69. 知识点1(1)[x1-E(X)]p,+[x2-E(X)]p2+…+ 所以D(X,)<D(X), 所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加。 [x-E(X)]p.[x-0]p,(2)离散程度波动大小 对点训练3：(1)设顿客所获的奖励额为X(单位：元)， (3)a2D(X) (i)依题意，得P(X=60)= 知识点2p(1-p)np(1-p) -142 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 P(X=5)= 1=5 (ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20,60. 故随机变量X的概率分布列为： C I P(X=60)=2P(X=20)= =2 2 3 4 5 所以X的分布列为 5 5 20 60 B(0=1x+2x写+3x+4×+5×5=3， P 2 00=1-302×5+(2-3)2×5+(3-32×5 所以质客所我的奖时额的期塑为E()=20×宁60×宁4-3》×兮+(5-3P×兮 =40. (2)根据离场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以 =写x(2++0+2+2)=2 先寻找期望为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的课堂检测·固双基 情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60是面值之和的最 大值，所以期望不可能为60：如果选择(50,50,50,10)的方案， 1.C由题意得E(X)=p=6,D(X)=p(1-P)=3,六P=2 因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60，因此 可能的方案是(10,10,50,50).记为方案1. ”=2PX=)=分×（宁）×（兮）”=3×2”赦选C 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,2.B设摸得白球的概率为P 20.40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20， 由题意得，X~B(4,P), 40.40),记为方案2. D(X)=4p(1-p)=1,P=2 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额 E(X0=4p=4×2=2 (单位：元)为X,则X,的分布列为 故选B. 20 60 100 3.A由题意可知~(a号)： 1 1 6 6 2 31=E()=24n=36. 所以X,的期望为E(X)=20× 2 6 +60× 3 -+100× 6 又D()=nx号×(1-号)-号×36=8 60,X,的方差为D(X,)=(20-60)2× (0-60)x号+4c:(0=号+= 2 4 (10-0Px619 3 4-2,0=(侍-)×号+（侍-x兮=号 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额 5 (单位：元)为X2,则X的分布列为 「x= 3 解得 (舍)或=1， X 40 60 80 =3 =2,+=3 2 4由题意得，石+p+号=1， 1 5. 6 2 6 2 所以X的期望为E(名)=40×石+60×号+80×石 =2 60,的方差为D(X)=(40-60)P×石+(60-60)2×号 + 6 由期塑公式得(0=0×石+2x行+0×号2. （0-0)产x石 a=3. 0(0=0-2y×6+(2-2y2x分+(3-22×写=1 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2的奖 故D(2X-3)=22×D(X)=4. 励额的方差比方案1的小，故应该选择方案2 例4：设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为 4.2.5正态分布 1234,5. 必备知识·探新知 X=k表示前-1次没打开此门，第k次才打开了此门 知识点1(2)①x=4中间高两边低②1③σ越大 σ越小(3)0.34130.13590.0215 思考1：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所 C11 P(X=3)= 以曲线越“胖”：。越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强， 所以曲线越“瘦”， .11 p(X=4)=C 知识点2(1)面积。(x)均值标准差方差 :(2)68.3%95.4%99.7%(3)0.3% -143-! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某船队若出海后天气好，可获得５ ０００元；若出 海后天气坏，将损失２ ０００元；若不出海也要损 失１ ０００元．根据预测知天气好的概率为０． ６， 则出海的期望效益是 （Ｂ ） Ａ． ２ ０００元 Ｂ． ２ ２００元 Ｃ． ２ ４００元 Ｄ． ２ ６００元 ２．现有１０张奖券，８张２元的、２张５元的，某人 从中随机抽取３张，则此人得奖金额的数学期 望是 （Ｂ ） Ａ． ６ Ｂ． ７． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １２ ３．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试 的概率为２３，得到乙、丙两公司面试的概率均为ｐ，且 三个公司是否让其面试是相互独立的．记Ｘ为该毕 业生得到面试的公司个数．若Ｐ（Ｘ ＝０）＝ １１２，则随机 变量Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． ４．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 １２５个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中 随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为Ｘ，则 Ｘ的均值Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． ５．将一颗骰子连掷１００次，则点６出现次数Ｘ的 均值Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                               ］ 第２课时　 离散型随机变量的方差 !"#$%&'( 课程标准 １．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念． ２．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差． ３．会用方差解决一些实际问题． 学法解读 １．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养． ２．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养． )*+,%-.+ 离散型随机变量的方差、标准差 　 　 （１）定义：如果离散型随机变量Ｘ的分布列 如表所示 Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｋ … ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｋ … ｐｎ 　 　 因为Ｘ的均值为Ｅ（Ｘ），所以Ｄ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 　        称为离散型随机变量 !&$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # Ｘ的方差，一般地， Ｄ（Ｘ槡 ）称为离散型随机变量Ｘ 的标准差． （２）意义：离散型随机变量的方差和标准差都 刻画离散型随机变量相对于均值的离散程度　 （或 波动大小　 ）． （３）性质：Ｄ（ａＸ ＋ ｂ）＝ ａ２Ｄ（Ｘ）　 ． 两点分布与二项分布的方差 Ｘ Ｘ服从两点分布 Ｘ ～ Ｂ（ｎ，ｐ） Ｄ（Ｘ） ｐ（１ － ｐ）　（其中ｐ为成功概率） ｎｐ（１ － ｐ）　 　 　 思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎 样的联系                      ． /012%345 题型探究 题型一 离散型随机变量的方差 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．袋中有２０个大小相同的球，其中记上０号 的有１０个，记上ｎ号的有ｎ个（ｎ ＝ １，２，３，４）．现 从袋中任取一球，Ｘ表示所取球的标号． （１）求Ｘ的分布列、均值和方差； （２）若Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ，Ｅ（Ｙ）＝ １，Ｄ（Ｙ）＝ １１，试求 ａ，ｂ的值． ［分析］　 （１）根据题意，由古典概型的概率 公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解． （２）运用Ｅ（Ｙ）＝ ａＥ（Ｘ）＋ ｂ，Ｄ（Ｙ）＝ ａ２Ｄ（Ｘ），求ａ，ｂ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 １．求离散型随机变量Ｘ的方 差的基本步骤： 理解Ｘ的意义，写出Ｘ可能取的全部值 写出Ｘ ↓  取每个值的概率 写出Ｘ ↓  的分布列 由均值的定义求出Ｅ（Ｘ ↓  ） 利用公式Ｄ（Ｘ）＝∑ ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ － Ｅ（Ｘ））２ｐｉ ↓  求值 ２．对于变量间存在关系的方差，在求解过程 中应注意方差性质的应用，如Ｄ（ａξ ＋ ｂ）＝ ａ２Ｄ（ξ），这样处理既避免了求随机变量η ＝ ａξ ＋ ｂ 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算 过程． 对点训练? 已知Ｘ的分布列如表： Ｘ －１ ０ １ Ｐ １２ １ ４ ａ 　 　 （１）求Ｘ的方差； （２）若Ｙ ＝４Ｘ ＋３，求Ｙ的均值和方差                                            ． !&% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二 两点分布、二项分布的方差 ２．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经 过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这 一事件是相互独立的，并且概率是１３ ． （１）求这位司机遇到红灯次数Ｘ的均值与 方差； （２）若遇上红灯，则需等待３０秒，求司机总共等 待时间Ｙ的均值与方差． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．如果随机变量Ｘ服从两点 分布，那么其方差Ｄ（Ｘ）＝ ｐ（１ － ｐ）（ｐ为成功概 率）． ２．如果随机变量Ｘ服从二项分布，即Ｘ ～ Ｂ （ｎ，ｐ），那么方差Ｄ（Ｘ）＝ ｎｐ（１ － ｐ），计算时直接 代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． 对点训练? （１）某运动员投篮命中率ｐ ＝０． ８，则该运动员在一次投篮中命中次数Ｘ的方 差为　 　 　 　 ． （２）为防止风沙危害，某地政府决定建设防 护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了 ｎ株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的， 成活率为ｐ，设Ｘ为成活沙柳的株数，已知Ｅ（Ｘ）＝ ３，Ｄ（Ｘ）＝ ３２，则ｎ ＝ 　 　 　 　 ，ｐ ＝ 　 　 　 　 ． 题型三 方差的实际应用问题 ３．以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比 赛中的得分情况为： Ｘ１（甲得分） ０ １ ２ Ｐ（Ｘ１ ＝ ｘｉ） ０． ２ ０． ５ ０． ３ Ｘ２（乙得分） ０ １ ２ Ｐ（Ｘ２ ＝ ｘｉ） ０． ３ ０． ３ ０． ４ 　 　 欲从甲、乙两运动员中选一人参加２０２１年东 京夏季奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？ ［分析］　 从期望和方差两方面去判断． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 利用均值和方差的意义分析 解决实际问题的步骤 （１）比较均值．离散型随机变量的均值反映 了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际 决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水 平高． （２）在均值相等的情况下计算方差．方差反 映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与 离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发 挥相对稳定． （３）下结论．依据方差的意义做出结论． 对点训练? 为回馈顾客，某商场拟通过 摸球兑奖的方式对１ ０００位顾客进行奖励，规定： 每位顾客从一个装有４个标有面值的球的袋中一 次性随机摸出２个球，球上所标的面值之和为该 顾客所获的奖励额． （１）若袋中所装的４个球中有１个所标的面 值为５０元，其余３个均为１０元，求： （ⅰ）顾客所获的奖励额为６０元的概率； （ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学 期望． （２）商场对奖励总额的预算是６０ ０００元，并 规定袋中的４个球只能由标有面值１０元和５０元 的两种球组成，或标有面值２０元和４０元的两种 球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合 商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡                                                                        ， !&& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 请对袋中的４个球的面值给出一个合适的设计， 并说明理由． 易错警示 　 　 要准确理解随机变量取值的含义 ４．某人有５把钥匙，其中只有一把能打开某 一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打 开此门所需试开次数Ｘ的均值和方差． ［错解］　 ５把钥匙中只有一把能打开房门， 任取一把打开房门的概率为１５，故试开次数Ｘ ～ Ｂ ５，１( )５ ，由二项分布均值与方差的定义知Ｅ（Ｘ） ＝５ × １５ ＝ １，Ｄ（Ｘ）＝５ × １ ５ × １ － １( )５ ＝ ４５ ． ［辨析］　 首先这不是五次独立重复试验，从 ５把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去 这把后，第二次试开就只有４把钥匙了． 其次Ｘ ＝ ｋ的含义是前ｋ － １把钥匙没有打开 房门，而第ｋ把钥匙打开了房门． ［正解］                                   　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若Ｘ ～ Ｂ（ｎ，ｐ），且Ｅ（Ｘ）＝６， Ｄ（Ｘ）＝３，则Ｐ（Ｘ ＝１）的值为 （Ｃ ） Ａ． ３ × ２ －２ Ｂ． ２ －４ Ｃ． ３ × ２ －１０ Ｄ． ２ －８ ２．一个箱子中装有大小、形状完全相同的５个白 球和ｎ（ｎ∈Ｎ）个黑球．现从中有放回地摸取４ 次，每次随机摸取一球，设摸得白球的个数为 Ｘ，若Ｄ（Ｘ）＝１，则Ｅ（Ｘ）＝ （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ３．设随机变量ξ的分布列为Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎ ２( )３ ｋ · １( )３ ｎ － ｋ ，ｋ ＝０，１，２，…，ｎ，且Ｅ（ξ）＝２４，则Ｄ（ξ） 的值为 （Ａ ） Ａ． ８ Ｂ． １２ Ｃ． ２９ Ｄ． １６ ４．若Ｘ是离散型随机变量，Ｐ（Ｘ ＝ ｘ１）＝ ２３，Ｐ（Ｘ ＝ ｘ２）＝ １３，且ｘ１ ＜ ｘ２，又已知Ｅ（Ｘ）＝ ４ ３，Ｄ（Ｘ）＝ ２ ９，则ｘ１ ＋ ｘ２的值为 （Ｃ ） Ａ． ５３ Ｂ． ７ ３ Ｃ． ３ Ｄ． １１ ３ ５．已知随机变量Ｘ的分布列如下表，且Ｅ（Ｘ）＝ ２，则ｐ ＝ 　 　 　 　 ，Ｄ（２Ｘ －３）＝ 　 　 　 　 ． Ｘ ０ ２ ａ Ｐ １６ ｐ １ ３ 请同学们认真完成练案［１５                           ］ !&'