4.2.4 第1课时离散型随机变量的均值(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ４． ２． ４　 随机变量的数字特征 第１课时　 离散型随机变量的均值 !"#$%&'( 课程标准 １．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值． ２．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值． ３．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 学法解读 １．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养． ２．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养． )*+,%-.+ 离散型随机变量的均值 　 　 （１）定义：一般地，如果离散型随机变量Ｘ的 分布列如表所示： Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｋ … ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｋ … ｐｎ 　 　 则称Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 为离散型随机变量Ｘ的均值或数学期望（简称为 期望）． （２）意义：它刻画了离散型随机变量Ｘ的 平均取值　 ． （３）性质：如果Ｘ和Ｙ都是随机变量，且Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ（ａ≠０），则Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（ａＸ ＋ ｂ）＝ ａＥ（ｘ）＋ ｂ　 ． 　 　 思考：离散型随机变量的均值和样本的平均 数相同吗？ 常见的几种分布的数学期望 名称两点分布二项分布 超几何分布 公式 Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 Ｅ（Ｘ） ＝ 　 　 　 　 Ｅ（Ｘ） ＝                        　 　 　 　 /012%345 题型探究 题型一 离散型随机变量的均值公式及性质 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｘ －２ － １ ０ １ ２ Ｐ １４ １ ３ １ ５ ｍ １ ２０ 　 　 （１）求ｍ的值； 　 　 （２）求Ｅ（Ｘ）； （３）若Ｙ ＝２Ｘ －３，求Ｅ（Ｙ）． 　 　 ［尝试作答                  ］ !&! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 若给出的随机变量Ｙ与Ｘ的关系 为Ｙ ＝ａＸ ＋ ｂ（其中ａ，ｂ为常数），一般思路是先求出 Ｅ（Ｘ），再利用公式Ｅ（ａＸ ＋ｂ）＝ａＥ（Ｘ）＋ｂ求Ｅ（Ｙ）． 对点训练? （１）一个盒子里有１个红１ 个绿２个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回， 拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则Ｐ（ξ ＝ ０）＝ 　 　 　 　 ；Ｅ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． （２）已知随机变量Ｘ的分布列如表： Ｘ －１ ０ １ Ｐ １３ １ ５ ｍ 　 　 若ξ ＝ａＸ ＋３，且Ｅ（ξ）＝５，则ａ的值为　 　 　 　 ． 题型二 求几种常见分布的均值 ２．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保 险的概率为０． ５，购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为０． ３．设各车主是否购买保险相互 独立． （１）求该地１位车主至少购买甲、乙两种保险 中的１种的概率； （２）Ｘ表示该地的１００位车主中，甲、乙两种 保险都不购买的车主数，求随机变量Ｘ的均值． ［分析］　 （１）确定各个事件发生的概率→ 利用互斥事件的概率公式求解 （２）根据题意知Ｘ服从二项分布 →由均值公式求均值 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 １．若随机变量Ｘ服从两点分 布，则Ｅ（Ｘ）＝ ｐ（ｐ为成功概率）． ２．若随机变量Ｘ服从二项分布，即Ｘ ～ Ｂ（ｎ， ｐ），则Ｅ（Ｘ）＝ ｎｐ，直接代入求解，从而避免了繁杂 的计算过程． 对点训练? 某运动员的投篮命中率为 ｐ ＝０． ６． （１）求投篮一次时命中次数Ｘ的均值； （２）求重复投篮５次时，命中次数Ｙ的均值． ［分析］　 第（１）问中Ｘ只有０，１两个结果， 服从两点分布；第（２）问中Ｙ服从二项分布． 题型三 均值的实际应用 ３．某公司计划购买２台机器，该种机器使用 三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器 时，可以额外购买这种零件作为备件，每个２００ 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每 个５００元．现需决策在购买机器时应同时购买几 个易损零件，为此搜集并整理了１００台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状 图（如图）： 以这１００台机器更换的易损零件数的频率代 替１台机器更换的易损零件数发生的概率，记Ｘ 表示２台机器三年内共需更换的易损零件数，ｎ 表示购买２台机器的同时购买的易损零件数． （１）求Ｘ的分布列； （２）若要求Ｐ（Ｘ≤ ｎ）≥０． ５，确定ｎ的最 小值； （３）以购买易损零件所需费用的期望值为决 策依据，在ｎ ＝ １９与ｎ ＝ ２０之中选其一，应选用 哪个                                                                        ？ !&" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 解决与生产实际相关的概率 问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有 关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小， 并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值． 对点训练? （２０２４·北京卷）某保险公 司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从 合同险期限届满的保单中随机抽取１ ０００份，记 录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 ０ １ ２ ３ ４ 单数 ８００ １００ ６０ ３０ １０ 假设：一份保单的保费为０． ４万元；前３次索赔 时，保险公司每次赔偿０． ８万元；第四次索赔时， 保险公司赔偿０． ６万元．假设不同保单的索赔次 数相互独立．用频率估计概率． （１）估计一份保单索赔次数不少于２的概率； （２）一份保单的毛利润定义为这份保单的保 费与赔偿总金额之差． （ⅰ）记Ｘ为一份保单的毛利润，估计Ｘ的数 学期望Ｅ（Ｘ）； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少４％，有 索赔的保单的保费增加２０％，试比较这种情况下 一份保单毛利润的数学期望估计值与（ⅰ）中 Ｅ（Ｘ）估计值的大小．（结论不要求证明） 易错警示 　 　 因审题不清而致错 ４．某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛 分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初 赛采用选手选一题答一题的方法进行．每位选手 最多有５次选题答题的机会，选手累计答对３题 或答错３题即终止其初赛的比赛，答对３题者直 接进入决赛，答错３题者则被淘汰．已知选手甲答 题的正确率为２３ ． （１）求选手甲可进入决赛的概率； （２）设选手甲在初赛中答题的个数为Ｘ，试写 出Ｘ的分布列，并求Ｘ的均值． ［错解］　 （１）选手甲答３题进入决赛的概率 为Ｃ３５ × ２( )３ ３ × １( )３ ２ ＝ ８０２４３， 选手甲答４题进入决赛的概率为Ｃ４５ × ２( )３ ４ × １３ ＝ ８０ ２４３． 选手甲答５题进入决赛的概率为Ｃ５５ × ２( )３ ５ ＝ ３２２４３． 所以选手甲可进入决赛的概率为８０２４３ ＋ ８０ ２４３ ＋ ３２ ２４３ ＝ １９２ ２４３ ＝ ６４８１ ． （２）依题意，Ｘ的可能取值为３，４，５， Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ２( )３ ３ ＋ １( )３ ３ ＝ １３ ， Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｃ３４ × ２( )３ ３ × １３ ＋ Ｃ ３ ４ × １( )３ ３ × ２３ ＝ ４０ ８１， Ｐ（Ｘ ＝５）＝ Ｃ３５ × ２( )３ ３ × １( )３ ２ ＋ Ｃ３５ × ２( )３ ２ × １( )３ ３ ＝ １２０２４３ ＝ ４０ ８１． 则答题个数的分布列为： Ｘ ３ ４ ５ Ｐ １３ ４０ ８１ ４０ ８１ 　 　 Ｅ（Ｘ）＝３ × １３ ＋ ４ × ４０ ８１ ＋ ５ × ４０ ８１ ＝ ４９ ９ ． ［正解］                                                                        　 !&# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某船队若出海后天气好，可获得５ ０００元；若出 海后天气坏，将损失２ ０００元；若不出海也要损 失１ ０００元．根据预测知天气好的概率为０． ６， 则出海的期望效益是 （Ｂ ） Ａ． ２ ０００元 Ｂ． ２ ２００元 Ｃ． ２ ４００元 Ｄ． ２ ６００元 ２．现有１０张奖券，８张２元的、２张５元的，某人 从中随机抽取３张，则此人得奖金额的数学期 望是 （Ｂ ） Ａ． ６ Ｂ． ７． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １２ ３．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试 的概率为２３，得到乙、丙两公司面试的概率均为ｐ，且 三个公司是否让其面试是相互独立的．记Ｘ为该毕 业生得到面试的公司个数．若Ｐ（Ｘ ＝０）＝ １１２，则随机 变量Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． ４．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 １２５个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中 随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为Ｘ，则 Ｘ的均值Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． ５．将一颗骰子连掷１００次，则点６出现次数Ｘ的 均值Ｅ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                               ］ 第２课时　 离散型随机变量的方差 !"#$%&'( 课程标准 １．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念． ２．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差． ３．会用方差解决一些实际问题． 学法解读 １．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养． ２．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养． )*+,%-.+ 离散型随机变量的方差、标准差 　 　 （１）定义：如果离散型随机变量Ｘ的分布列 如表所示 Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｋ … ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｋ … ｐｎ 　 　 因为Ｘ的均值为Ｅ（Ｘ），所以Ｄ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 　        称为离散型随机变量 !&$ 5名从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中 由题意知.X-B(100.0.2). 所以X的均值E(X)=100×0.2=20 C:CI 随机抽取3个，其中有2个正品，1个次品的概米为 对点训练2：(1)投篮一次，命中次数X的分布列为： X 0 之再将电子元件放回，重复6次这样的试验，那么“取出的3 P 0.4 0.6 个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的 概*为c8×宁*（分）-活 则E(X)=0.6. (2)重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y~ B(5,0.6),则E(Y)=np=5×0.6=3 4.2.4随机变量的数字特征 例3：由柱状图并以频将代替概率可得，1台机器在三年内 需更换的易损零件数可能为8,9,10,11，相应的概率分别为0.2， 第1课时离散型随机变量的均值 0.4,0.2,0.2,从面X的所有可能取值为16,17,18,19,20， :21.22 必备知识·探新知 PX=16)=0.2×0.2=0.04: 知识点1(1)x+m+…+P.=名xP,(2)平均取 P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16: P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24: 值(3)ab(x)+b P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24: 思考：不相同离散型随机变量的均值是一个常数，它不依 P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2: 赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不 P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08: 同而变化， P(X=22)=0.2×0.2=0.04 知识点2p即兴 所以X的分布列为 关键能力·攻重难 X1617 8 19 20 21 22 例1：)好+兮+片+m+ 1 =1,解m 6 P0.040.160.240.240.20.080.04 (2)B0)=-2x-1x号+0x +1× (2)由(1)知P(X≤18)=0.44.P(X≤9)=0.68，故n的最 +2×20 6 小值为19 17 (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单 30 位：元). (3)若Y=2X-3 当n=19时， (0=2B(0-3=-2×0-3=-号 E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19× 200+2×500）×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040. 对点训练1：(1)号1由题知，随机取出红球的概率为 当n=20时， E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20× 冬，随机取出绿球的概率为好，随机取出黄球的概率为7,6的200+2×50)x0,044080 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费 取值情况共有0.1,2，P(6=0)=子+×号=方，P心5=)=用的期值故应选19 对点调练3：(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 1 由题设中的统计数据可得 60+30+10 1 P八4)=800+100+60+30+10-1 EG)=1×号+2×写=1 (2)(1)设5为赔付金额，则可取0,0.8,1.6,2.4,3 由题设中的统计数据可得P代(=0)：微一寺， (2)5由随机变量分布列的性质，得号+行+m=1,解 Pr=08)80P61.6)100毫 得m=后0=(-)x号+0x兮+1×行后 Prg=24)=0高Pg=3)=8高 因为E(E)=E(a+3)=a5(0+3=后0+3=5，所以 4 1 3 放E()=0×5+08×10+L.6×0+2.4×10+3× a=15. 例2：设事件A表示该地1位车主购买甲种保险，事件B表 100=0.278 示该地1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，事件C表示 故E(x)=0.4-0.278=0.122(万元) 该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，事件D表示该 地1位车主甲、乙两种保险都不购买 (i)由题设保费的变化为Q4×号×96%+0.4×号×1.2 (1)由题意知P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=AUB,则P(C) i=0.4032 =P(AUB)=P(A)+P(B)=0.8. 故E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)， 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率 从而E(X)<E(Y) 为0.8 (2)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2 例4：(1)选手甲答3题进人决赛的概率为号)=务。 141 选手甲答4题进人决赛的概*为心×（号）×宁×号=哥 思考：由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是持殊 与一般的关系.即若X-B(n,P),则D(X)=p(1-P),取n=1, 洁手甲答5题进人决赛的概米为G×(仔×（兮×号 则D(X)=P(1-P)就是两点分布的方差 关键能力·攻重难 例1：(1)X的分布列为 所以选手甲可选人决赛的率为号+- 0 2 3 4 (2)依题意.X的可能取值为3,4,5。 20 则有PX=3)=(号)+（付）=分 (0=0×+1×+2×+3×0+4×=1.5 3 Px=4)=G×(号)x号x号+CGx(兮x号x 1 (0=(0-1.5)'×2+(1-1.5)产×20+(2-1.5)2× 0+(3-1.52×0+(4-152×5=2.5 rx=5)=Cx(号)x(3)x号+Cx(号)x(兮) (2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,即a=±2 又E(）=aE(X)+b,所以当a=2时，由1=2×1.5=b,得 ×=员因此，有 6=-2: 当4=-2时，由1=-2×1.5+b,得b=4, 3 4 P ÷62,或842博为所求 3 27 27 对点调练1：由分布列的性质，知子+寸+a=1,故a= 4 0=3x写+4×号+5×号-罗 .10 所以x的均值E(X)=(-)×号+0×+1×子 课堂检测·固双基 1.B出海的期望效益E(X)=5000×06+(1-0.6)×(-2000) 4 -=3000-800=2200(元). 2.B设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为2,9,6 )x的方差D0=(-1+)x3+(0+x 2管=-名 +x好装 C 7 P(X=6)=高5故E()=7.8 (2)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)= 42D(X)=11. 3号P(X=0)=方=1-p)P×分p=子随机变量x 例2：(1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且 的可能值为01,23，因此P(X=0)=立P(X=1)=子× -6) (+Gx3×(2)=3,Px=2)=号x(x2+ E(0=6×号=2，D(0=6××1-写）=号 (2)由已知得Y=30X,.E(Y)=30E(X)=60. 行×（兮=音(X=3)=号x×兮）=石因此)= D(Y)=900D(X)=1200. 对点训练2：(1)0.16依题意知：X服从两点分布，所以 ×兮+2x+3x=号 D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16. 4号使题意得X的取值可能为012,3，且PX=0)=孟 (26 2 由题意知，X服从二项分布B(n,P),由E(X) 器)答赏P2)盖P3) =p=3,00=p(1-p= =高放()=0x品+1赏+2×答+3×房=号 得1-p=,所以p=子n=6 例3：由题意，E(X)=0×0.2+1×0.5+2×03=1.1, 39这是10次独立重复试验，-B100,右） E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.所以E(X) =E(X2). 所以EX)=100×右-9 D(x)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1) ×0.3=0.49. 第2课时 离散型随机变量的方差 D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1) 必备知识·探新知 ×0.4=0.69. 知识点1(1)[x1-E(X)]p,+[1-E(X)]p:+…+ 所以D(X,)<D(X2). 所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加 [x-E()]'p,[-E()]p,(2)离散程度波动大小 对点训练3：(1)设顾客所获的奖励颜为X(单位：元) (3)a2D(X) (i)依题意，得P(X=60)= C'C 1 知识点2p(1-p)m(1-p) 142