4.2.1 随机变量及其与事件的联系(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ３．甲、乙两班各有３６名同学，甲班有９名三好学 生，乙班有６名三好学生，两班各派１名同学参 加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概率 是 （Ｃ ） Ａ． ５２４ Ｂ． ５ １２ Ｃ． １ ２４ Ｄ． ３ ８ ４．有６个相同的球，分别标有数字１，２，３，４，５，６， 从中有放回地随机取两次，每次取１个球．甲表 示事件“第一次取出的球的数字是１”，乙表示 事件“第二次取出的球的数字是２”，丙表示事 件“两次取出的球的数字之和是８”，丁表示事 件“两次取出的球的数字之和是７”，则（ 　 ） Ａ．甲与丙相互独立 Ｂ．甲与丁相互独立 Ｃ．乙与丙相互独立 Ｄ．丙与丁相互独立 ５．加工某零件需经过三道工序，每道工序均为正 品时该零件才为正品．设第一、二、三道工序的 次品率分别为１７０， １ ６９， １ ６８，且各道工序互不影响， 则加工出来的零件的正品率为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１０                   ］ ４． ２　 随机变量 ４． ２． １　 随机变量及其与事件的联系 !"#$%&'( 课程标准 １．理解随机变量的含义． ２．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义． ３．会借助随机变量间的关系解题． 学法解读 １．通过学习随机变量，培养数学抽象的素养． ２．借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养． )*+,%-.+ 随机变量 　 　 （１）定义：一般地，如果随机试验的样本空间 为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量Ｘ都对 应有　 　 　 　 的实数值，就称Ｘ为一个随机变量． （２）表示：用大写英文字母Ｘ，Ｙ，Ｚ，…或小写 希腊字每ξ，η，ζ，…表示． （３）取值范围：随机变量所有可能　 的取值 组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 思考：随机变量与随机试验的结果的关系是 怎样的                ？ !$( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 随机变量与事件的联系 　 　 一般地，如果Ｘ是一个随机变量，ａ，ｂ都是任 意实数，那么Ｘ ＝ ａ，Ｘ≤ｂ，Ｘ ＞ ｂ等都表示事件， 而且： （１）当ａ≠ｂ时，事件Ｘ ＝ ａ与Ｘ ＝ ｂ 互斥　 ． （２）事件Ｘ≤ａ与Ｘ ＞ ａ相互对立　 ，因此 Ｐ（Ｘ≤ａ）＋ Ｐ（Ｘ ＞ ａ）＝ 　 　 　 　 ． 随机变量的分类 　 　 （１）离散型随机变量：若随机变量的所有可 能取值都是可以一一列举出来的，那么这个变量 是离散型随机变量． （２）连续型随机变量：与离散型　 随机变量 对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取 值范围包含一个区间　 ． 随机变量之间的关系 　 　 如果Ｘ是一个随机变量，ａ，ｂ都是实数且ａ≠ ０，则Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ也是一个　 　 　 　 ，且Ｐ（Ｘ ＝ ｔ）＝ 　 　 　 　                     ． /012%345 题型探究 题型一 随机变量的判定 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．有以下随机试验：①某路口一天内经过的 机动车的辆数为Ｘ；②一天内的温度为Ｘ；③某单 位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为Ｘ； ④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为Ｘ． 上述问题中的Ｘ是离散型随机变量的是 （Ｃ ） Ａ．①②③④ Ｂ．②③④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②④ ［分析］　 判断一个变量是否为离散型随机 变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则 是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量． 　 　 ［规律方法］　 判断一个变量是否为离散型 随机变量的步骤 （１）根据题意分析变量是否为随机变量． （２）求随机变量的值域． （３）判断变量的取值能否按一定顺序列举出 来，若能，则是离散型随机变量． 对点训练? 判断下列各个量，哪些是随 机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （１）标准大气压下，水沸腾的温度； （２）王老师在某天内接电话的次数； （３）在一次绘画作品评比中，设一、二、三等 奖，你的一件作品获得的奖次； （４）体积为６４ ｃｍ３的正方体的棱长． 题型二 随机变量的取值及其表示的事件 ２．（１）某人进行射击，共有５发子弹，击中目 标或子弹打完就停止射击．射击次数为Ｘ，则“Ｘ ＝ ５”表示的事件是 （Ｃ ） Ａ．第５次击中目标 Ｂ．第５次未击中目标 Ｃ．前４次未击中目标 Ｄ．第４次击中目标 （２）在考试中，需回答三个问题，考试规则规 定：每题回答正确得１００分，回答不正确得０分， 设一名同学回答这三个问题的总得分为Ｘ． ①求Ｘ的取值范围； ②若已知这名同学不得分的概率为０． ０６，能 得满分的概率为０． ４３，求不得０分与不得满分的 概率                                               ． !$) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ［分析］　 明确随机变量的所有取值，以及取 每一个值时对应的意义． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 随机变量的取值及表示的事 件问题的关注点 （１）明确离散型随机变量的所有可能取值及 取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要 明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随 机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验 结果． （２）概率的公式：互斥事件与对立事件的概 率公式． 对点训练? 袋中有大小相同的红球１０ 个，白球５个，从袋中每次任取１个球，直到取出 的球是白球为止，写出所需要的取球次数；可能的 取值及每个取值所表示的事件． 题型三 随机事件的关系及其应用 ３．某商场的促销员是按照下述方式获取税前 月工资的：底薪１ ５００元，每工作１天再获取１００ 元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作 时间为Ｘ天，获取的税前月工资为Ｙ元． （１）当Ｘ ＝２５时，求Ｙ的值； （２）写出Ｘ与Ｙ之间的关系式； （３）若Ｐ（Ｙ ＞ ３ ５００）＝ ０． ７，求Ｐ（Ｘ≤２０） 的值． ［分析］　 求解此类问题的关键是明确随机 变量的取值所表示的含义．对于变量间的关系问 题，可类比函数关系求解． 　 　 ［尝试作答               ］ 　 　 ［规律方法］　 两个随机变量关系问题的关注点 （１）衍生关系：若Ｘ是随机变量，则Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ （ａ，ｂ∈Ｒ，ａ≠０）也是随机变量． （２）相等关系：Ｐ（Ｘ ＝ ｔ）＝ Ｐ（Ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ）． 对点训练? 已知随机变量Ｘ的取值范 围是｛－１，０，１｝，且Ｙ ＝ Ｘ － １，则Ｙ的取值范围是 　 　 　 　                                                                       ． !$* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．给出下列四个命题： ①１５秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随 机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数 是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退 场的人数是随机变量． 其中正确的个数是 （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．已知随机变量Ｙ ＝ ２Ｘ，且Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０． １，则 Ｐ（Ｙ ＝２）＝ （Ａ ） Ａ． ０． １ Ｂ． ０． ２ Ｃ． ０． ４ Ｄ．无法确定 ３．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ ＝ ４ 表示的事件是 （Ｄ ） Ａ．一枚是３点，一枚是１点 Ｂ．两枚都是２点 Ｃ．两枚都是４点 Ｄ．一枚是３点，一枚是１点或两枚都是２点 ４．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点 数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有 可能的取值为 （Ｄ ） Ａ． ０≤ξ≤５，ξ∈Ｎ Ｂ． － ５≤ξ≤０，ξ∈Ｚ Ｃ． １≤ξ≤６，ξ∈Ｎ Ｄ． － ５≤ξ≤５，ξ∈Ｚ ５．一袋中装有６个同样大小的黑球，编号为１，２， ３，４，５，６．现从中随机取出２个球，以Ｘ表示取 出的球的最大号码，则“Ｘ ＝ ６”表示的事件的样 本点是（１，６），（２，６），（３，６），（４，６），（５，６）　 ． 请同学们认真完成练案［１１                              ］ ４． ２． ２　 离散型随机变量的分布列 !"#$%&'( 课程标准 １．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． ２．掌握离散型随机变量的分布列的性质． ３．会求某些简单的离散型随机变量的分布列（含两点分布）． 学法解读 １．通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养． ２．借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养． )*+,%-.+ 离散型随机变量的分布列 　 　 （１）一般地，当离散型随机变量Ｘ的取值范 围是｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝时，如果对任意ｋ∈｛１，２，…， ｎ｝，概率Ｐ（Ｘ ＝ ｘｋ）＝ ｐｋ都是已知的，则称Ｘ的概 率分布是已知的． 离散型随机变量Ｘ的概率分布可以用如下形 式的表格表示，这个表格称为Ｘ        的概率分布或分 !%! 互独立事件的概率乘法公式，这段时间内３个开关都不能闭合 的概率是Ｐ（ＡＢＣ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ） ＝［１ － Ｐ（Ａ）］［１ － Ｐ（Ｂ）］［１ － Ｐ（Ｃ）］ ＝（１ － ０． ７）（１ － ０． ７）（１ － ０． ７）＝ ０． ０２７， 于是这段时间内至少有１个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是１ － Ｐ（ＡＢＣ）＝ １ － ０． ０２７ ＝ ０． ９７３． 　 　 例４：在相互独立事件Ａ和Ｂ中，只有Ａ发生即事件Ａ Ｂ发 生，只有Ｂ发生即事件ＡＢ发生． ∵ Ａ和Ｂ相互独立，∴ Ａ与Ｂ，Ａ和Ｂ也相互独立． ∴ Ｐ（Ａ Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·［１ － Ｐ（Ｂ）］＝ １４ ，① Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝［１ － Ｐ（Ａ）］·Ｐ（Ｂ）＝ １４ ．② ① －②得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）．③ 联立①③可解得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ １２ ． ∴ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 因为事件Ａ、Ｂ相互独立，所以Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＝ ０． ４． ２．Ａ　 设Ａ表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则Ｐ（Ａ） ＝ ２３ ，Ｂ表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则Ｐ（Ｂ） ＝ ２３ ．故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ２ ３ × ２ ３ ＝ ４ ９ ． ３． Ｃ　 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件Ａ，Ｂ分别为 甲班、乙班派出的三好学生，则事件ＡＢ为两班派出的都是三 好学生，则Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ９３６ × ６ ３６ ＝ １ ２４ ． ４． Ｂ　 事件甲发生的概率Ｐ（甲）＝ １６ ，事件乙发生的概率Ｐ（乙） ＝ １６ ，事件丙发生的概率Ｐ（丙）＝ ５ ６ × ６ ＝ ５ ３６，事件丁发生的 概率Ｐ（丁）＝ ６６ × ６ ＝ １ ６ ．事件甲与事件丙同时发生的概率为 ０，Ｐ（甲丙）≠Ｐ（甲）Ｐ（丙），故Ａ错误；事件甲与事件丁同时 发生的概率为１６ × ６ ＝ １ ３６，Ｐ（甲丁）＝ Ｐ（甲）Ｐ（丁），故Ｂ正确； 事件乙与事件丙同时发生的概率为１６ × ６ ＝ １ ３６，Ｐ（乙丙）≠ Ｐ（乙）Ｐ（丙），故Ｃ错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相 互独立事件，故Ｄ错误．选Ｂ． ５． ６７７０ 　 ［解析］　 加工出来的零件的正品率为１ － １( )７０ × １ － １( )６９ × １ － １( )６８ ＝ ６７７０ ． ４． ２　 随机变量 ４． ２． １　 随机变量及其与事件的联系 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）唯一确定　 （３）所有可能 思考：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果， 试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是 试验结果所对应的数． 　 　 知识点２　 （１）互斥　 （２）对立　 １ 　 　 知识点３　 （２）离散型　 区间 　 　 知识点４　 随机变量　 Ｐ（Ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ） 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ｃ　 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随 机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变 量．故选Ｃ． 　 　 对点训练１：（１）在标准大气压下，水沸腾的温度是１００ ℃， 是常量，故不是随机变量． （２）王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随 机变量． （３）作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因 此是随机变量． （４）体积是６４ ｃｍ３的正方体的棱长是４ ｃｍ，因此不是随机 定量． 　 　 例２：（１）Ｃ　 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 Ｘ ＝ ５，则说明前４次均未击中目标． （２）这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四 种结果，相应得分为３００分，２００分，１００分，０分． ①所以Ｘ的取值范围是｛３００，２００，１００，０｝． ②因为事件Ｘ ＞ ０为“不得０分”，Ｘ ＜ ３００为“不得满分”， 所以Ｘ ＝ ０与Ｘ ＞ ０是对立事件，Ｘ ＝ ３００与Ｘ ＜ ３００是对立事件， 又Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ ０． ０６，Ｐ（Ｘ ＝ ３００）＝ ０． ４３，所以Ｐ（Ｘ ＞ ０）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １ － ０． ０６ ＝ ０． ９４； Ｐ（Ｘ ＜ ３００）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ３００）＝ １ － ０． ４３ ＝ ０． ５７． 　 　 对点训练２：设所需的取球次数为Ｘ，则Ｘ ＝ １，２，３，４，…， １０，１１， Ｘ ＝ ｉ表示前ｉ － １次取到红球，第ｉ次取到白球，这里ｉ ＝ １， ２，…，１１． 　 　 例３：（１）当Ｘ ＝ ２５时，Ｙ ＝ ２５ × １００ ＋ １ ５００ ＝ ４ ０００． （２）由题意可知Ｙ ＝ １００Ｘ ＋ １ ５００． （３）由Ｙ ＞ ３ ５００可知１００Ｘ ＋ １ ５００ ＞ ３ ５００，即Ｘ ＞ ２０． ∴ Ｐ（Ｘ ＞ ２０）＝ Ｐ（Ｙ ＞ ３ ５００）＝ ０． ７， ∴ Ｐ（Ｘ≤２０）＝ １ － ０． ７ ＝ ０． ３． 　 　 对点训练３：｛－ ２，－ １，０｝　 因为随机变量Ｘ的取值范围是 ｛－ １，０，１｝，且Ｙ ＝ Ｘ － １， 所以－ １ － １ ＝ － ２，０ － １ ＝ － １，１ － １ ＝ ０，所以Ｙ的取值范围 是｛－ ２，－ １，０｝． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 ２． Ａ　 因为随机变量Ｙ ＝ ２Ｘ，当Ｘ ＝ １时，Ｙ ＝ ２，所以Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０． １． ３． Ｄ　 ξ ＝ ４可能出现的结果是一枚是３点，一枚是１点或两枚 都是２点． ４． Ｄ　 ξ的所有可能取值为－ ５，－ ４，－ ３，－ ２，－ １，０，１，２，３，４，５， 即－ ５≤ξ≤５，ξ∈Ｚ． ５．（１，６），（２，６），（３，６），（４，６），（５，６） ４． ２． ２　 离散型随机变量的分布列 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （２）ｐｋ 　 ｐｋ 　 （３）①０　 ②１ 思考１：（１）随机变量的所有可能取值；（２）取每一个值的概 率的大小． 　 　 知识点２　 （１）ｐ　 （２）两种　 两点　 ｐ 思考２：是的． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）∵ ４ ｉ ＝ １ ｐｉ ＝ １ ａ ＋ ２ ａ ＋ ３ ａ ＋ ４ ａ ＝ １，∴ ａ ＝ １０， 则Ｐ（Ｘ ＝ １或Ｘ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ２） ＝ １１０ ＋ ２ １０ ＝ ３ １０ ． （２）由ａ ＝ １０，可得Ｐ １２ ＜ Ｘ ＜( )                                                                       ７ ２ —１３７—