4.1.2 乘法公式与全概率公式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ［点评］　 记Ａ１ 为“两次都取到黄球”，Ａ２ 为 “第一次取到黄球，第二次取到白球”，Ａ３为“两次 都取到白球”，Ａ４ 为“第一次取到白球，第二次取 到黄球”，Ａ为“第一次取到白球”，Ｂ为“第二次取 到黄球”，Ｃ为“第一次取到白球的条件下，第二次 取到黄球”，则Ａ４ ＝ ＡＢ，Ｐ（Ａ１）＝ ６ × ５１０ × ９ ＝ １ ３， Ｐ（Ａ２）＝ ６ × ４１０ × ９ ＝ ４ １５，Ｐ（Ａ３）＝ ４ × ３ １０ × ９ ＝ ２ １５，Ｐ（Ａ４） ＝ ４ × ６１０ × ９ ＝ ４ １５，Ｐ（Ａ）＝ ４ １０ ＝ ２ ５，Ｐ （Ｂ） ＝ ６ × ５ ＋ ４ × ６ １０ × ９ ＝ ３ ５，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ） ＝ ４ １５ ２ ５ ＝ ２３，要 将以上各事件的关系及其概率切实弄清，准确理 解条件概率的含义              ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占１５％， 语文不及格的占５％，两门都不及格的占３％， 已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格 的概率是 （Ａ ） Ａ． １５ Ｂ． ３ １０ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ３ ２． ４张奖券中只有１张能中奖，现分别由４名同学 无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中 奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是 （Ｂ ） Ａ． １４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ３．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的 气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占 ２０％，乙市占１８％，两地同时下雨占１２％，记 Ｐ（Ａ）＝ ０． ２，Ｐ（Ｂ）＝ ０． １８，Ｐ（ＡＢ）＝ ０． １２，则 Ｐ（Ａ ｜Ｂ）和Ｐ（Ｂ ｜Ａ）分别等于 （Ｃ ） Ａ． １３， ２ ５ Ｂ． ２ ３， ２ ５ Ｃ． ２ ３， ３ ５ Ｄ． １ ２， ３ ５ ４．已知甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去 一个景点，设事件Ａ为“三个人去的景点互不相 同”，Ｂ为“甲独自去一个景点”，则概率Ｐ（Ａ ｜Ｂ） 等于 （Ｃ ） Ａ． ４９ Ｂ． ２ ９ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ３ ５． ６名同学参加百米短跑比赛，赛场共有６条跑 道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第 二跑道的概率是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［８                          ］ ４． １． ２　 乘法公式与全概率公式 !"#$%&'( 课程标准 １．掌握乘法公式及其推广和全概率公式． ２．了解贝叶斯公式． ３．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率． ４．会用全概率公式及贝叶斯公式解题． 学法解读 １．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养． ２．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养． ３．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养． !$! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 乘法公式 　 　 公式：Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） 意义：根据事件Ａ发生的概率，以及已知事件 Ａ发生的条件下事件Ｂ发生的概率，可以求出事 件Ａ与Ｂ 同时发生　 的概率． 思考１：Ｐ（ＡＢ），Ｐ（Ｂ），Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）（其中Ｐ（Ｂ） ＞０）之间存在怎样的等量关系？ 全概率公式 　 　 （１）一般地，如果样本空间为Ω，而Ａ，Ｂ为事 件，则ＢＡ与Ｂ Ａ是互斥的，且Ｂ ＝ ＢＡ ＋ Ｂ Ａ，从而 Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（ＢＡ）＋ Ｐ（Ｂ Ａ），当Ｐ（Ａ）＞０且Ｐ（Ａ）＞ ０时，有Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）　 ． （２）定理１ 若样本空间Ω中的事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ满足： ①任意两个事件均互斥　 ，即ＡｉＡｊ ＝，ｉ≠ｊ， ｉ，ｊ ＝１，２，…，ｎ； ②Ａ１ ＋ Ａ２ ＋…＋ Ａｎ ＝ 　 　 　 　 ； ③Ｐ（Ａｉ）＞０（ｉ ＝１，２，…，ｎ）． 则对Ω中的任意事件Ｂ，都有Ｂ ＝ ＢＡ１ ＋ ＢＡ２ ＋…＋ ＢＡｎ，且Ｐ（Ｂ）＝ 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 思考２：全概率公式体现了哪种数学思想？ 贝叶斯公式 　 　 （１）一般地，当０ ＜ Ｐ（Ａ）＜１且Ｐ（Ｂ）＞０时，有 Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）Ｐ（Ｂ） ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ． （２）定理２　 若样本空间Ω中的事件Ａ１，Ａ２， …，Ａｎ满足： ①任意两个事件均互斥，即ＡｉＡｊ ＝，ｉ，ｊ ＝ １， ２，…，ｎ，ｉ≠ｊ； ②Ａ１ ＋ Ａ２ ＋…＋ Ａｎ ＝ Ω； ③１ ＞ Ｐ（Ａｉ）＞０，ｉ ＝１，２，…，ｎ． 则对Ω中的任意概率非零的事件Ｂ，有 Ｐ（Ａｊ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａｊ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｊ）Ｐ（Ｂ） ＝ 　 　 　 　 　 ． 拓展：贝叶斯公式充分体现了Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）， Ｐ（Ａ），Ｐ（Ｂ），Ｐ（Ｂ ｜Ａ），Ｐ（Ｂ ｜ Ａ），Ｐ（ＡＢ）之间的转 化．即Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ），Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）Ｐ（Ｂ） ＝ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）Ｐ（Ａ），Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＋ Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ ｜Ａ）之间的内在联系                                                   ． /012%345 题型探究 题型一 利用乘法公式求概率 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．一批产品中有４％的次品，其余均为合格 品，而合格品中一等品占４５％ ．从这批产品中任 取一件，求该产品是一等品的概率． ［分析］　 产品为一等品的含义为既是合格 品又是一等品，即求Ｐ（ＡＢ）． 　 　 ［尝试作答                  ］ !$" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 乘法公式的作用 乘法公式Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）Ｐ（Ａ）的作用就是 方便我们在不好直接求得Ｐ（ＡＢ）的情况下，先迂 回地求出方便计算的Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）和Ｐ（Ａ），再求 得Ｐ（ＡＢ）． 对点训练? 已知口袋中有３个黑球和７ 个白球，这１０个球除颜色外完全相同． （１）先后两次从中不放回地各摸出一球，求 两次摸到的均为黑球的概率； （２）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第 三次才摸到黑球的概率． 题型二 全概率公式的应用 ２．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情 称，新型冠状病毒可能造成“持续人传人”．通俗 点说就是Ａ传Ｂ，Ｂ传Ｃ，Ｃ又传Ｄ等，这就是“持 续人传人”，而Ａ，Ｂ，Ｃ被称为第一代、第二代、第 三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第 二代、第三代传播者感染的概率分别为０． ９５，０． ９， ０． ８５，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知 道，参加宴会的人有５名第一代传播者，３名第二 代传播者，２名第三代传播者．若小明参加宴会， 仅和感染的１０人中的一人接触，求小明被感染的 概率０． ９１５　 ． ［分析］　 根据题意，设事件Ａ，Ｂ，Ｃ分别表示 和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件Ｄ表 示小明被感染，则有Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（Ｄ ｜Ａ）Ｐ（Ａ）＋ Ｐ（Ｄ ｜Ｂ）Ｐ（Ｂ）＋ Ｐ（Ｄ ｜Ｃ）Ｐ（Ｃ），据此计算可得答案． 　 　 ［规律方法］　 全部概率Ｐ（Ｄ）被分解成了许 多部分之和，它的理论和实用意义在于：在较复杂 的情况下，直接计算Ｐ（Ｄ）不易，但Ｄ总是伴随着 某个Ａｉ 出现，适当地去构造这一组Ａｉ，往往可以 简化计算． 对点训练? 某电子设备制备厂所用的 元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记 录有如下表所示的数据： 元件制造厂次品率提供元件的份额 １ ０． ０２ ０． １５ ２ ０． ０１ ０． ８０ ３ ０． ０３ ０． ０５ 　 　 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀 混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只 元件，求它是次品的概率． 题型三 贝叶斯公式的应用 ３．在数字通信中，信号是由数字０和１组成 的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号０或１ 有可能被错误地接收为１或０．已知发送信号０ 时，接收为０和１的概率分别为０． ９和０． １；发送 信号１时，接收为１和０的概率分别为０． ９５和 ０． ０５．假设发送信号０和１是等可能的． （１）分别求接收到的信号为０和１的概率； （２）已知接收到的信号为０，求发送的信号是 １的概率                                                                        ． !$# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ［分析］　 设Ａ为“发送的信号为０”，Ｂ为“接 收到的信号为０”，为便于求解，我们可将题目中 所包含的各种信息用图直观表示． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算Ｐ（Ａ）， 即Ｐ（Ａ）＝ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（Ｂｉ）Ｐ（Ａ ｜Ｂｉ）； 第二步：计算Ｐ（ＡＢ），可利用Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）求解； 第三步：代入Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）求解． 对点训练? 三部自动的机器生产同样 的零件，其中机器甲生产的占４０％，机器乙生产 的占２５％，机器丙生产的占３５％，已知机器甲、 乙、丙生产的零件分别有１０％、５％和１％不合格， 现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是不合 格品，求： （１）它是由机器甲生产出来的概率； 　 　 （２）它是由哪一部机器生产出来的可能性大． 易错警示 　 　 概率计算公式理解不清而致误 ４．（多选）若０ ＜ Ｐ（Ａ）＜１，０ ＜ Ｐ（Ｂ）＜ １，则下 列式子中成立的为　 　 　 　 ． Ａ． Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） Ｂ． Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） Ｃ． Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） Ｄ． Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） ［错解］　 ＢＣ　 由条件概率的计算公式知Ａ、 Ｄ错误，Ｂ、Ｃ显然正确． ［辨析］　 记忆公式时要抓住公式的结构特 性，同时还要正确理解各个随机事件的含义． ［正解］                                                   　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若Ｐ（Ｂ）＝ ３５，Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ １ ２，则Ｐ（ＡＢ）为 （Ａ ） Ａ． ３１０ Ｂ． ５ ６ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ５ ２．从一副不含大、小王的５２张扑克牌中不放回地 抽取２次，每次抽一张，则第２次才抽到Ａ的概 率是 （Ｃ ） Ａ． １１３ Ｂ． １ １７ Ｃ． １６ ２２１ Ｄ． ４ ５１ ３．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率 分别为０． ３，０． ２，０． １，０． ４，迟到的概率分别为 ０． ２５，０． ３，０． １，０．则他迟到的概率为 （Ｃ ） Ａ． ０． ６５ Ｂ． ０． ０７５ Ｃ． ０． １４５ Ｄ． ０ ４．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 ０． ０４，第二台的废品率为０． ０７，加工出来的零件 混放，                并设第一台加工的零件是第二台加工零 !$$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 件的２倍，现任取一零件，则它是合格品的概率 为 （Ｄ ） Ａ． ０． ２１ Ｂ． ０． ０６ Ｃ． ０． ９４ Ｄ． ０． ９５ ５．袋中有１０个黑球，５个白球．现掷一枚均匀的骰 子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出 的球全是白球，则掷出３点的概率为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［９         ］ ４． １． ３　 独立性与条件概率的关系 !"#$%&'( 课程标准 １．了解独立性与条件概率的关系． ２．会求相互独立事件同时发生的概率． ３．综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题． 学法解读 １．通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养． ２．借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养． )*+,%-.+ 事件的独立性 　 　 （１）事件Ａ与Ｂ相互独立的充要条件是 Ｐ（ＡＢ）＝ 　 　 　 　 　 ． （２）当Ｐ（Ｂ）＞０时，Ａ与Ｂ独立的充要条件是 Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ）． 思考：如果Ｐ（Ａ）＞０，Ａ与Ｂ独立，则Ｐ（Ｂ ｜Ａ） ＝ Ｐ（Ｂ）成立吗          ？ /012%345 题型探究 题型一 相互独立事件的判断 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．判断下列各对事件是否相互独立事件． （１）甲组３名男生，２名女生；乙组２名男生， ３名女生．现从甲、乙两组中各选１名同学参加演 讲比赛，“从甲组中选出１名男生”与“从乙组中 选出１名女生”； 　 　 （２）容器内盛有５个白乒乓球和３个黄乒乓 球，“从８个球中任意取出１个，取出的是白球”与 “从剩下的７个球中任意取出１个，取出的还是白 球”； （３）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 ３点或６点”． ［分析］　 常用定义法、公式法判断两个事件 是否相互独立                ． !$% 好答对了５道题”为事件Ｂ，“该考生恰好答对了４道题”为事件 Ｃ，“该考生在这次考试中通过”为事件Ｄ，“该考生在这次考试 中获得优秀”为事件Ｅ，则Ｄ ＝ Ａ∪Ｂ∪Ｃ，Ｅ ＝ Ａ∪Ｂ，且Ａ，Ｂ，Ｃ两 两互斥，由古典概型的概率公式知 Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝ Ｐ（Ａ）＋ Ｐ（Ｂ）＋ Ｐ（Ｃ） ＝ Ｃ６１０ Ｃ６２０ ＋ Ｃ５１０Ｃ １ １０ Ｃ６２０ ＋ Ｃ４１０Ｃ ２ １０ Ｃ６２０ ＝ １２１８０ Ｃ６２０ ， 又ＡＤ ＝ Ａ，ＢＤ ＝ Ｂ， 所以Ｐ（Ｅ ｜Ｄ）＝ Ｐ（（Ａ∪Ｂ）｜Ｄ） ＝ Ｐ（Ａ ｜Ｄ）＋ Ｐ（Ｂ ｜Ｄ） ＝ Ｐ（ＡＤ）Ｐ（Ｄ）＋ Ｐ（ＢＤ） Ｐ（Ｄ） ＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｄ）＋ Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ｄ） ＝ Ｃ６１０ Ｃ６２０ １２ １８０ Ｃ６２０ ＋ Ｃ５１０Ｃ １ １０ Ｃ６２０ １２ １８０ Ｃ６２０ ＝ １３５８ ． 　 　 例４：记“第一次取到白球”为事件Ａ，“第二次取到黄球”为 事件Ｂ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事 件Ｃ． 在事件Ａ已经发生的条件下，袋中只有９个球，其中３个白 球，故此时取到黄球的概率为Ｐ（Ｃ）＝ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ ６９ ＝ ２ ３或者 Ｐ（Ｃ）＝ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ４ １５ ２ ５ ＝ ２３ ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 设Ａ为事件“数学不及格”，Ｂ为事件“语文不及格”，Ｐ（Ｂ ｜Ａ） ＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ０．０３ ０．１５ ＝ １ ５ ，所以当数学不及格时，该学生语文也不及 格的概率为１５ ． ２． Ｂ　 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为３张奖 券，１张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是１３ ． ３． Ｃ　 Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ）＝ ０． １２ ０． １８ ＝ ２ ３ ， Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ０． １２ ０． ２ ＝ ３ ５ ． ４． Ｃ　 由题意可知， ｎ（Ｂ）＝ Ｃ１３·２２ ＝ １２，ｎ（ＡＢ）＝ Ａ３３ ＝ ６． 所以Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ｎ（ＡＢ）ｎ（Ｂ）＝ ６ １２ ＝ １ ２ ． ５． １５ 　 “甲排在第一跑道”记为事件Ａ，“乙排在第二跑道”记为 事件Ｂ． 则Ｐ（Ａ）＝ Ａ ５ ５ Ａ６６ ＝ １６ ，Ｐ（ＡＢ）＝ Ａ４４ Ａ６６ ＝ １３０ ． 所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ １ ３０ １ ６ ＝ １５ ． ４． １． ２　 乘法公式与全概率公式 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 同时发生 思考１：Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）．（（Ｐ ｜Ｂ）＞ ０） 　 　 知识点２　 （１）Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）　 （２）①互斥 　 ②Ω　 ③ ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（ＢＡｉ）　  ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｉ） 思考２：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用 化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． 　 　 知识点３　 （１） Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） （２）Ｐ（Ａｊ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｊ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｉ） 关键能力·攻重难 　 　 例１：设“取到的产品是一等品”为事件Ａ，“取到的产品是 合格品”为事件Ｂ，则Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ４５％，Ｐ（Ｂ）＝ ４％， 于是Ｐ（Ｂ）＝ １ － Ｐ（Ｂ）＝ ９６％， 故由题可得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）＝ ９６％ × ４５％ ＝ ４３． ２％ ． 　 　 对点训练１：设事件Ａｉ，表示第ｉ次摸到的是黑球（ｉ ＝ １，２， ３），则事件Ａ１Ａ２表示两次摸到的均为黑球． （１）由题意知Ｐ（Ａ１）＝ ３１０，Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＝ ２ ９ ． 于是，根据乘法公式，有Ｐ（Ａ１Ａ２）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＝ ３１０ × ２ ９ ＝ １ １５ ． 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为 黑球的概率为１１５ ． （２）设事件Ａ表示第三次才摸到黑球，则Ａ ＝ Ａ１Ａ２Ａ３ ． 由题意知Ｐ（Ａ１）＝ ７１０，Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＝ ６ ９ ，Ｐ（Ａ３ ｜（Ａ１Ａ２））＝ ３ ８ ． 于是，根据乘法公式，有Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜ Ａ１） Ｐ（Ａ３ ｜（Ａ１Ａ２））＝ ７１０ × ６ ９ × ３ ８ ＝ ７ ４０ ． 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球 的概率为７４０ ． 　 　 例２：０． ９１５　 设事件Ａ，Ｂ，Ｃ分别表示和第一代、第二代、第 三代传播者接触，事件Ｄ表示小明被感染，则由题意得Ｐ（Ａ）＝ ０． ５，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ３，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ２，Ｐ（Ｄ ｜ Ａ）＝ ０． ９５，Ｐ（Ｄ ｜ Ｂ）＝ ０． ９， Ｐ（Ｄ ｜Ｃ）＝ ０． ８５， 则Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（Ｄ ｜Ａ）Ｐ（Ａ）＋ Ｐ（Ｄ ｜ Ｂ）Ｐ（Ｂ）＋ Ｐ（Ｄ ｜ Ｃ）Ｐ（Ｃ） ＝ ０． ９５ × ０． ５ ＋ ０． ９ × ０． ３ ＋ ０． ８５ × ０． ２ ＝ ０． ９１５． ∴小明被感染的概率为０． ９１５． 　 　 对点训练２：设事件Ｂｉ 表示所取到的产品是由第ｉ家元件 制造厂提供的（ｉ ＝ １，２，３），事件Ａ表示取到的是一件次品．其中 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３两两互斥，Ａ发生总是伴随着Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３ 之一发生，即 Ａ ＝ Ｂ１Ａ∪Ｂ２Ａ∪Ｂ３Ａ，且Ｂ１Ａ，Ｂ２Ａ，Ｂ３Ａ两两互斥．运用互斥事件 概率的加法公式和乘法公式，得 Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１Ａ）＋ Ｐ（Ｂ２Ａ）＋ Ｐ（Ｂ３Ａ） ＝Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）＋Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ａ ｜Ｂ２）＋Ｐ（Ｂ３）Ｐ（Ａ ｜Ｂ３） ＝ ０． １５ × ０． ０２ ＋ ０． ８０ × ０． ０１ ＋ ０． ０５ × ０． ０３ ＝ ０． ０１２ ５， 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率 为０． ０１２ ５． 　 　 例３：设Ａ为“发送的信号为０”，Ｂ为“接收到的信号为０”， 则Ａ为“发送的信号为１”，Ｂ为“接收到的信号为１”． 由题意得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ）＝０． ５，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝０． ９，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ０． １， Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝０． ０５，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝０． ９５． （１）Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ０． ５ × ０． ９ ＋ ０． ５ × ０． ０５ ＝ ０． ４７５； Ｐ（Ｂ）＝ １ － Ｐ（Ｂ）＝ １ － ０． ４７５ ＝ ０． ５２５                                                                       ． —１３５— （２）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）Ｐ（Ｂ） ＝ ０． ５ × ０． ０５ ０． ４７５ ＝ １ １９ ． 　 　 对点训练３：设Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３ 分别表示事件任取的零件为甲、 乙、丙机器生产的，Ａ：抽取的零件是不合格品，由条件知， Ｐ（Ｂ１）＝ ０． ４０，Ｐ（Ｂ２）＝ ０． ２５，Ｐ（Ｂ３）＝ ０． ３５， Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）＝ ０． １０，Ｐ（Ａ ｜Ｂ２）＝ ０． ０５，Ｐ（Ａ ｜Ｂ３）＝ ０． ０１， （１）所求概率为Ｐ（Ｂ１ ｜ Ａ），Ｐ（Ｂ１ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）  ３ ｊ ＝ １ Ｐ（Ｂｊ）Ｐ（Ａ ｜Ｂｊ） ≈ ０． ７１４． （２）类似（１）的计算可得Ｐ（Ｂ２ ｜ Ａ）≈０． ２２３，Ｐ（Ｂ３ ｜ Ａ）≈ ０． ０６３，比较可知是机器甲生产出来的可能性大． 　 　 例４：ＢＣＤ　 由条件概率的计算公式知Ａ错误；Ｂ，Ｃ显然正 确；Ｄ选项中，因为Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ），故Ｄ正确． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ２． Ｃ　 　 ３． Ｃ　 　 ４． Ｄ　 ５． ０． ０４８ ３５　 设Ｂ ＝｛取出的球全是白球｝， Ａｉ ＝｛掷出ｉ点｝（ｉ ＝ １，２，…，６）， 由贝叶斯公式，得： Ｐ（Ａ３ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ ｜Ａ３）  ６ ｉ ＝ １ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｉ） ＝ １ ６ × Ｃ３５ Ｃ３１５  ６ ｉ ＝ １ １ ６ × Ｃｉ５ Ｃｉ１５ ＝ ０． ０４８ ３５． ４． １． ３　 独立性与条件概率的关系 必备知识·探新知 　 　 知识点　 （１）Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） 思考：成立． Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ） ＝ Ｐ（Ｂ）． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）“从甲组中选出１名男生”这一事件星否发生，对 “从乙组中选出１名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以 它们是相互独立事件． （２）“从８个球中任意取出１个，取出的是白球”的概率为 ５ ８ ，若这一事件发生了，则“从剩下的７个球中任意取出１个，取 出的仍是白球”的概率为４７ ；若前一事件没有发生，则后一事件 发生的概率为５７ ，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的 概率有影响，所以二者不是相互独立事件． （３）法一：记Ａ：出现偶数点，Ｂ：出现３点或６点，则Ａ ＝｛２， ４，６｝，Ｂ ＝｛３，６｝，ＡＢ ＝｛６｝， ∴ Ｐ（Ａ）＝ ３６ ＝ １ ２ ，Ｐ（Ｂ）＝ ２ ６ ＝ １ ３ ，Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ １ ６ ． ∴ Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）， ∴事件Ａ与Ｂ相互独立． 法二：由法一可知Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ １３ ， 又Ｐ（Ｂ）＝ ２６ ＝ １ ３ ， ∴ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）， ∴事件Ａ与Ｂ相互独立． 　 　 对点训练１：因为５２张牌中有４张Ｋ， 所以Ｐ（Ａ）＝ ４５２ ＝ １ １３，红牌有２６张，红Ｋ有２张，所以在抽 得红牌的条件下抽得Ｋ的概率Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ２２６ ＝ １ １３ ＝ Ｐ（Ａ），因此 事件Ａ与Ｂ相互独立． 　 　 例２：令事件Ａ，Ｂ，Ｃ分别表示Ａ，Ｂ，Ｃ三个独立的研究机构 在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件Ａ，Ｂ，Ｃ相 互独立，且Ｐ（Ａ）＝ １５ ，Ｐ（Ｂ）＝ １ ４ ，Ｐ（Ｃ）＝ １ ３ ． （１）他们都研制出疫苗，即事件Ａ，Ｂ，Ｃ同时发生，故 Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝ １５ × １ ４ × １ ３ ＝ １ ６０ ． （２）他们都失败即事件Ａ，Ｂ，Ｃ同时发生，故 Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ） ＝（１ － Ｐ（Ａ））（１ － Ｐ（Ｂ））（１ － Ｐ（Ｃ）） ＝ １ －( )１５ １ －( )１４ １ －( )１３ ＝ ４５ × ３ ４ × ２ ３ ＝ ２ ５ ． （３）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结 合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 Ｐ ＝ １ － Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝ １ － ２５ ＝ ３ ５ ． 　 　 对点训练２：（１）记事件Ａ表示“甲击中目标”，事件Ｂ表示 “乙击中目标”． 依题意知，事件Ａ和事件Ｂ相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）· Ｐ（Ｂ）＝ ２３ × ３ ４ ＝ １ ２ ． （２）记事件Ａｉ表示“甲第ｉ次射击击中目标”（其中ｉ ＝ １，２， ３，４），并记“甲４次射击恰有３次连续击中目标”为事件Ｃ， 则Ｃ ＝ Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４∪Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４，且Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４与Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４ 是互 斥事件． 由于Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４之间相互独立， 所以Ａｉ与Ａｊ（ｉ，ｊ ＝１，２，３，４，且ｉ≠ｊ）之间也相互独立． 由于Ｐ（Ａ１）＝ Ｐ（Ａ２）＝ Ｐ（Ａ３）＝ Ｐ（Ａ４）＝ ２３ ， 故Ｐ（Ｃ）＝ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４∪Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４） ＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ４）＋Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ４） ＝ ( )２３ ３ × １３ ＋ １ ３ × ( )２３ ３ ＝ １６８１ ． （３）记事件Ｂｉ表示“乙第ｉ次射击击中目标”（其中ｉ ＝ １，２， ３，４），并记事件Ｄ表示“乙在第４次射击后终止射击”， 则Ｄ ＝ Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４∪Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４， 且Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４与Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４是互斥事件． 由于Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，Ｂ４之间相互独立， 所以Ｂｉ与Ｂｊ（ｉ，ｊ ＝１，２，３，４，且ｉ≠ｊ）之间也相互独立． 由于Ｐ（Ｂｉ）＝ ３４ （ｉ ＝ １，２，３，４）， 故Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４∪Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４） ＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ｂ３）Ｐ（Ｂ４）＋ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ｂ３）Ｐ（Ｂ４） ＝ ( )３４ ２ × ( )１４ ２ ＋ ３４ × ( )１４ ３ ＝ ３６４ ． 　 　 例３：设乙队连胜四局为事件Ａ，有下列情况： 第一局中乙胜甲（Ａ１），其概率为１ － ０． ４ ＝ ０． ６， 第二局中乙胜丙（Ａ２），其概率为０． ５， 第三局中乙胜甲（Ａ３），其概率为１ － ０． ４ ＝ ０． ６， 第四局中乙胜丙（Ａ４），其概率为０． ５， 因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为 Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４）＝（０． ６）２·（０． ５）２ ＝ ０． ０９． 　 　 对点训练３：如图所示，分别记这段 时间内开关ＪＡ，ＪＢ，ＪＣ 能够闭合为事件 Ａ，Ｂ，Ｃ．由题意，这段时间内３个开关是 否能够闭合相互之间没有影响，                                                                      根据相 —１３６—