3.3 第1课时二项式定理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ３． ３　 二项式定理与杨辉三角 第１课时　 二项式定理 !"#$%&'( 课程标准 １．能用计数原理证明二项式定理． ２．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式． ３．能解决与二项式定理有关的简单问题． 学法解读 １．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． ２．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养． )*+,%-.+ 二项式定理 二项式定理（ａ ＋ ｂ） ｎ ＝ Ｃ０ｎａ ｎ ＋ Ｃ１ｎａ ｎ － １ ｂ１ ＋…＋ Ｃｋｎａ ｎ － ｋｂｋ ＋…＋ Ｃｎｎｂｎ　 （ｎ∈Ｎ） 二项展开式公式右边的式子 二项式系数Ｃｋｎ（ｋ∈｛０，１，２，…，ｎ｝） 二项展开式 的通项公式Ｔｋ ＋ １ ＝ Ｃ ｋ ｎａ ｎ － ｋｂｋ　 二项展开式的特点 　 　 （１）展开式共有ｎ ＋１项． （２）各项的次数和都等于二项式的幂指数ｎ． （３）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开 始，次数由ｎ逐项减１直到为０，字母ｂ的幂指数 按升幂排列，从第一项开始，次数由０逐项加１直 到为ｎ． 思考１：二项式定理中，项的系数与二项式系 数相同吗？ 思考２：二项式（ａ ＋ ｂ）ｎ与（ｂ ＋ ａ）ｎ展开式的 第ｋ ＋１项是否相同                        ？ /012%345 题型探究 题型一 二项式定理的正确运用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）化简：（ｘ －１）５ ＋ ５（ｘ － １）４ ＋ １０（ｘ －１）３ ＋ １０（ｘ －１）２ ＋ ５（ｘ －１）； （２）写出２ｘ － ３２ｘ( )２ ５ 的展开式并化简． ［分析］　 （１）把ｘ －１看作一个整体 → 逆用二项 式定理 （２）直接利用二项式定理展开即可         ． !") ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 １．展开二项式可以按照二项 式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征， 准确理解二项式的特点是展开二项式的前提 条件． ２．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会 更简便． ３．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项 式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式 的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数． 对点训练? （１）求３槡ｘ ＋ １槡( )ｘ ４ 的展 开式； （２）化简：１ ＋ ２Ｃ１ｎ ＋４Ｃ２ｎ ＋…＋２ｎＣｎｎ ． 题型二 二项式系数与项的系数问题 ２．（１）求二项式２槡ｘ － １( )ｘ ６ 的展开式中第６ 项的二项式系数和第６项的系数； （２）求ｘ － １( )ｘ ９ 的展开式中ｘ３的系数． ［分析］　 利用二项式定理求展开式中的某 一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 １．二项式系数都是组合数Ｃｒｎ （ｒ∈｛０，１，２，…，ｎ｝），它与二项展开式中某一项 的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与 二项式展开式中“项的系数”这两个概念． ２．第ｒ ＋ １项的系数是此项字母前的数连同 符号，而此项的二项式系数为Ｃｒｎ ．例如，在（１ ＋ ２ｘ）７的展开式中，第四项是Ｔ４ ＝ Ｃ３７１７ －３（２ｘ）３，其 二项式系数是Ｃ３７ ＝ ３５，而第四项的系数是Ｃ３７２３ ＝ ２８０． 对点训练? （１）已知（１ ＋ ａｘ）（１ ＋ ｘ）５ 的展开式中ｘ２的系数为５，则ａ ＝ （Ｄ ） Ａ． － ４ Ｂ． － ３ Ｃ． － ２ Ｄ． － １ （２）（１ － ２ｘ）５（２ ＋ ｘ）的展开式中ｘ３项的系数 是　 　 　 ． 题型三 展开式中的特定项 ３．已知槡ｘ － ２( )ｘ ｎ 展开式中第三项的系数比 第二项的系数大１６２，求： （１）ｎ的值； （２）展开式中含ｘ３的项． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．求二项展开式的特定项的 常见题型 （１）求第ｒ项，Ｔｒ ＝ Ｃｒ － １ｎ ａｎ － ｒ ＋ １ｂｒ － １                                                                        ． !"* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）求含ｘｒ的项． （３）求常数项． （４）求有理项． ２．求二项展开式的特定项的常用方法 （１）对于常数项，隐含条件是字母的指数为０ （即０次项）． （２）对于有理项，一般是先写出通项公式，其 所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题 必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要 求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． （３）对于二项展开式中的整式项，其通项公 式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与 求有理项一致． 对点训练? （１）（２０２４·北京卷）在（ｘ － 槡ｘ）４的展开式中，ｘ３的系数为 （　 　 ） Ａ． ６　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ６ Ｃ． １２ Ｄ． － １２ （２）已知（ｘ ＋ ２槡ｘ）ｎ的展开式的各项系数和 比二项式系数和大２１１． ①求ｎ的值； ②求展开式中所有有理项． 易错警示 　 　 混淆项的系数与二项式系数 ４．设（ｘ －槡２）ｎ（ｎ∈Ｎ）的展开式中第二项与 第四项的系数之比为１∶ ２，求含ｘ２的项． ［错解］　 （ｘ －槡２）ｎ 的展开式中第二项与第 四项的系数分别为Ｃ１ｎ，Ｃ３ｎ，则Ｃ１ｎ ∶ Ｃ３ｎ ＝ １∶ ２，化简得 ｎ２ － ３ｎ － １０ ＝ ０．又ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ ５．因为（ｘ － 槡２）５ 展开式的通项为Ｔｋ ＋ １ ＝ （－槡２）ｋＣｋ５ｘ５ － ｋ，令 ５ － ｋ ＝２，则ｋ ＝ ３，所以含ｘ２ 的项为（－槡２）３Ｃ３５ｘ２ ＝ － ２０槡２ｘ２ ． ［辨析］　 ①错解将“二项展开式的某项的系 数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一 谈，从而导致错误． ②（ａ ＋ ｂ）ｎ 的展开式中的第ｋ ＋ １项的二项 式系数是Ｃｋｎ（ｋ ＝０，１，２，…，ｎ），仅与ｎ，ｋ有关；第 ｋ ＋１项的系数不是二项式系数Ｃｋｎ，但有时这个系 数与二项式系数相等．注意二项式系数Ｃｋｎ一定为 正，而对应项的系数可能为负． ［正解］                                                  　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２３·北京卷）２ｘ － １( )ｘ ５ 的展开式中ｘ的系 数为 （Ｄ ） Ａ． － ８０ Ｂ． － ４０ Ｃ． ４０ Ｄ． ８０ ２．（１ － ｉ）１０（ｉ为虚数单位）的二项展开式中第七 项为 （Ａ ） Ａ． － ２１０ Ｂ． ２１０ Ｃ． － １２０ｉ Ｄ． － ２１０ｉ ３． ｘ － ２( )ｘ ４ 展开式中的常数项为 （Ｄ ） Ａ． ６ Ｂ． ８ Ｃ． １２ Ｄ． ２４ ４．（２０２４·天津卷１１）在３ｘ３ ＋ ｘ３( )３ ６ 的展开式中， 常数项为　 　 　 　 ． ５．若ｘ５ ＝ ａ０ ＋ ａ１（ｘ － ２）＋ ａ２（ｘ － ２）２ ＋…＋ ａ５（ｘ －２）５，则ａ０ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［６                   ］ ! ! 亮调练米输有期分果参G2(-广+G2(-=2-1m+四 个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插人三个“板”，共 有C,=680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同 405243 的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，有680种不同的分配 8 32r回 方案 (2)B根据题意，分2步进行分析： @将5名医学专家分为3组，若分为221的三组，有g(-3°+G(广（-3+G(4（-3护+G（日 (-3)'+C(4x')'(-3)+C(4r)°(-3)]=32x-1202+180 =15种分组方法，若分为3,1,1的三组，有C号=10种分组方法 则有15+10=25种分组方法： 器 ②将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去A 医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点， 有2种情况，则3个组的分派方法有2×2=4种情况，则有25× 对点调练1：-(+方=C3 4=100种分配方法. 例6：144由题意知，必有1个盒子内放入2个小球从4个小 c3·+e·(+cs(+c( 球中取出2个小球，有C种取法，此时把它看作1个小球，与另2个 =81r+108+54+12 小球（共3个小球）分别放入4个盒子中，有A种放法，所以满足题： 意的放法有CA=44(种).或CCA=144 课堂检测·固双基 法=3+ L.C甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门 78+1082+542+2+10） 有C种选法. 所以共有C·C·C=96(种)选法 =2++4+是+ 2C分两类：一类是2个白球有C=15种取法，另一类是2个 (2)原式=1+2C+2C+…+2C=(1+2)=3 黑球有C=6种取法，所以取法共有15+6=21（种）。 例2：由已知得二项展开式的通项为T 3D利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案 根据分层抽样的定义知初中部共抽取0×织=40人.高中 =c2(】 =(-1)C2-·x 部共抽取0×得=20，根招组合公式和分步计数原理则不同 T6=-12…x 的抽样结果共有CQ·C种.故选D. ,第6项的二项式系数为C=6 4A人数分配上有1.1,3与1.2,2两种方式，若是1,1,3，则有 第6项的系数为C。·(-1)·2=-2 CC×=60(种)，若是1.2.2，则有SCCx=90 A A 2r=G(-=(-yG2 (种)，所以共有150种，选A ,9-2r=3 5.10先把6本书并成一排，它们之间有5个空，在5个空中选 ,r=3即展开式中第四项含2，其系数为(-1)·C=-84 出3个空放上“隔板”，6本书被分成了4组.4组书的本数也 对点训练2：(1)D(1+x)展开式的通项为T,.1=Cx,令r= 恰好对应一种放书的方法，共有C=10(种). 1,2得，T2=Cx,T,=C2,因此题中表达式的展开式中含x2的项的 3.3二项式定理与杨辉三角 系数为C+aC=5,解之得a=-1. (2)-120由多项式乘法的运算法则可知，(1-2x)(2+x)的 第1课时二项式定理 展开式中x项的系数是(1-2x)展开式中x项的系数的2倍与 !(1-2x)’展开式中x2项的系数的和 必备知识·探新知 “(1-2x)展开式的通项为T,=(-2)Cx, 知识点1Ca+Ca-1b+…+Ca+…+Cb 令r=3得到x项的系数为-8C=-80 Cia 令r=2得到x2项的系数为4C号=40 思考I:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 所以(1-2x)°(2+x)的楼开式中x项的系数是-80×2+40= 二项式系数是指C,C,…,C,而项的系数是指该项中除 -120. 了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b 放答案为-12① 的值有关 例3：1)因为乃=C同(-是】 =4Cx号 思考2：不同.(a+b)”展开式中第+1项为Ca*6,而 (6+a)”展开式中第k+1项为Cb-a, 关键能力·攻重难 五=c(-) 例1：(1)原式=C9(x-1)3+C(x-1)+C(x-1)+C(x- =-2Cx号，依题意得4C:+2C,=162 1)2+G(x-1)+Cg-1=[(x-1)+1]°-1=2-1. 所以2C+C=81, 2)方法-2了=2(- 所以n2=81,n=9. (2)设第r+1项含x项，则 c2(-2+cG(2xy'(-+cC(2)(-+ 7=cg国(-是)=(-2℃学 131 所2之31 是C品 故Sw=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+(Co+ 所以第二项为含的项： Cin)+Ci T2=-2Cx3=-18x =(C+C+C+…+C。)+(C+C+…+C) 对点训练3：(1)A(x-E)的二项展开式为T1=C -(2+10)×9 （-=C(-1)24,r=0.123,4,令4-7=3，解得r=2 2 +C品=274. 对点训练1：位若第n行中含有三个连续项之比为3：4：5， 故所求即为C(-1)2=6.故选A 则存在正整数：使得 (2)①由题意，二项式(x+2x)”的展开式的各项系数和比二 k！(n-k)! 项式系数和大211，可得3”-2”=211，解得n=5, 4=C(k-1)1(n-k+1)1n-k+1 ②派开式的通项为T1=Cx(2风 4 G分=+1）mk1）L=+1 =C2x(r=0,1,…,5) k!(n-)！ n一k 当r=0,2,4时5-2是整数 由此得3n-7k=-3, 4n-9k=5. 故展开式中所有有理项为：T=x.T3=40x,T=80x 解之，得=27， n=62. 例4：由题设，得T2=Cx-（-2)=-2-,T=Cx- 例2：令x=1,则二项式各项系数的和为f代1)=(1+3)“= （一-2，于现有爱宁化简得-新4风提开式中务项的二武系数之和为2由超意知之 =992. 0.解得m=4或n=-1(舍去). (2)2-2”-992=0. 所以(x-2)的展开式的通项为T=(-)Cx-·,令4- .(2”+31)(2"-32)=0. k=2,则k=2,所以含x2的项为(-2)2C2=12x2. 2”=-31(舍去)或2”=32， 课堂检测·固双基 ∴.n=5 1D(2:-士)广的展开式的通项为工1： (1)由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 为中间两项，它们分别是 g(2-(-=(-12G T3=C(x)3(3x2)2=90x, 令5-2r=1得r-2 T=C(x)2(3x=270e 所以(2- 的展开式中x的系数为 (2)袋开式的通项公式为T1=C3·x5+2 假设T,项系数最大， (-1)22-2C=80,故选D. 2A由通项公式得T=C。·(-i)°=-C。=-210. 则有C3≥G·3 lC3'≥C1·3l, 3D(-)的腿开式中通项公式五1=…(~) 51 51 「5-：n×32(6-ir- =(-2)'Cx”,当4-2r=0时，展开式为常数，此时r=2,展 51 开式的常数项为：T3=4C=24 l5-)！月产(4-r1(r+1x3, 420因为（侵+引的展开式的道项为G( 1 1 3 ()=3-C0-,r=0,1…,6,令6(r-3)=0,可得r= 5-产+ 3,所以常数项为3C=20. 1 9 2≤r≤reN..=4 532x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2), ,展开式中系数最大的项为 令x-2=0,即x=2,可得a。=2=32 T3=Cgx(3x2)=405x9 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 对点训练2：5 由题展开式通项公式为：=C(兮）” 必备知识·探新知 0≤r≤10且reZ 知识点1(1)1相等(2)和 设展开式中第，+1项系数最大， 思考1：①直观地看出或探究二项式系数的性质：②当二项 式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数 c() 知识点2(1)首米两端“等距离”(2)增大威小 C.C ()c 知识点3(1)2”(2)2- ≥ 思考2：先判断n是奇数还是偶数，若是奇数侧中问两项系 即29 33 ,又reZ,故r=8, 数是最大项，若是偶数则中间项系数是最大项 关键能力·攻重难 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 例1：由杨样三角可知，数列中的首项是C,第2项是C,第 3顶是G:第4是C第项是C第8项是C第9项C(行=5， 一132