3.1.3 第1课时组合与组合数(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ３． １． ３　 组合与组合数 第１课时　 组合与组合数 !"#$%&'( 课程标准 １．理解组合与组合数的概念． ２．会推导组合数公式，并会应用公式求值． ３．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明． 学法解读 １．通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养． ２．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养． )*+,%-.+ 组合的定义 　 　 从ｎ个不同对象中取出ｍ（ｎ≥ｍ）个对象并 成一组，称为从ｎ个不同对象中取出ｍ个对象的 一个组合． 思考１：组合概念中的两个要点是什么？ 组合数的概念、公式、性质 组合数 定义 从ｎ个不同对象中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个对象 的所有　 　 　 　 　 的个数，称为从ｎ个不 同对象中取出ｍ个对象的组合数 表示法 　 　 　 　 　 组合数 公式 乘积 式 Ｃ ｍ ｎ ＝ Ａｍｎ Ａｍｍ ＝ 　 　 　 　 　 阶乘 式 Ｃ ｍ ｎ ＝ 　 　 　 　 性质 Ｃｍｎ ＝ Ｃｎ － ｍｎ 　 ，Ｃｍｎ ＋ １ ＝ Ｃｍｎ ＋ Ｃｍ － １ｎ 　 备注 ①ｎ，ｍ∈Ｎ且ｍ≤ｎ，②规定：Ｃ０ｎ ＝ １ 　 　 思考２：组合数的两个性质在计算组合数时 有何作用                           ？ /012%345 题型探究 题型一 组合的概念 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列问题不是组合问题的是 （Ｄ ） Ａ．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参 加学习交流会，有多少种选法？ Ｂ．平面上有２ ０１６个不同的点，它们中任意 三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ Ｃ．集合｛ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ｝含有三个元素的子集有 多少个        ？ !"" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # Ｄ．从高三（１９）班的５４名学生中选出２名学 生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种 选法？ ［分析］　 区分某一问题是组合问题还是排 列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序 就是排列问题，无顺序就是组合问题． 　 　 ［规律方法］　 判断一个问题是否为组合问 题的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是 什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的 方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换 这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生 新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问 题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 对点训练? 已知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五个元 素，写出每次取出３个元素的所有组合． 题型二 组合数公式的应用 ２．（１）式子ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）…（ｎ ＋ １００）１００！ 可表示为 （Ｄ ） Ａ． Ａ１００ｎ ＋ １００ Ｂ． Ｃ １００ ｎ ＋ １００ Ｃ． １００Ｃ１００ｎ ＋ １００ Ｄ． １０１Ｃ １０１ ｎ ＋ １００ （２）求值：Ｃ５ － ｎｎ ＋ Ｃ９ － ｎｎ ＋ １ ． ［分析］　 根据题目的特点，选择适当的组合 数公式进行求值或证明． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 巧用组合数公式解题 （１）涉及具体数字的可以直接用Ｃｍｎ ＝ Ａ ｍ ｎ Ａｍｍ ＝ ｎ（ｎ －１）（ｎ －２）…（ｎ － ｍ ＋１） ｍ！ 进行计算． （２）涉及字母的可以用阶乘式Ｃｍｎ ＝ ｎ！ ｍ！（ｎ － ｍ）！计算． （３）与排列组合有关的方程或不等式问题要 用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求 解时，要注意由Ｃｍｎ 中的ｍ∈Ｎ，ｎ∈Ｎ，且ｎ≥ｍ 确定ｍ，ｎ的范围，因此求解后要验证所得结果是 否适合题意． 对点训练? （１）计算：Ｃ５８ ＋ Ｃ９８１００·Ｃ７７； （２）已知１ Ｃｍ５ － １ Ｃｍ６ ＝ ７ １０Ｃｍ７ ，求Ｃｍ８ ． 题型三 组合数性质的应用 ３．（１）计算Ｃ３４ ＋ Ｃ３５ ＋ Ｃ３６ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０的值为 （Ｃ ） Ａ． Ｃ４２ ０２０ Ｂ． Ｃ ５ ２ ０２０ Ｃ． Ｃ４２ ０２１ － １ Ｄ． Ｃ ５ ２ ０２０ － １ （２）若Ｃ２ｘ － １８ ＝ Ｃｘ ＋ ３８ ，则ｘ的值为２或４　 ； （３）求证：Ｃｎｍ ＋ ２ ＝ Ｃｎｍ ＋２Ｃｎ － １ｍ ＋ Ｃｎ － ２ｍ ． ［分析］　 恰当选择组合数的性质进行求值、 证明与解不等式． 　 　 ［尝试作答                                                                                ］ !"# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 性质“Ｃｍｎ ＝Ｃｎ －ｍｎ ”的意义及作用． 意义 反映的是组合数的对称性，即从ｎ个不 同的元素中取ｍ个元素的一个组合与 剩下的（ｎ － ｍ） → 个元素的组合相对应 ↓  作用 当ｍ ＞ ｎ ２ 时，计算Ｃ ｍ ｎ 通常转化为计算 Ｃｎ－ｍ → ｎ 对点训练? （１）Ｃ０５ ＋ Ｃ１５ ＋ Ｃ２５ ＋ Ｃ３５ ＋ Ｃ４５ ＋ Ｃ５５； （２）解方程３Ｃｘ － ７ｘ － ３ ＝ ５Ａ２ｘ － ４ ． 易错警示 　 　 混淆“排列”与“组合”的概念致错 ４．某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会 议，甲需２人参加，乙、丙各需１人参加，从１０人 中选派４人参加这三个会议，不同的安排方法共 有２ ５２０　 种（用数字作答）． ［错解］　 先从１０人中选出４人，共有Ｃ４１０种 不同选法．再从选出的４人中选出２人参加会议 甲有Ｃ２４ 种选法，剩下的２人参加会议乙、丙有Ｃ２２ 种选法，所以共有Ｃ４１０Ｃ２４Ｃ２２ ＝ １ ２６０（种）． ［辨析］　 计数问题中，首先要分清楚是排列 问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一 组”还是“排成一列”，不能将二者混淆．若将排列 问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之， 会导致重复计数． ［正解］                                         　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下面几个问题是组合问题的有 （Ｃ ） ①从甲、乙、丙３名同学中选出２名去参加某两 个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②从甲、乙、丙３名同学中选出２名，有多少种 不同的选法？ ③有４张电影票，要在７人中确定４人去观看， 有多少种不同的选法？ ④某人射击８枪，命中４枪，且命中的４枪均为 ２枪连中，不同的结果有多少种？ Ａ．①② Ｂ．①③④ Ｃ．②③④ Ｄ．①②③④ ２． Ａ２４ － Ｃ ２ ３ ＝ （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． １２ Ｃ． １５ Ｄ． ３ ３．若Ａ３ｍ ＝６Ｃ４ｍ，则ｍ等于 （Ｃ ） Ａ． ９ Ｂ． ８ Ｃ． ７ Ｄ． ６ ４．满足条件Ｃ４ｎ ＞ Ｃ６ｎ的正整数ｎ的个数是（Ｃ ） Ａ． １０ Ｂ． ９ Ｃ． ４ Ｄ． ３ ５．不等式Ｃｎ － ３１０ ＜ Ｃｎ － ２１０ 的解为ｎ ＝３，４，５，６，７　 ． 请同学们认真完成练案［４                    ］ !"$ 中选３人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案Ａ１４·Ａ３５ ＝ ２４０种． ２． Ｂ　 分两类：最左端排甲有Ａ５５ ＝ １２０种不同的排法，最左端排 乙，由于甲不能排在最右端，所以有Ａ１４Ａ４４ ＝ ９６种不同的排法， 由分类加法原理可得满足条件的排法共有１２０ ＋ ９６ ＝ ２１６种． ３． Ａ　 分三类：甲在周一，共有Ａ２４种排法； 甲在周二，共有Ａ２３种排法； 甲在周三，共有Ａ２２种排法； ∴ Ａ２４ ＋ Ａ ２ ３ ＋ Ａ ２ ２ ＝ ２０． ４． Ａ　 能被５整除，则个位须为５或０，有２Ａ４５ 个，但其中个位是 ５的含有０在首位的排法有Ａ３４个，故共有（２Ａ４５ － Ａ３４）个． ５． Ｂ　 解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有２４种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有８种， 故所求概率Ｐ ＝ ８２４ ＝ １ ３ ． 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有２种排法，丁就１ 种，共２种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有１种排法，丁就１ 种，共２种； 于是甲排在排尾共４种方法，同理乙排在排尾共４种方法，于 是共８种排法符合题意； 基本事件总数显然是Ａ４４ ＝ ２４， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率 为８２４ ＝ １ ３ ．故选Ｂ． ３． １． ３　 组合与组合数 第１课时　 组合与组合数 必备知识·探新知 　 　 思考１：（１）取出的对象是不同的． （２）“只取不排”，即取出的ｍ个对象与顺序无关，无序性是 组合的特征性质． 　 　 知识点２　 不同组合　 Ｃｍｎ 　 ｎ（ｎ －１）（ｎ －２）·…·（ｎ －ｍ ＋１）ｍ！ 　 ｎ！ｍ！（ｎ －ｍ）！　 Ｃ ｎ －ｍ ｎ 　 Ｃ ｍ ｎ ＋Ｃ ｍ －１ ｎ 思考２：第一个性质中，若ｍ ＞ ｎ２ ，通常不直接计算Ｃ ｍ ｎ，而改 为计算Ｃｎ － ｍｎ ，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将 一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合 数，在解题中要注意灵活运用． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ｄ　 组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，Ｄ选 项中，选出的２名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独 舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排 列问题，不是组合问题，选Ｄ． 　 　 对点训练１：解法一：可按ＡＢ→ＡＣ→ＡＤ→ＢＣ→ＢＤ→ＣＤ的 顺序写出，即 　 　 ∴所有组合为ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＣＤ，ＡＣＥ，ＡＤＥ，ＢＣＤ，ＢＣＥ， ＢＤＥ，ＣＤＥ． 解法二：画出树形图，如图所示． ∴所有组合为ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＣＤ，ＡＣＥ，ＡＤＥ，ＢＣＤ，ＢＣＥ， ＢＤＥ，ＣＤＥ． 　 　 例２：（１）Ｄ　 分式的分母是１００！，分子是１０１个连续自然数 的乘积，最大的为ｎ ＋ １００，最小的为ｎ， 故ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）…（ｎ ＋ １００）１００！ ＝ １０１·ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）…（ｎ ＋ １００）１０１！ ＝ １０１Ｃ１０１ｎ ＋ １００ ． （２）解：由组合数定义知： ０≤５ － ｎ≤ｎ， ０≤９ － ｎ≤ｎ ＋ １{ ， 所以４≤ｎ≤５，又因为ｎ∈Ｎ， 所以ｎ ＝ ４或５． 当ｎ ＝ ４时，Ｃ５ － ｎｎ ＋ Ｃ９ － ｎｎ ＋ １ ＝ Ｃ１４ ＋ Ｃ５５ ＝ ５； 当ｎ ＝ ５时，Ｃ５ － ｎｎ ＋ Ｃ９ － ｎｎ ＋ １ ＝ Ｃ０５ ＋ Ｃ４６ ＝ １６． 　 　 对点训练２：（１）原式＝ Ｃ３８ ＋ Ｃ２１００ × １ ＝ ８ × ７ × ６３ × ２ × １ ＋ １００ × ９９ ２ × １ ＝ ５６ ＋ ４ ９５０ ＝ ５ ００６． （２）原方程可化为 ｍ！（５ － ｍ）！ ５！ － ｍ！（６ － ｍ）！ ６！ ＝ ７ ×（７ － ｍ）！ｍ！ １０ × ７！ 即ｍ！（５ － ｍ）！５！ － ｍ！（６ － ｍ）（５ － ｍ）！ ６ × ５！ ＝ ７ × ｍ！（７ － ｍ）（６ － ｍ）（５ － ｍ）！１０ × ７ × ６ × ５！ ． ∴ １ － ６ － ｍ６ ＝ （７ － ｍ）（６ － ｍ） ６０ ， 即ｍ２ － ２３ｍ ＋ ４２ ＝ ０，解得ｍ ＝ ２或２１． 而０≤ｍ≤５，ｍ ＝ ２． ∴ Ｃｍ８ ＝ Ｃ ２ ８ ＝ ２８． 　 　 例３：（１）Ｃ　 Ｃ３４ ＋ Ｃ３５ ＋ Ｃ３６ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０ ＝ Ｃ４４ ＋ Ｃ ３ ４ ＋ Ｃ ３ ５ ＋ Ｃ ３ ６ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０ － Ｃ４４ ＝ Ｃ４５ ＋ Ｃ ３ ５ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０ － １ ＝… ＝ Ｃ４２ ０２０ ＋ Ｃ ３ ２ ０２０ － １ ＝ Ｃ ４ ２ ０２１ － １． （２）２或４　 由Ｃ２ｘ － １８ ＝ Ｃｘ ＋ ３８ 得２ｘ － １ ＝ ｘ ＋ ３或２ｘ － １ ＋ ｘ ＋ ３ ＝ ８，解得ｘ ＝ ４或ｘ ＝ ２． （３）由组合数的性质Ｃｍｎ ＋ １ ＝ Ｃｍｎ ＋ Ｃｍ － １ｎ 可知， 右边＝（Ｃｎｍ ＋ Ｃｎ － １ｍ ）＋（Ｃｎ － １ｍ ＋ Ｃｎ － ２ｍ ） ＝ Ｃｎｍ ＋ １ ＋ Ｃ ｎ － １ ｍ ＋ １ ＝ Ｃ ｎ ｍ ＋ ２ ＝左边， 右边＝左边，所以原式成立                                                                      ． —１２８— 　 　 对点训练３：（１）原式＝ ２（Ｃ０５ ＋ Ｃ１５ ＋ Ｃ２５）＝ ２（Ｃ１６ ＋ Ｃ２５）＝ ２ ６ ＋ ５ × ４( )２ × １ ＝ ３２． （２）由排列数和组合数公式，原方程可化为 ３·（ｘ － ３）！（ｘ － ７）！４！＝ ５· （ｘ － ４）！ （ｘ － ６）！， 则３（ｘ － ３）４！ ＝ ５ ｘ － ６，即为（ｘ － ３）（ｘ － ６）＝ ４０． ∴ ｘ２ － ９ｘ － ２２ ＝ ０， 解之可得ｘ ＝ １１或ｘ ＝ － ２． 经检验知ｘ ＝ １１是原方程的根，ｘ ＝ － ２是原方程的增根． ∴方程的根为ｘ ＝ １１． 　 　 例４：解法一：２ ５２０　 先从１０人中选出２人参加会议甲，再 从余下８人中选出１人参加会议乙，最后从剩下的７人中选出１ 人参加会议丙． 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 Ｃ２１０Ｃ １ ８Ｃ １ ７ ＝ ２ ５２０（种）． 解法二：先从１０人中选出２人参加会议甲，再从余下８人 中选出２人分别参加会议乙、丙． 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有Ｃ２１０ Ａ２８ ＝ ２ ５２０（种）． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 ①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组 合问题，故选Ｃ． ２． Ａ　 由题意得Ａ２４ － Ｃ２３ ＝ ４ × ３ － ３ × ２２ ＝ １２ － ３ ＝ ９． ３． Ｃ　 因为Ａ３ｍ ＝ ６Ｃ４ｍ， 所以ｍ（ｍ － １）（ｍ － ２） ＝ ６ × ｍ（ｍ － １）（ｍ － ２）（ｍ － ３）４ × ３ × ２ × １ 即１ ＝ ｍ － ３４ ，解得ｍ ＝ ７． ４． Ｃ　 ∵ Ｃ４ｎ ＜ Ｃ ６ ｎ， ∴ ｎ（ｎ － １）（ｎ － ２）（ｎ － ３）４ × ３ × ２ × １ ＞ ｎ（ｎ － １）（ｎ － ２）（ｎ － ３）（ｎ － ４）（ｎ － ５） ６ × ５ × ４ × ３ × ２ × １ ， ∴ （ｎ － ４）（ｎ － ５）＜ ３０， ∴ ｎ２ － ９ｎ － １０ ＜ ０， 解得－ １ ＜ ｎ ＜ １０． 由题意ｎ可取的值是６，７，８，９共四个． ５． ｎ ＝ ３，４，５，６，７　 由题意知３≤ｎ≤１２，且ｎ∈Ｎ， 由题意得 １０！（ｎ － ３）！（１３ － ｎ）！＜ １０！ （ｎ － ２）！（１２ － ｎ）！， 解得ｎ ＜ ７． ５，所以ｎ ＝ ３，４，５，６，７． 第２课时　 组合数的应用 必备知识·探新知 　 　 思考：在解决此类问题时，要注意题中的隐含条件；解题过 程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”；在应 用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 根据题意，需分两类讨论． 第一类：选出的３名医生中有２名男医生１名女医生，有 Ｃ２５Ｃ １ ３ ＝ ３０（种）不同的组队方式． 第二类：选出的３名医生中有１名男医生２名女医生，有 Ｃ１５Ｃ ２ ３ ＝ １５（种）不同的组队方式． 根据分类加法计数原理，一共有３０ ＋ １５ ＝ ４５（种）组队 方式． （２）１７ ３２５　 需分两步． 第一步：根据经纪人的推荐在１２种股票中选８种，共有Ｃ８１２ 种选法． 第二步：根据经纪人的推荐在７种债券中选４种，共有Ｃ４７ 种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有Ｃ８１２·Ｃ４７ ＝ １７ ３２５（种）不同 的投资方式． （３）２６　 在这８本杂志中，３本文学杂志是完全相同的，因 此从中选取并不是组合问题． 从这８本杂志里选取３本，可分四类完成． 第一类：文学杂志选取０本，数学杂志选取３本，有Ｃ３５ 种不 同的选法． 第二类：文学杂志选取１本，数学杂志选取２本，有Ｃ２５ 种不 同的选法． 第三类：文学杂志选取２本，数学杂志选取１本，有Ｃ１５ 种不 同的选法． 第四类：文学杂志选取３本，教学杂志选取０本，有１种不 同的选法． 根据分类加法计数原理，不同选法的种数为Ｃ３５ ＋ Ｃ２５ ＋ Ｃ１５ ＋ １ ＝ ２６． 　 　 对点训练１：（１）Ａ　 由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放 一个球，所以取出５个盒子放不同的球，共有Ａ５８种不同的放法． （２）Ｂ　 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， 所以只要选出５个不同的盒子即可．故共有Ｃ５８种不同的放法． （３）Ｄ　 由于每个盒里放球数量不限，所以第１个球有８种 放法，第２个球有８种放法，…，第５个球也有８种放法．故不同 的放法共有８ × ８ × ８ × ８ × ８ ＝ ８５（种）． 　 　 例２：（１）７４　 解法一（直接法），第一类，从５名男生中选出 ２名男生，从４名女生中选出１名女生，有Ｃ２５Ｃ１４ ＝ ４０（种）选法； 第二类，从５名男生中选出１名男生，从４名女生中选出２名女 生，有Ｃ１５Ｃ２４ ＝ ３０（种）选法；第三类，从４名女生中选出３名女 生，有Ｃ３４ ＝ ４（种）选法． 根据分类加法计数原理知，共有７４种选法． 解法二（间接法）：从所有的９名学生中选出３名，有Ｃ３９ 种 选法，其中全为男生的有Ｃ３５种选法． 所以选出３名学生，至少有１名女生的选法有Ｃ３９ －Ｃ３５ ＝７４（种）． （２）６４　 解法一（直接法）：４位作介绍的家长可分两类． 第一类，４位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即４ 位作介绍的家长来自４个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母 亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有２４ ＝ １６（种）； 第二类，４位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即４位作介绍 的家长中有２位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有Ｃ１４种，另２ 位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有Ｃ２３ 种，并且 被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其 选法有２２ 种．根据分步乘法计数原理知，作介绍的家长的选法 有Ｃ１４·Ｃ２３ × ２２ ＝ ４８（种）． 根据分类加法计数原理知，满足题意的选法有１６ ＋ ４８ ＝ ６４ （种）． 解法二（间接法）：从８位家长中选出４位家长有Ｃ４８ 种选 法，其中这四位家长仅来自２个家庭不符合条件，其选法有Ｃ２４ 种，所以满足题意的选法有Ｃ４８ － Ｃ２４ ＝ ６４（种）． 　 　 对点训练２：（１）需分两步完成： 第一步　 选３名男运动员，有Ｃ３６种选法； 第二步　 选２名女运动员，有Ｃ２４种选法． 故选法共有Ｃ３６Ｃ２４ ＝ １２０（种）． （２）需分两步完成： 第一步　 选１名女运动员，有Ｃ１４种选法                                                                      ； —１２９—