3.1.2 第2课时排列数的应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第２课时　 排列数的应用 !"#$%&'( 课程标准 １．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法． ２．能应用排列知识解决简单的实际问题． 学法解读 １．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养． ２．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养． )*+,%-.+ 解排列应用题的基本思想 实际问题 化归（建模→） 排列问题 → 求数学模型的解 求排列数 →得实际问题的解实际问题 求解排列问题的主要方法 直接法把符合条件的排列数直接列式计算 优先法优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列 后，再除以定序元素的全排列 间接法正难则反，                      等价转化的方法 /012%345 题型探究 题型一 数字排列问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．用１，２，３，４，５，６，７这７个数字组成没有重 复数字的四位数． （１）如果组成的四位数必须是偶数，那么这 样的四位数有多少个？ （２）如果组成的四位数必须大于６ ５００，那么 这样的四位数有多少个？ ［分析］　 这是一道有限制条件的排列问题， 每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或 特殊位置优先安排的原则． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 解数字排列问题常见的解题方法 １．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊 位置优先填充．如“０”不排“首位”                   ． !!( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ２．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成 几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以 下两点：一是分类标准必须恰当：二是分类过程要 做到不重不漏． ３．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排 列数． ４．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求 数字的每个数位排好． 对点训练? 我们把各位数字之和为７的 四位数称为“北斗数”（如２ ０１４是“北斗数”），则 “北斗数”中千位为３的共有　 　 　 　 个． 题型二 对象“相邻”与“不相邻”问题 ２． ３名男生，４名女生，这７个人站成一排，在 下列情况下，各有多少种不同的站法． （１）男、女各站在一起． （２）男生必须排在一起． （３）男生不能排在一起． （４）男生互不相邻，且女生也互不相邻． ［分析］　 解决“相邻”问题用“捆绑法”，解决 “不相邻”问题用“插空法”． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 处理对象“相邻”“不相邻”问 题应遵循“先整体，后局部”的原则．对象相邻问 题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个对象“捆 绑”为一个大对象与其余对象全排列，然后再松 绑，将这若干个对象内部全排列．对象不相邻问 题，一般用“插空法”，先将不相邻对象以外的“普 通”对象全排列，然后在“普通”对象之间及两端 插入不相邻对象． 对点训练? （１）６名同学排成一排，其中 甲、乙两人必须在一起的不同排法共有（ 　 ） Ａ． ７２０　 　 Ｂ． ３６０　 　 Ｃ． ２４０　 　 Ｄ． １２０ （２）要排一张有６个歌唱节目和４个舞蹈节 目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问 有多少种不同的排法？ 题型三 定位定元问题 ３． ３名男生，４名女生，按照不同的要求排队， 求不同的排列方案的方法种数． （１）全体站成一排，其中甲只能在中间或 两端； （２）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （３）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不 在最右端． ［分析］　 （１）甲是特殊元素，其余学生站法 不受限制，故可先将甲排好，再排其他人． （２）同（１）的分析，甲、乙是特殊元素可先在 两端排好甲、乙，有Ａ２２种排法，再排其他人． （３）直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右 端和甲不在两端；也可按乙的站位分类． 用间接法求时，７人全排列后减去甲在左端 的和乙在右端的（两种情形一样多），再加上甲在 左端且乙在右端的情形（两次都减去了）． 　 　 ［尝试作答                                                                               ］ !!) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 有限制条件的排列问题常用 的方法有“直接法”和“间接法”． １．至多、至少间接法 当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问 题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间 接法”．含“至多”“至少”类词语的排列问题，是需 要分类问题，常用间接法（即排除法）解答．这时 可以先不考虑特殊元素（位置），而列出所有元素 的全排列数，从中再减去不满足特殊元素（位置） 要求的排列数，即排除法． ２．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问 题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不 能排在某位置；有时限定某位置只能排（或不能排） 某元素．这种特殊元素（位置）解题时要优先考虑． ①元素分析法——即以元素为主，优先考虑 特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般． ②位置分析法——即以位置为主，优先考虑 特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步． 对点训练? 从包括甲、乙两名同学在内的 ７名同学中选出５名同学排成一排，求解下列问题． （１）甲不在首位的排法有多少种？ （２）甲既不在首位，又不在末位的排法有多 少种？ （３）甲与乙既不在首位又不在末位的排法有 多少种？ （４）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有 多少种？ 题型四 排列中的定序问题 ４．（１）用１，２，３，４，５，６，７组成没有重复数字 的七位数，若１，３，５，７的顺序一定，则符合条件的 七位数有２１０　 个． （２）将Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ这５个字母排成一列，要求 Ａ，Ｂ，Ｃ在排列中的顺序为“Ａ，Ｂ，Ｃ”或“Ｃ，Ｂ，Ａ”（可 以不相邻），这样的排列有４０　 个（用数字作答）． ［分析］　 定序问题常用“除法”和“插空法”． 　 　 ［规律方法］　 解决定序问题的两种方法 在有些排列问题中，某些对象的前后顺序是 确定的（不一定相邻）．解决这类问题的基本方法 有两种： （１）整体法，即若有（ｍ ＋ ｎ）个对象排成一列， 其中ｍ个对象之间的先后顺序确定不变，先将这 （ｍ ＋ ｎ）个对象排成一列，有Ａｍ ＋ ｎｍ ＋ ｎ种不同的排法； 然后任取一个排列，固定其他ｎ个对象的位置不 动，把这ｍ个对象交换顺序，有Ａｍｍ 种排法，其中 只有一个排列是我们需要的，因此共有Ａ ｍ ＋ ｎ ｍ ＋ ｎ Ａｍｍ 种满 足条件的不同排法． （２）插空法，即ｍ个对象之间的先后顺序确 定不变，因此先排这ｍ个对象，只有一种排法，然 后把剩下的ｎ个对象分类或分步插入由以上ｍ个 对象形成的空中． 对点训练? 《中国诗词大会》（第三季） 亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比 赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美 的配合下，百人齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长 沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平 乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子 吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘 山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 １４４　 种．（用数字作答）． 易错警示 　 　 重复计数与遗漏计数致误 ５． ６个人站成前、中、后三排，每排２人，则不 同的排法有７２０　 种． ［错解一］　 分步完成，第一步，安排第一排 的２人，有Ａ２６种排法； 第二步，安排中同一排的２人，有Ａ２４种排法                                                                        ； !!* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 第三步，余下的２人排在最后一排． 由分步乘法计数原理可知，不同排法共有 Ａ２６·Ａ２４ ＝ ３６０（种）． ［错解二］　 分步完成，第一步，安排第一排 的２人，有Ａ２６种排法； 第二步，安排中间一排的２人，有Ａ２４种排法； 第三步，安排余下的２人，有Ａ２２种排法． 因为排在第一排、中间一排和最后一排不同， 所以三排再排列，有Ａ３３种排法． 由分步乘法计数原理可知，不同排法有Ａ２６· Ａ２４·Ａ２２·Ａ３３ ＝４ ３２０（种）． 错解一中错在第三步，余下的２人还要去排 最后一排的２个不同位置．错解二中错在前三步 已经分清了三排，不需要再排列了． 　 　 ［辨析］　 排列问题的重点是弄清“按怎样的 顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求 出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况 都考虑进去了，切忌重复或遗漏． ［正解］                          　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．从６个人中选４人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫 斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览， 每人只游览一个城市，且这６人中甲、乙两人不 去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （Ｂ ） Ａ． ３００种 Ｂ． ２４０种 Ｃ． １４４种 Ｄ． ９６种 ２．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或 乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（Ｂ ） Ａ． １９２种 Ｂ． ２１６种 Ｃ． ２４０种 Ｄ． ２８８种 ３．甲、乙、丙３位志愿者安排在周一至周五的５天 中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且 每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位 前面．不同的安排方法共有 （Ａ ） Ａ． ２０种 Ｂ． ３０种 Ｃ． ４０种 Ｄ． ６０种 ４．由数字０，１，２，３，４，５可以组成能被５整除，且 无重复数字的不同的五位数有 （Ａ ） Ａ．（２Ａ４５ － Ａ３４）个 Ｂ．（２Ａ４５ － Ａ３５）个 Ｃ． ２Ａ４５个 Ｄ． ５Ａ４５个 ５．（２０２４·全国甲卷文科）甲、乙、丙、丁四人排成 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 （　 　 ） Ａ． １４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ 请同学们认真完成练案［３                          ］ !"! 第２课时　 排列数的应用 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是 偶数，个位数字只能是２，４，６之一，所以有Ａ１３ 种排法；第二步排 千、百、十这三个数位上的数字，有Ａ３６ 种排法．根据分步乘法计 数原理，符合条件的四位数的个数是Ａ１３Ａ３６ ＝ ３ × ６ × ５ × ４ ＝ ３６０． 故这样的四位数有３６０个． （２）因为组成的四位数要大于６ ５００，所以千位上的数字只 能取７或６．排法可以分两类．第一类：千位上排７，有Ａ３６ 种不同 的排法；第二类：若千位上排６，则百位上可排７或５，十位和个 位可以从余下的数字中取２个来排，共有Ａ１２Ａ２５ 种不同的排法． 根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是Ａ３６ ＋ Ａ１２Ａ２５ ＝ １６０． 故这样的四位数有１６０个． 　 　 对点训练１：１５　 由已知得千位为３的“北斗数”的后三位 之和为４，有以下四种可能：０，０，４；０，１，３；０，２，２；１，１，２；各种组 合对应的排列个数分别为３，６，３，３，合计１５个． 　 　 例２：（１）（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起，即把３名 男生进行全排列，有Ａ３３种排法，女生必须站在一起，即把４名女 生进行全排列，有Ａ４４种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排 列有Ａ２２种排法，由分步乘法计数原理知共有Ａ３３Ａ４４Ａ２２ ＝２８８种排法． （２）（捆绑法）把所有男生看作一个对象，与４名女生组成５ 个对象全排列，故有Ａ３３Ａ５５ ＝ ７２０种不同的排法． （３）（不相邻问题插空法）先排女生有Ａ４４ 种排法，把３名男 生安排在４名女生隔成的５个空中，有Ａ３５ 种排法，故有Ａ４４Ａ３５ ＝ １ ４４０种不同的排法． （４）先排男生有Ａ３３ 种排法．让女生插空，有Ａ３３Ａ４４ ＝ １４４种 不同的排法． 　 　 对点训练２：（１）Ｃ　 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两 人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有Ａ５５ 种排法，但甲、 乙两人之间有Ａ２２种排法，由分步乘法计数原理可知： 共有Ａ５５·Ａ２２ ＝ ２４０种不同的排法，选Ｃ． （２）先将６个歌唱节目排好，其不同的排法为Ａ６６种，这６个 歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排４个舞蹈节目有Ａ４７ 种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻 的排法为Ａ４７·Ａ６６ ＝ ６０４ ８００（种）． 　 　 例３：（１）（特殊元素优先法）先考虑甲有Ａ１３种方案，再考虑 其余六人全排，故Ｎ ＝ Ａ１３Ａ６６ ＝ ２ １６０（种）． （２）（特殊元素优先法）先安排甲、乙有Ａ２２ 种方案，再安排 其余５人全排，故Ｎ ＝ Ａ２２·Ａ５５ ＝ ２４０（种）． （３）解法一（特殊元素优先法）：按甲是否在最右端分两类： 第一类：甲在最右端时有Ｎ１ ＝ Ａ６６（种）， 第二类：甲不在最右端时，甲有Ａ１５ 个位置可选，而乙也有 Ａ１５个位置，而其余全排Ａ５５， 有Ｎ２ ＝ Ａ１５Ａ１５Ａ５５（种）， 故Ｎ ＝ Ｎ１ ＋ Ｎ２ ＝ Ａ６６ ＋ Ａ１５Ａ１５Ａ５５ ＝ ３ ７２０（种）． 解法二（间接法）： 无限制条件的排列数共有Ａ７７，而甲在左端或乙在右端的排 法都有Ａ６６，且甲在左端且乙在右端的排法有Ａ５５， 故Ｎ ＝ Ａ７７ － ２Ａ６６ ＋ Ａ５５ ＝ ３ ７２０（种）． 解法三（特殊位置优先法）：按最左端优先安排分步． 对于左端除甲外有Ａ１６种排法，余下六个位置全排有Ａ６６，但 减去乙在最右端的排法Ａ１５Ａ５５种， 故Ｎ ＝ Ａ１６Ａ６６ － Ａ１５Ａ５５ ＝ ３ ７２０（种）． 　 　 对点训练３：（１）解法一（把元素作为研究对象）：第一类：不 含甲，此时只需从甲以外的其他６个元素中取出５个放在５个 位置上，有Ａ５６种排法． 第二类：含有甲，甲不在首位，先从４个位置中选出１个放甲， 再从甲以外的６个元素中选４个排在没有甲的位置上，有Ａ４６种排 法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有４ ×Ａ４６种排法． 由分类加法计数原理，共有Ａ５６ ＋ ４ × Ａ４６ ＝ ２ １６０（种）排法． 解法二（把位置作为研究对象）：第一步：从甲以外的６个元 素中选１个排在首位，有Ａ１６种排法； 第二步：从占据首位以外的６个元素中选４个排在除首位 以外的其他４个位置上，有Ａ４６种排法． 由分步乘法计数原理，可得共有Ａ１６·Ａ４６ ＝ ２１ ６０（种）排法． 解法三（间接法）：即先不考虑限制条件，从７人中选出５人进 行排列，然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有Ａ５７ 种，甲在首位 的情况有Ａ４６种，所以符合要求的排法有Ａ５７ － Ａ４６ ＝ ２ １６０（种）． （２）（把位置作为研究对象，先满足特殊位置）第一步：从甲 以外的６个元素中选２个排在首末两个位置上，有Ａ２６ 种方法； 第二步：从未排上的５个元素中选３个排在中间３个位置上，有 Ａ３５种排法； 根据分步乘法计数原理，有Ａ２６·Ａ３５ ＝ １ ８００（种）排法． （３）（把位置作为研究对象）第一步：从甲、乙以外的５个元素 中选２个排在首末两个位置，有Ａ２５种排法； 第二步：从未排上的５个元素中选出３个排在中间３个位 置上，有Ａ３５种排法． 根据分步乘法计数原理，共有Ａ２５·Ａ３５ ＝ １ ２００（种）排法． （４）（间接法）总的可能情况有Ａ５７ 种，减去甲在首位的Ａ４６ 种，再减去乙在末位的Ａ４６种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况 被减去了两次，所以还需补回一次Ａ３５种，所以共有Ａ５７ －２Ａ４６ ＋ Ａ３５ ＝ １ ８６０（种）排法． 　 　 例４：（１）２１０　 １，３，５，７的排列顺序有Ａ４４ ＝ ２４（种），故１，３， ５，７的顺序一定的排法数只占总排法数的１２４ ． 故符合条件的七位数有１２４Ａ ７ ７ ＝ ２１０（个）． （２）４０　 方法一（整体法）：５个字母无限制条件的排列有 Ａ５５种，由于字母Ａ，Ｂ，Ｃ的排列顺序有Ａ３３ 种，因此，满足条件的 排列有Ａ ５ ５ Ａ３３ × ２ ＝ ４０（个）． 方法二（插空法）：若字母Ａ，Ｂ，Ｃ的排列顺序为“Ａ，Ｂ，Ｃ”， 将字号Ｄ，Ｅ插入这时形成的４个空中，分两类： 第一类，若字母Ｄ，Ｅ相邻，则有Ａ１４Ａ２２种排法； 第二类，若字母Ｄ，Ｅ不相邻，则有Ａ２４种排法． 所以不同的排到方法有Ａ１４Ａ２２ ＋ Ａ２４ ＝ ２０（种）． 同理，若字母Ａ，Ｂ，Ｃ的排列顺序为“Ｃ，Ｂ，Ａ”，也有２０种不 同的排列方法． 因此，满足条件的排列有２０ ＋ ２０ ＝ ４０（个）． 　 　 对点训练４：１４４　 先排除《沁园春·长沙》与《清平乐·六 盘山》之外的四首，有Ａ４４ 种方法，其中《蜀道难》排在《游子吟》 前面有Ａ ４ ４ ２种方法，而《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相 邻且均不排在最后，有Ａ２４种方法，所以后六场的排法有Ａ ４ ４ ２ × Ａ ２ ４ ＝ １４４（种）． 　 　 例５：７２０　 ６个人站在前、中、后三排，每排２人，分３步完 成，不同的排法有Ａ２６·Ａ２４·Ａ２２ ＝ ７２０种． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 先从除甲、乙外的４人中选取１人去巴黎，再从其余５                                                                      人 —１２７— 中选３人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案Ａ１４·Ａ３５ ＝ ２４０种． ２． Ｂ　 分两类：最左端排甲有Ａ５５ ＝ １２０种不同的排法，最左端排 乙，由于甲不能排在最右端，所以有Ａ１４Ａ４４ ＝ ９６种不同的排法， 由分类加法原理可得满足条件的排法共有１２０ ＋ ９６ ＝ ２１６种． ３． Ａ　 分三类：甲在周一，共有Ａ２４种排法； 甲在周二，共有Ａ２３种排法； 甲在周三，共有Ａ２２种排法； ∴ Ａ２４ ＋ Ａ ２ ３ ＋ Ａ ２ ２ ＝ ２０． ４． Ａ　 能被５整除，则个位须为５或０，有２Ａ４５ 个，但其中个位是 ５的含有０在首位的排法有Ａ３４个，故共有（２Ａ４５ － Ａ３４）个． ５． Ｂ　 解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有２４种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有８种， 故所求概率Ｐ ＝ ８２４ ＝ １ ３ ． 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有２种排法，丁就１ 种，共２种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有１种排法，丁就１ 种，共２种； 于是甲排在排尾共４种方法，同理乙排在排尾共４种方法，于 是共８种排法符合题意； 基本事件总数显然是Ａ４４ ＝ ２４， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率 为８２４ ＝ １ ３ ．故选Ｂ． ３． １． ３　 组合与组合数 第１课时　 组合与组合数 必备知识·探新知 　 　 思考１：（１）取出的对象是不同的． （２）“只取不排”，即取出的ｍ个对象与顺序无关，无序性是 组合的特征性质． 　 　 知识点２　 不同组合　 Ｃｍｎ 　 ｎ（ｎ －１）（ｎ －２）·…·（ｎ －ｍ ＋１）ｍ！ 　 ｎ！ｍ！（ｎ －ｍ）！　 Ｃ ｎ －ｍ ｎ 　 Ｃ ｍ ｎ ＋Ｃ ｍ －１ ｎ 思考２：第一个性质中，若ｍ ＞ ｎ２ ，通常不直接计算Ｃ ｍ ｎ，而改 为计算Ｃｎ － ｍｎ ，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将 一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合 数，在解题中要注意灵活运用． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ｄ　 组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，Ｄ选 项中，选出的２名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独 舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排 列问题，不是组合问题，选Ｄ． 　 　 对点训练１：解法一：可按ＡＢ→ＡＣ→ＡＤ→ＢＣ→ＢＤ→ＣＤ的 顺序写出，即 　 　 ∴所有组合为ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＣＤ，ＡＣＥ，ＡＤＥ，ＢＣＤ，ＢＣＥ， ＢＤＥ，ＣＤＥ． 解法二：画出树形图，如图所示． ∴所有组合为ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＣＤ，ＡＣＥ，ＡＤＥ，ＢＣＤ，ＢＣＥ， ＢＤＥ，ＣＤＥ． 　 　 例２：（１）Ｄ　 分式的分母是１００！，分子是１０１个连续自然数 的乘积，最大的为ｎ ＋ １００，最小的为ｎ， 故ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）…（ｎ ＋ １００）１００！ ＝ １０１·ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）…（ｎ ＋ １００）１０１！ ＝ １０１Ｃ１０１ｎ ＋ １００ ． （２）解：由组合数定义知： ０≤５ － ｎ≤ｎ， ０≤９ － ｎ≤ｎ ＋ １{ ， 所以４≤ｎ≤５，又因为ｎ∈Ｎ， 所以ｎ ＝ ４或５． 当ｎ ＝ ４时，Ｃ５ － ｎｎ ＋ Ｃ９ － ｎｎ ＋ １ ＝ Ｃ１４ ＋ Ｃ５５ ＝ ５； 当ｎ ＝ ５时，Ｃ５ － ｎｎ ＋ Ｃ９ － ｎｎ ＋ １ ＝ Ｃ０５ ＋ Ｃ４６ ＝ １６． 　 　 对点训练２：（１）原式＝ Ｃ３８ ＋ Ｃ２１００ × １ ＝ ８ × ７ × ６３ × ２ × １ ＋ １００ × ９９ ２ × １ ＝ ５６ ＋ ４ ９５０ ＝ ５ ００６． （２）原方程可化为 ｍ！（５ － ｍ）！ ５！ － ｍ！（６ － ｍ）！ ６！ ＝ ７ ×（７ － ｍ）！ｍ！ １０ × ７！ 即ｍ！（５ － ｍ）！５！ － ｍ！（６ － ｍ）（５ － ｍ）！ ６ × ５！ ＝ ７ × ｍ！（７ － ｍ）（６ － ｍ）（５ － ｍ）！１０ × ７ × ６ × ５！ ． ∴ １ － ６ － ｍ６ ＝ （７ － ｍ）（６ － ｍ） ６０ ， 即ｍ２ － ２３ｍ ＋ ４２ ＝ ０，解得ｍ ＝ ２或２１． 而０≤ｍ≤５，ｍ ＝ ２． ∴ Ｃｍ８ ＝ Ｃ ２ ８ ＝ ２８． 　 　 例３：（１）Ｃ　 Ｃ３４ ＋ Ｃ３５ ＋ Ｃ３６ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０ ＝ Ｃ４４ ＋ Ｃ ３ ４ ＋ Ｃ ３ ５ ＋ Ｃ ３ ６ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０ － Ｃ４４ ＝ Ｃ４５ ＋ Ｃ ３ ５ ＋…＋ Ｃ３２ ０２０ － １ ＝… ＝ Ｃ４２ ０２０ ＋ Ｃ ３ ２ ０２０ － １ ＝ Ｃ ４ ２ ０２１ － １． （２）２或４　 由Ｃ２ｘ － １８ ＝ Ｃｘ ＋ ３８ 得２ｘ － １ ＝ ｘ ＋ ３或２ｘ － １ ＋ ｘ ＋ ３ ＝ ８，解得ｘ ＝ ４或ｘ ＝ ２． （３）由组合数的性质Ｃｍｎ ＋ １ ＝ Ｃｍｎ ＋ Ｃｍ － １ｎ 可知， 右边＝（Ｃｎｍ ＋ Ｃｎ － １ｍ ）＋（Ｃｎ － １ｍ ＋ Ｃｎ － ２ｍ ） ＝ Ｃｎｍ ＋ １ ＋ Ｃ ｎ － １ ｍ ＋ １ ＝ Ｃ ｎ ｍ ＋ ２ ＝左边， 右边＝左边，所以原式成立                                                                      ． —１２８—