3.1.3 组合和组合数（第1课时）导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 组合和组合数 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1、理解组合的概念,会区分排列与组合问题. 2、掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题. 1、 知识填空 1.组合 一般地,从 个不同对象中取出 (m≤n)个对象并成一组,称为从 个不同对象中取出 个对象的一个组合. 对组合数的理解，要注意一下三点： （1） 组合的特点：组合要求n个对象是不同的，被取出的m个对象也是不同的，即从n个不同的对象中进行m次不放回抽取。 （2） 组合的特性：元素的无序性，即取出的m个对象不讲究顺序，亦即对象没有位置的要求。 （3） 相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的对象完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合。 2.组合数 从 个不同对象中取出 个对象的所有组合的个数,称为从 个不同对象中取出 个对象的组合数,用符号 表示. 注意：（1）所谓并成一组是指与顺序无关，例如，组合a,b与组合b,a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合。 （2）同符号一样，在符号中，总是要求n和m都是正整数，且。 (3)排列与组合的区别与联系 ①共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象. ②不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关. ③只有两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合. (4)组合与组合数的区别 一个组合是具体的一件事,它不是一个数;而组合数是指所有组合的个数,它是一个数. 考虑到从n个不同对象中取出m个排列，可以分成两个步骤完成： 第一步从个不同对象中取出 个，有种选法； 第二步将选出的个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理有 ，所以 上述公式称为组合数公式. 由组合数公式，分别取m=0, m=1 ,m=n可得 1 1 二、预习自测 1.给出下列几个问题,其中是组合问题的有(　　) ①某班选10名同学参加拔河比赛; ②从1,2,3,4中选出两个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出两个数分别作为实轴长和虚轴长,构成焦点在x轴上的双曲线方程; ④从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段.　　　　　　　　　　 A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 2.已知a,b,c,d四个元素,写出每次取出两个元素的所有组合,并写出组合数的值. 三、典例剖析 导入 高考不分文理后，思想政治，历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，考生可以从中任选取3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？ 科目 思想政治 历史 地理 物理 化学 生物 字母 T H G P C B 如果用表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？ 例1.已知一个平面内有10个点，其中任意3个点都不共线，且过任意两点连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： （1）这些点共可以连成多少条不同的线段？ （2）以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？ 解答简单的组合问题的思考方法 (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题; (3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果. 例2.计算： （1）； （2） 【拓展导学】 （1）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，则不同的放法有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种 （2）5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，则不同的放法有（ ） A 种 B 种 C 种 D 种 （3）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒子里放球数量不限，则不同的放法有（ ） A 种 B 种 C 种 D 种 练习 1、 北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊赛，每两个队要比赛一场： （1） 列出所有各场比赛的双方； （2） 最终产生冠、亚军各一个队，列出所有可能的冠、亚军情况。 2、 写出： （1） 从a,b,c,d,e五个元素中取出两个元素的所有组合； （2） 从a,b,c,d,e五个元素中取出三个元素的所有组合； 3. 计算：与 4. 某校举行排球赛，每两个队赛一场，有8个对参加，共需比赛多少场？ 三、课堂小结 （五） 学科网（北京）股份有限公司 $$