3.1.2 第1课时排列与排列数(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ３，…，９｝，且ＰＱ．把满足上述条件的一对有序 整数对（ｘ，ｙ）作为一个点的坐标，则这样的点的 个数是 （Ｂ ） Ａ． ９ Ｂ． １４ Ｃ． １５ Ｄ． ２１ ３．把３封信投到４个信箱，所有可能的投法共有 （Ｃ ） Ａ． ２４种 Ｂ． ４种 Ｃ． ４３种 Ｄ． ３４种 ４．（四川高考题）用数字０，１，２，３，４，５组成没有重复 数字的五位数，其中比４０ ０００大的偶数共有（Ｂ ） Ａ． １４４个Ｂ． １２０个Ｃ． ９６个 Ｄ． ７２个 ５．一个科技小组中有４名女同学和５名男同学， 从中任选１人参加学科竞赛，不同的选派方法 共有　 　 　 　 种；若从中任选１名女同学和１ 名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有 　 　 　 　 种． 请同学们认真完成练案［１                ］ ３． １． ２　 排列与排列数 第１课时　 排列与排列数 !"#$%&'( 课程标准 １．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．（重点） ２．会用排列数公式进行求值和证明．（难点） 学法解读 １．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． ２．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养． )*+,%-.+ 排列的概念 　 　 （１）一般地，从ｎ个不同对象中，任取ｍ（ｍ≤ ｎ）个对象，按照一定的顺序　 排成一列，称为从ｎ 个不同对象中取出ｍ个对象的一个排列． （２）特别地，ｍ ＝ ｎ　 时的排列（即取出所有 对象　 的排列）称为全排列． 思考１：两个排列相同的条件是什么？ 排列数及排列数公式 排列数的定义 从ｎ个不同对象中取出ｍ个对象的 所有排列　 的个数，称为从ｎ个不同 对象中取出ｍ个对象的排列数 排列数的表示 Ａｍｎ　 （ｎ，ｎ∈Ｎ，ｍ≤ｎ） 排列 数公 式 乘积式Ａｍｎ ＝ ｎ（ｎ －１）（ｎ －２）…（ｎ －ｍ ＋１）　 阶乘式Ａｍｎ ＝ ｎ！（ｎ －ｍ）！ 阶乘 Ａ ｎ ｎ ＝ ｎ·（ｎ －１）·（ｎ －２）·…·２·１ ＝ ｎ！　 规定 ０！ ＝ １　 ，Ａ０ｎ ＝ １　 性质 Ａｍｎ ＋ｍＡｍ － １ｎ ＝ Ａｍｎ ＋ １　 　 　 思考２：排列与排列数的区别是什么                           ？ !!% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # /012%345 题型探究 题型一 排列的概念 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列问题是排列问题吗？说明你的理由． （１）从１、２、３三个数字中，任选两个做加法， 其结果有多少种不同的可能？ （２）从１、２、３、５四个数字中，任选两个做除 法，其结果有多少种不同的可能？ （３）会场有５０个座位，要求选出３个座位有 多少种方法？若选出３个座位安排３个客人，又 有多少种方法？ （４）选３个人分别担任班长、学习委员、生活 委员； （５）某班４０名学生在假期相互通信． ［分析］　 判断是不是排列问题关键是选出 的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有 关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．解决本题的关键有两点：一 是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． ２．判断一个具体问题是不是排列问题，就看 取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它 是否有序的依据就是变换元素的“位置”（这里的 “位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看 其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化 就不是排列问题． 对点训练? 判断下列问题是不是排列 问题． （１）从１到１０十个自然数中任取两个数组成 直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的 点的坐标？ （２）从１０名同学中任抽两名同学去学校开座 谈会，有多少种不同的抽取方法？ （３）某商场有四个大门，若从一个门进去，购 买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共 有多少种？ 题型二 排列数的计算公式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（１）计算Ａ３１５和Ａ６６ ． （２）用排列数表示（５５ － ｎ）（５６ － ｎ）…（６９ － ｎ）（ｎ∈Ｎ且ｎ ＜５５）． （３）化简ｎ（ｎ ＋１）（ｎ ＋２）（ｎ ＋３）…（ｎ ＋ ｍ）． ［分析］　 （１）直接用排列数公式计算；（２） （３）用排列数公式的定义解答即可． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 排列数的计算方法 （１）排列数的计算主要是利用排列数的乘积 公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成 某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而 正整数（因式）的个数是选取对象的个数，这是排 列数公式的逆用． （２）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写 出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样 往往会减少运算量． 对点训练? （１）已知Ａｍｎ ＝ １１ × １０ × ９ × ８ ×…×５，则ｍ ＋ ｎ为　 　 　 　 ． （２）计算：Ａ ６ ７ － Ａ ５ ６ Ａ５５ ＝ 　 　 　 　                                                                    ． !!& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型三 排列与排列数公式的简单应用 ３．（１）有７本不同的书，从中选３本送给３名 同学，每人各１本，共有多少种不同的送法？ （２）有７种不同的书（每种不少于３本），要 买３本送给３名同学，每人各１本，共有多少种不 同的送法？ ［分析］　 （１）从７本不同的书中选出３本送 给３名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问 题；（２）给每人的书均可以从７种不同的书中任选 １本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分 步乘法计数原理进行计算． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 （１）没有限制的排列问题，即 对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限 制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． （２）典型的排列问题，用排列数计算其排列 方法数；排列指从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，由排列的概 念可知排列问题中元素不能重复选取． 　 　 对点训练? 用一颗骰子连掷三次，投掷 出的数字顺次排成一个三位数，此时： 　 　 （１）各位数字互不相同的三位数有多少个？ （２）可以排出多少个不同的数？ （３）恰好有两个相同数字的三位数共有多 少个？ 易错警示 　 　 忽视排列数公式的隐含条件致误 ４．解不等式Ａｘ８ ＜ ６Ａｘ － ２８ ． 由排列数公式得 ８！（８ － ｘ）！＜ ６ × ８！ （１０ － ｘ）！，化 简得ｘ２ － １９ｘ ＋８４ ＜ ０，解之得７ ＜ ｘ ＜１２． ∵ ｘ∈Ｎ，∴ ｘ ＝８，９，１０，１１． ［辨析］　 在排列数公式Ａｍｎ 中，隐含条件ｍ≤ ｎ，ｍ∈Ｎ，ｎ∈Ｎ，错解没有考虑到ｘ － ２ ＞ ０，８≥ ｘ，导致错误． ［正解］　 　 　 ［点评］　 注意公式的适用条件．数学中有好 多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排 列数公式Ａｍｎ 中，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｎ≥ｍ，忽视限制条件 就可能导致错误                                                 ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． Ａｍ１２ ＝ ９ × １０ × １１ × １２，则ｍ等于 （Ｂ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ２．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法 为 （Ｃ ） Ａ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 Ｂ．甲乙丙，乙丙甲 Ｃ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 Ｄ．甲乙，甲丙，乙丙 ３．从１，２，３，４四个数字中，任选两个数做加、减、 乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题 中，有几种运算可以看作排列问题 （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ４．不等式Ａ２ｎ － １ － ｎ ＜７的解集为 （Ｃ ） Ａ．｛ｎ ｜ － １ ＜ ｎ ＜５｝ Ｂ．｛１，２，３，４｝ Ｃ．｛３，４｝ Ｄ．｛４｝ ５．（一题两空）从ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ五个元素中每次取出 三个元素，可组成１２　 个以ｂ为首的不同排列， 它们分别是ｂａｃ，ｂａｄ，ｂａｅ，ｂｃａ，ｂｃｄ，ｂｃｅ，ｂｄａ， ｂｄｃ，ｂｄｅ，ｂｅａ，ｂｅｃ，ｂｅｄ　 ． 请同学们认真完成练案［２                   ］ !!' 得，有４种不同的获得情况； 第二步，产生第２个学科冠军，因为夺得第１个学科冠军的 同学还可以去争夺第２个学科的冠军，所以第２个学科冠军也 是由４名同学去争夺，有４种不同的获得情况； 第三步，同理，产生第３个学科冠军也有４种不同的获得 情况． 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有４ × ４ × ４ ＝ ６４（种）． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 分两步，第一步，从物理、化学、生物３科中任选２科，有３种选 法，第二步，从政治、历史、地理３科中任选１科，有３种选法．根据 分步乘法计数原理可得不同选法共有３ ×３ ＝９（种）． ２． Ｂ　 因为ＰＱ，所以分两类．当ｘ ＝ ２时，ｙ∈｛３，４，５，６，７，８， ９｝，所以点的个数为７；当ｘ≠２时，ｘ ＝ ｙ∈｛３，４，５，６，７，８，９｝， 所以点的个数为７．则满足题意的点共有１４个． ３． Ｃ　 第１封信投到信箱中有４种投法； 第２封信投到信箱中也有４种投法； 第３封信投到信箱中也有４种投法． 只要把这３封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理 可得共有４３种投法． ４． Ｂ　 根据题意，需分两类解决： 第一类，万位填４时，此４０ ０００大的偶数有２ × ４ × ３ × ２ ＝ ４８ （个）； 第二类，万位填５时，比４０ ０００大的偶数有３ × ４ × ３ × ２ ＝ ７２ （个）． 根据分类加法计数原理，可知比４０ ０００大的偶数共有４８ ＋ ７２ ＝ １２０（个）． ５． ９　 ２０　 根据分类加法计数原理知，从中任选１人参加学科竞 赛，不同的选派方法共有４ ＋ ５ ＝ ９种；由分步乘法计数原理 知，从中任选１名女同学和１名男同学参加学科竞赛，不同的 选派方法共有４ × ５ ＝ ２０种． ３． １． ２　 排列与排列数 第１课时　 排列与排列数 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）一定的顺序　 （２）ｍ ＝ ｎ　 取出所有对象 思考１：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 均相同． 　 　 知识点２　 所有排列　 Ａｍｎ 　 ｎ（ｎ － １）（ｎ － ２）…（ｎ － ｍ ＋ １） 　 ｎ·（ｎ － １）·（ｎ － ２）·…·２·１　 ｎ！　 １　 １　 Ａｍｎ ＋ １ 思考２：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是 指“从ｎ个不同对象中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个对象，按照一定的顺序 排成一列”，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述 完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）不是；（２）是；（３）第一问不是，第二问是；（４）是； （５）是． 理由是：（１）（２）中由于加法运算满足交换律，所以选出的 两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素 谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是 排列问题，做除法是排列问题． （３）中选座位与顺序无关，“入 座”问题，与顺序有关，故选３个座位安排三位客人是排列问题． （４）中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题．（５）Ａ给Ｂ写信与Ｂ给Ａ写信 是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 　 　 对点训练１：（１）由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到 问题． （２）因为从１０名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． （３）因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 问题． 综上，（１）（３）是排列问题，（２）不是排列问题． 　 　 例２：Ａ３１５ ＝ １５ × １４ × １３ ＝ ２ ７３０， Ａ６６ ＝ ６ × ５ × ４ × ３ × ２ × １ ＝ ７２０． （２）因为５５ － ｎ，５６ － ｎ，…，６９ － ｎ中的最大数为６９ － ｎ，且 共有（６９ － ｎ）－（５５ － ｎ）＋ １ ＝ １５（个）数， 所以（５５ － ｎ）（５６ － ｎ）·…·（６９ － ｎ）＝ Ａ１５６９ － ｎ ． （３）由排列数公式可知ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）（ｎ ＋ ３）·…·（ｎ ＋ ｍ）＝ Ａｍ ＋ １ｎ ＋ ｍ ． 　 　 对点训练２：（１）１８　 因为Ａｍｎ ＝ １１ × １０ × ９ × ８ ×…× ５，所以 ｎ ＝ １１，ｍ ＝（１１ － ５）＋ １ ＝ ７，ｍ ＋ ｎ ＝ １８． （２）３６　 Ａ６７ ＝ ７ × ６ × ５ × ４ × ３ × ２，Ａ５６ ＝ ６ × ５ × ４ × ３ × ２，Ａ４５ ＝ ５ × ４ × ３ × ２， 所以Ａ ６ ７ － Ａ ５ ６ Ａ５５ ＝ ７ × ６ － ６ ＝ ３６． 　 　 例３：（１）从７本不同的书中选３本送给３名同学，相当于从 ７个元素中任取３个元素的一个排列，所以具有Ａ３７ ＝ ７ × ６ × ５ ＝ ２１０（种）不同的送法． （２）从７种不同的书中买３本书，这３本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有７ ×７ ×７ ＝３４３（种）不同的送法． 　 　 对点训练３：（１）用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从６个 元素中任取３个元素的一个排列，所以共有Ａ３６ ＝ ６ × ５ × ４ ＝ １２０ （个）不同的数． （２）每掷一次，出现的数字均有６种可能性，根据分步乘法 计数原理，共有６ × ６ × ６ ＝ ２１６（个）不同的数． （３）两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 位，个位和百位相同，而每种情况有６ × ５ ＝ ３０（个）三位数，故共 有３ × ６ × ５ ＝ ９０（个）三位数． 　 　 例４：由Ａｘ８ ＜ ６Ａｘ － ２８ ，得 ８！（８ － ｘ）！＜ ６ × ８！ （１０ － ｘ）！， 化简得ｘ２ － １９ｘ ＋ ８４ ＜ ０，解之得７ ＜ ｘ ＜ １２， ① 又８≥ｘ， ｘ － ２ ＞ ０{ ，∴ ２ ＜ ｘ≤８， ② 由①②及ｘ∈Ｎ得ｘ ＝ ８． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 由排列数公式可知ｍ ＝ ４，故选Ｂ． ２． Ｃ　 这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种 站法，故Ｃ正确． ３． Ｂ　 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两数做加法和乘法 时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法 与两个数字的位置有关，故是排列问题． ４． Ｃ　 由Ａ２ｎ － １ － ｎ ＜ ７，得（ｎ － １）（ｎ － ２）－ ｎ ＜ ７，即－ １ ＜ ｎ ＜ ５，又 因为ｎ∈Ｎ且ｎ － １≥２，所以ｎ ＝ ３，４．故选Ｃ． ５． １２　 ｂａｃ，ｂａｄ，ｂａｅ，ｂｃａ，ｂｃｄ，ｂｃｅ，ｂｄａ，ｂｄｃ，ｂｄｅ，ｂｅａ，ｂｅｃ，ｂｅｄ　 画出 树状图如下： 可知共１２个，它们分别为ｂａｃ，ｂａｄ，ｂａｅ，ｂｃａ，ｂｃｄ，ｂｃｅ，ｂｄａ，ｂｄｃ， ｂｄｅ，ｂｅａ，ｂｅｃ，                                                                       ｂｅｄ． —１２６—