3.1.1 基本计数原理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

书 ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第三章 　 排列、组合与二项式定理 ３． １　 排列与组合 ３． １． １　 基本计数原理 !"#$%&'( 课程标准 １．了解分类加法计数原理、分步乘法计算原理及其意义． ２．能利用计数原理解决简单的实际问题． 学法解读 １．能够结合具体实例，识别和理解分类加法计算原理和分步乘法计数原理及其作用．（数学抽象） ２．能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决简单的实际问题．（数学运算） )*+,%-.+ 分类加法计数原理 　 　 完成一件事，如果有ｎ类办法，且：第一类办 法中有ｍ１ 种不同的方法，第二类办法中有ｍ２ 种 不同的方法……第ｎ类办法中有ｍｎ 种不同的方 法．那么完成这件事共有Ｎ ＝ ｍ１ ＋ ｍ２ ＋…＋ ｍｎ　 种不同的方法． 思考１：（１）定义中每一类中的每一种方法能 否独立完成这件事？ （２）各类办法之间有何关系？每一类办法中 各种方法之间有何关系？ 分步乘法计数原理 　 　 完成一件事，如果需要分成ｎ个步骤，且：做 第一步有ｍ１ 种不同的方法，做第二步有ｍ２ 种不 同的方法……做第ｎ步有ｍｎ种不同的方法．那么 完成这件事共有Ｎ ＝ ｍ１ｍ２…ｍｎ　 种不同的方法． 思考２：（１）定义中每一步中的每一种方法能 否独立完成这件事？ （２）定义中的“完成一件事”指的是什么？ （３）根据定义完成一件事的方法数怎样计算                            ？ !!" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 两个计数原理的区别 　 　 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回 答的都是有关完成一件事的不同方法的种数问 题．它们的区别在于： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 每类办法中的每种方法 都能独立地完成这件事 每一步完成的只是这件事 的一个环节，只有各步骤 都完成了才算完成这件事 各类办法之间是互斥 的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并 且既不能重复，也不能遗漏 　 　 思考３：分类加法计数原理每一类中的方法 和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别                  ？ /012%345 题型探究 题型一 分类加法计数原理 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在所有的两位数中，个位数字比十位数字 大的有多少？ ［分析］　 根据情况安排个位、十位上的数 字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后 得出结论． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 应用分类加法计数原理解题 时要注意以下三点： （１）明确题目中所指的“完成一件事”指的是 什么事，怎样才算是完成这件事． （２）完成这件事的ｎ类办法中的各种方法是 互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以 单独完成这件事． （３）确立恰当的分类标准，这个“标准”必须 满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于 其中的一类；②不同类中的方法不能相同，即不重 复，无遗漏． 对点训练? （１）某教师有相同的语文参 考书３本，相同的数学参考书４本，从中取出４本 赠送给４位学生，每位学生１本，则不同的赠送方 法共有 （Ｂ ） Ａ． ２０种　 　 　 　 　 Ｂ． １５种 Ｃ． １０种 Ｄ． ４种 （２）为调查今年的北京雾霾治理情况，现从 高二（１）班的男生３８人和女生１８人中选取１名 学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表 的方法有５６　 种． 题型二 分步乘法计数原理 ２．由数字０，１，２，３这四个数字，可组成多少个： （１）无重复数字的三位数？ （２）可以有重复数字的三位数？ ［分析］　 （１）数字各不相同，且百位上的数 字不可为０；（２）数字可以重复，但百位上的数字 不可为０． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 利用分步乘法计数原理解题 的一般思路 （１）分步：将完成这件事的过程分成若干步． （２）计数：逐一求出每一步中的方法数． （３）结论：将每一步中的方法数相乘得最终 结果． 对点训练? （１）现有６                                                 名同学去听同时 !!# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 进行的５个课外知识讲座，每名同学可自由选择 其中的一个讲座，不同选法的种数是 （Ａ ） Ａ． ５６ 　 　 Ｂ． ６５ 　 　 Ｃ． ３０　 　 Ｄ． １１ （２）回文数是指从左到右读与从右到左读都 一样的正整数．如２２，１２１，３４４３，９４２４９等．显然２ 位回文数有９个：１１，２２，３３，…，９９；３位回文数有 ９０个１０１，１１１，１２１，…，１９１，２０２，…，９９９．则５位 回文数有９００　 个． 题型三 两个计数原理的综合应用 ３．现有高一学生５０人，高二学生４２人，高三 学生３０人，组成冬令营． （１）若从中选１人作总负责人，共有多少种不 同的选法？ （２）若每年级各选１名负责人，共有多少种不 同的选法？ （３）若从中推选两人作为中心发言人，要求 这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ ［分析］　 要分清是“分类”还是“分步”． （１）是分类；（２）是分步；（３）是先分类后 分步． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分 清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关 键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚 “分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循 “不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分 步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目 中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步” 或“先分步后分类”． 对点训练? 将３种农作物全部种植在如 图所示的５块试验田里，每块试验田种植一种农 作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不 同的种植方法共有　 　 　 　 种． 易错警示 　 　 分步标准不清致错 ４．甲、乙、丙、丁４名同学争夺数学、物理、化 学３门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有１ 名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有 　 　 　 　 种． ［错解］　 分四步完成这件事． 第一步，第１名同学去夺３门学科的冠军，有 可能１个也没获得，也可能获得１个或２个或３ 个，因此，共有４种不同情况．同理，第二、三、四步 分别由其他３名同学去夺这３门学科的冠军，却 各自有４种不同情况． 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情 况共有４ × ４ × ４ × ４ ＝ ２５６（种）． ［辨析］　 用分步乘法计数原理求解对象可 重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪 类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件 事”是“争夺３门学科知识竞赛的冠军，且每门学 科只有１名冠军产生”，而错解中可能出现某一学 科冠军被２人，３人甚至４人获得的情形，另外还 可能出现某一学科没有冠军产生的情况． ［正解］                                                           　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．自２０２０年起，山东夏季高考成绩由“３ ＋ ３”组 成，其中第一个“３”指语文、数学、外语３科，第 二个“３”指学生从物理、化学、生物、政治、历 史、地理６科中任选３科作为选考科目．某同学 计划从物理、化学、生物３科中任选２科，从政 治、历史、地理３科中任选１科作为选考科目， 则该同学３科选考科目的不同选法的种数为 （Ｄ ） Ａ． ６ Ｂ． ７ Ｃ． ８ Ｄ． ９ ２．集合Ｐ ＝｛ｘ，１｝，Ｑ ＝｛ｙ，１，２｝，其中ｘ，ｙ∈｛１，２         ， !!$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ３，…，９｝，且ＰＱ．把满足上述条件的一对有序 整数对（ｘ，ｙ）作为一个点的坐标，则这样的点的 个数是 （Ｂ ） Ａ． ９ Ｂ． １４ Ｃ． １５ Ｄ． ２１ ３．把３封信投到４个信箱，所有可能的投法共有 （Ｃ ） Ａ． ２４种 Ｂ． ４种 Ｃ． ４３种 Ｄ． ３４种 ４．（四川高考题）用数字０，１，２，３，４，５组成没有重复 数字的五位数，其中比４０ ０００大的偶数共有（Ｂ ） Ａ． １４４个Ｂ． １２０个Ｃ． ９６个 Ｄ． ７２个 ５．一个科技小组中有４名女同学和５名男同学， 从中任选１人参加学科竞赛，不同的选派方法 共有　 　 　 　 种；若从中任选１名女同学和１ 名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有 　 　 　 　 种． 请同学们认真完成练案［１                ］ ３． １． ２　 排列与排列数 第１课时　 排列与排列数 !"#$%&'( 课程标准 １．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．（重点） ２．会用排列数公式进行求值和证明．（难点） 学法解读 １．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． ２．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养． )*+,%-.+ 排列的概念 　 　 （１）一般地，从ｎ个不同对象中，任取ｍ（ｍ≤ ｎ）个对象，按照一定的顺序　 排成一列，称为从ｎ 个不同对象中取出ｍ个对象的一个排列． （２）特别地，ｍ ＝ ｎ　 时的排列（即取出所有 对象　 的排列）称为全排列． 思考１：两个排列相同的条件是什么？ 排列数及排列数公式 排列数的定义 从ｎ个不同对象中取出ｍ个对象的 所有排列　 的个数，称为从ｎ个不同 对象中取出ｍ个对象的排列数 排列数的表示 Ａｍｎ　 （ｎ，ｎ∈Ｎ，ｍ≤ｎ） 排列 数公 式 乘积式Ａｍｎ ＝ ｎ（ｎ －１）（ｎ －２）…（ｎ －ｍ ＋１）　 阶乘式Ａｍｎ ＝ ｎ！（ｎ －ｍ）！ 阶乘 Ａ ｎ ｎ ＝ ｎ·（ｎ －１）·（ｎ －２）·…·２·１ ＝ ｎ！　 规定 ０！ ＝ １　 ，Ａ０ｎ ＝ １　 性质 Ａｍｎ ＋ｍＡｍ － １ｎ ＝ Ａｍｎ ＋ １　 　 　 思考２：排列与排列数的区别是什么                           ？ !!% 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第三章　 排列、组合与二项式定理 ３． １　 排列与组合 ３． １． １　 基本计数原理 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 ｍ１ ＋ ｍ２ ＋…＋ ｍｎ 思考１：（１）能，每一类中的每一种方法都能独立完成这 件事． （２）各类办法之间相互独立，并且任何一类办法中任何一 种方法也相互独立． 　 　 知识点２　 ｍ１ｍ２…ｍｎ 思考２：（１）不能．每一步中的每一种方法不能独立完成这 件事． （２）完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤，各 步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件 才算完成． （３）从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的 方法总数． 知识点３ 思考３．分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件 事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件 事情． 关键能力·攻重难 　 　 例１：方法一：按十位上的数字分别是１，２，３，４，５，６，７，８分 成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有８个，７个，６个，５ 个，４个，３个，２个，１个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是８ ＋ ７ ＋ ６ ＋ ５ ＋ ４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ３６． 方法二：按个位上的数字分别是２，３，４，５，６，７，８，９分成八 类，在每一类中满足条件的两位数分别有１个，２个，３个，４个，５ 个，６个，７个，８个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＝ ３６． 方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利 用对应思想解决． 所有的两位数共有９０个，其中个位数字等于十位数字的两 位数为１１，２２，３３，…，９９，共９个．个位数字与十位数字不能调换 位置的两位数为１０，２０，３０，…，９０，共９个．剩余的７２个两位数 中，将每一个“个位数字（ａ）小于十位数字（ｂ）的两位数”的个位 数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字（ｂ）大于十位 数字（ａ）的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是７２ ÷ ２ ＝ ３６． 　 　 对点训练１：（１）Ｂ　 若４本中有３本语文参考书和１本数 学参考书，则有４种方法，若４本中有１本语文参考书和３本数 学参考书，则有４种方法，若４本中有２本语文参考书和２本数 学参考书，则有６种方法，若４本都是数学参考书，则有一种方 法，所以不同的赠选方法共有４ ＋ ４ ＋ ６ ＋ １ ＝ １５（种）． （２）５６　 完成这件事需要分两类完成：第一类：选１名男生， 有３８种选法；第二类：选１名女生，有１８种选法，根据分类加法 计数原理，共有Ｎ ＝ ３８ ＋ １８ ＝ ５６（种）不同的选法． 　 　 例２：（１）分三步完成． 第一步：排百位，１，２，３三个数字都可以，有３种不同的 方法； 第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有 ３种不同的方法； 第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可 以，有２种不同的方法． 故可组成无重复数字的三位数共３ × ３ × ２ ＝ １８（个）． （２）分三步完成． 第一步：排百位，１，２，３这三个数字都可以，有３种不同的 方法； 第二步：排十位，０，１，２，３这四个数字都可以，有４种不同的 方法； 第三步：排个位，０，１，２，３这四个数字都可以，有４种不同的 方法． 故可组成有重复数字的三位数共３ × ４ × ４ ＝ ４８（个）． 　 　 对点训练２：（１）Ａ　 第一名同学有５种选择方法，第二名也 有５种选择方法，…，依次，第六名同学有５种选择方法，综上，６ 名同学共有５６种不同的选法． （２）９００　 第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相 同，有９种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字 相同，有１０种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个 数字，有１０种选法，故５位回文数有９ × １０ × １０ ＝ ９００，故答案 为９００． 　 　 例３：（１）从高一选１人作总负责人有５０种选法；从高二选 １人作总负责人有４２种选法；从高三选１人作总负责人有３０种 选法．由分类加法计数原理，可知共有５０ ＋ ４２ ＋ ３０ ＝ １２２（种） 选法． （２）从高一选１名负责人有５０种选法；从高二选１名负责 人有４２种选法；从高三选１名负责人有３０种选法．由分步乘法 计数原理，可知共有５０ × ４２ × ３０ ＝ ６３ ０００（种）选法． （３）①高一和高二各选１人作为中心发言人，有５０ × ４２ ＝ ２ １００（种）选法； ②高二和高三各选１人作为中心发言人，有４２ × ３０ ＝ １ ２６０ （种）选法； ③高一和高三各选１人作为中心发言人，有５０ × ３０ ＝ １ ５００ （种）选法．故共有２ １００ ＋ １ ２６０ ＋ １ ５００ ＝ ４ ８６０（种）选法． 　 　 对点训练３：４２　 分别用ａ，ｂ，ｃ代表３种农作物，将试验田 从左到右依次编号为①②③④⑤． 先种①号田，有３种种植方法，不妨设种植ａ． 再种②号田，可种植ｂ或ｃ，有２种种植方法，不妨设种植ｂ． 若③号田种植ｃ，则④⑤号田分别有２种种植方法，则不同 的种植方法共有２ × ２ ＝ ４（种）． 若③号田种植ａ，则④号田可种植上ｂ或ｃ． （１）若④号田种植ｃ，则⑤号田有２种种植方法； （２）若④号田种植ｂ，则⑤号田只能种植ｃ，有１种种植 方法． 综上所述，不同的种植方法共有３ ×２ ×（４ ＋２ ＋１）＝４２（种）． 　 　 例４：６４　 由题知，研究的对象是“３门学科”，只有３门学科 各产生１名冠军，才算完成了这件事，而４名同学不一定每人都 能获得冠军，故完成这件事分三步． 第一步，产生第１个学科冠军，它一定被其中１                                                               名同学获 —１２５— 得，有４种不同的获得情况； 第二步，产生第２个学科冠军，因为夺得第１个学科冠军的 同学还可以去争夺第２个学科的冠军，所以第２个学科冠军也 是由４名同学去争夺，有４种不同的获得情况； 第三步，同理，产生第３个学科冠军也有４种不同的获得 情况． 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有４ × ４ × ４ ＝ ６４（种）． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 分两步，第一步，从物理、化学、生物３科中任选２科，有３种选 法，第二步，从政治、历史、地理３科中任选１科，有３种选法．根据 分步乘法计数原理可得不同选法共有３ ×３ ＝９（种）． ２． Ｂ　 因为ＰＱ，所以分两类．当ｘ ＝ ２时，ｙ∈｛３，４，５，６，７，８， ９｝，所以点的个数为７；当ｘ≠２时，ｘ ＝ ｙ∈｛３，４，５，６，７，８，９｝， 所以点的个数为７．则满足题意的点共有１４个． ３． Ｃ　 第１封信投到信箱中有４种投法； 第２封信投到信箱中也有４种投法； 第３封信投到信箱中也有４种投法． 只要把这３封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理 可得共有４３种投法． ４． Ｂ　 根据题意，需分两类解决： 第一类，万位填４时，此４０ ０００大的偶数有２ × ４ × ３ × ２ ＝ ４８ （个）； 第二类，万位填５时，比４０ ０００大的偶数有３ × ４ × ３ × ２ ＝ ７２ （个）． 根据分类加法计数原理，可知比４０ ０００大的偶数共有４８ ＋ ７２ ＝ １２０（个）． ５． ９　 ２０　 根据分类加法计数原理知，从中任选１人参加学科竞 赛，不同的选派方法共有４ ＋ ５ ＝ ９种；由分步乘法计数原理 知，从中任选１名女同学和１名男同学参加学科竞赛，不同的 选派方法共有４ × ５ ＝ ２０种． ３． １． ２　 排列与排列数 第１课时　 排列与排列数 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）一定的顺序　 （２）ｍ ＝ ｎ　 取出所有对象 思考１：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 均相同． 　 　 知识点２　 所有排列　 Ａｍｎ 　 ｎ（ｎ － １）（ｎ － ２）…（ｎ － ｍ ＋ １） 　 ｎ·（ｎ － １）·（ｎ － ２）·…·２·１　 ｎ！　 １　 １　 Ａｍｎ ＋ １ 思考２：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是 指“从ｎ个不同对象中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个对象，按照一定的顺序 排成一列”，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述 完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）不是；（２）是；（３）第一问不是，第二问是；（４）是； （５）是． 理由是：（１）（２）中由于加法运算满足交换律，所以选出的 两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素 谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是 排列问题，做除法是排列问题． （３）中选座位与顺序无关，“入 座”问题，与顺序有关，故选３个座位安排三位客人是排列问题． （４）中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题．（５）Ａ给Ｂ写信与Ｂ给Ａ写信 是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 　 　 对点训练１：（１）由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到 问题． （２）因为从１０名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． （３）因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 问题． 综上，（１）（３）是排列问题，（２）不是排列问题． 　 　 例２：Ａ３１５ ＝ １５ × １４ × １３ ＝ ２ ７３０， Ａ６６ ＝ ６ × ５ × ４ × ３ × ２ × １ ＝ ７２０． （２）因为５５ － ｎ，５６ － ｎ，…，６９ － ｎ中的最大数为６９ － ｎ，且 共有（６９ － ｎ）－（５５ － ｎ）＋ １ ＝ １５（个）数， 所以（５５ － ｎ）（５６ － ｎ）·…·（６９ － ｎ）＝ Ａ１５６９ － ｎ ． （３）由排列数公式可知ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）（ｎ ＋ ３）·…·（ｎ ＋ ｍ）＝ Ａｍ ＋ １ｎ ＋ ｍ ． 　 　 对点训练２：（１）１８　 因为Ａｍｎ ＝ １１ × １０ × ９ × ８ ×…× ５，所以 ｎ ＝ １１，ｍ ＝（１１ － ５）＋ １ ＝ ７，ｍ ＋ ｎ ＝ １８． （２）３６　 Ａ６７ ＝ ７ × ６ × ５ × ４ × ３ × ２，Ａ５６ ＝ ６ × ５ × ４ × ３ × ２，Ａ４５ ＝ ５ × ４ × ３ × ２， 所以Ａ ６ ７ － Ａ ５ ６ Ａ５５ ＝ ７ × ６ － ６ ＝ ３６． 　 　 例３：（１）从７本不同的书中选３本送给３名同学，相当于从 ７个元素中任取３个元素的一个排列，所以具有Ａ３７ ＝ ７ × ６ × ５ ＝ ２１０（种）不同的送法． （２）从７种不同的书中买３本书，这３本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有７ ×７ ×７ ＝３４３（种）不同的送法． 　 　 对点训练３：（１）用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从６个 元素中任取３个元素的一个排列，所以共有Ａ３６ ＝ ６ × ５ × ４ ＝ １２０ （个）不同的数． （２）每掷一次，出现的数字均有６种可能性，根据分步乘法 计数原理，共有６ × ６ × ６ ＝ ２１６（个）不同的数． （３）两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 位，个位和百位相同，而每种情况有６ × ５ ＝ ３０（个）三位数，故共 有３ × ６ × ５ ＝ ９０（个）三位数． 　 　 例４：由Ａｘ８ ＜ ６Ａｘ － ２８ ，得 ８！（８ － ｘ）！＜ ６ × ８！ （１０ － ｘ）！， 化简得ｘ２ － １９ｘ ＋ ８４ ＜ ０，解之得７ ＜ ｘ ＜ １２， ① 又８≥ｘ， ｘ － ２ ＞ ０{ ，∴ ２ ＜ ｘ≤８， ② 由①②及ｘ∈Ｎ得ｘ ＝ ８． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 由排列数公式可知ｍ ＝ ４，故选Ｂ． ２． Ｃ　 这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种 站法，故Ｃ正确． ３． Ｂ　 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两数做加法和乘法 时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法 与两个数字的位置有关，故是排列问题． ４． Ｃ　 由Ａ２ｎ － １ － ｎ ＜ ７，得（ｎ － １）（ｎ － ２）－ ｎ ＜ ７，即－ １ ＜ ｎ ＜ ５，又 因为ｎ∈Ｎ且ｎ － １≥２，所以ｎ ＝ ３，４．故选Ｃ． ５． １２　 ｂａｃ，ｂａｄ，ｂａｅ，ｂｃａ，ｂｃｄ，ｂｃｅ，ｂｄａ，ｂｄｃ，ｂｄｅ，ｂｅａ，ｂｅｃ，ｂｅｄ　 画出 树状图如下： 可知共１２个，它们分别为ｂａｃ，ｂａｄ，ｂａｅ，ｂｃａ，ｂｃｄ，ｂｃｅ，ｂｄａ，ｂｄｃ， ｂｄｅ，ｂｅａ，ｂｅｃ，                                                                       ｂｅｄ． —１２６—