专题06 勾股定理与折叠问题（2题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题06 勾股定理与折叠问题 1. 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 2. 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 3. 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 4. 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5. 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6. 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 压轴题型一：长方形中的折叠问题 1．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 2．如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 11．如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 12．如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 13．如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 14．如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 15．如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 压轴题型三：三角形中的折叠问题 16．在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 17．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 18．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 19．如图，三角形纸片中，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ）． A． B． C． D． 20．如图，把三角形纸片沿着对折，点恰好与重合，得到，其中，，的周长为8，则四边形的面积是（    ） A． B． C．6 D．7 21．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为，按图中方法分别将其对折，使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为，已知，则纸片的面积是（  ） A． B． C． D． 22．如图，在三角形纸片ABC中，，，折叠三角形纸片，使点A在BC边上的点E处，则AD是　　 A．3 B．4 C． D． 23．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝8，BE＝2．则AB2﹣AC2的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 24．如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．如图，一张三角形纸片，其中．将纸片沿进行折叠，使点落在上，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 26．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 27．在Rt中，，点为上一点． (1)如图①，将折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为______； (2)如图②，Rt中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长； (3)如图③，若，点为边上一点，连接，且，将沿折叠，当点恰好落在边上时，求线段的长； (4)如图④，若，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在边的中线上时，则______是三角形，请说明理由． 28．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．点D恰为AB的中点，DE＝2，求△ABC的周长． 29．如图，直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．    (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴上方是否存在点D，使以点，，为顶点的三角形与全等，若存在画出，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是y轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线的函数表达式． 30．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 1．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 3．如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 4．如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 8．如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)若，为等边三角形，直接写出的长． 9．作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 10．如图，平面直角坐标系中有一张三角形纸片AOB，其顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，8），点O为坐标原点． （1）求边AB的长； （2）点C是线段OB上一点，沿线段AC所在直线折叠△AOB，使得点O落在边AB上的点D处，求点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 勾股定理与折叠问题 1. 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 2. 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 3. 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 4. 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5. 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6. 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 压轴题型一：长方形中的折叠问题 1．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 2．如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴阴影部分的面积：， 故选：C． 3．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， ， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，首先确定点，坐标，利用勾股定理解得的值，由折叠的性质可得，，，，即，进而可得，设，则，在中，利用勾股定理解得，易知，，利用面积法解得，即，将代入直线，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， 对于直线， 令，可得， 令，可得，解得， 即，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ，，，即， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴，， ∵，即， 解得，即， 将代入直线，可得， 解得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、折叠的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 6．如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键． 由矩形性质和对折性质得到 ，设，则，在中，由勾股定理求得，结合运用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴， 由对折知， ， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，坐标与图形性质．先根据点D的坐标得到，，再由折叠的性质得到，，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】∵四边形是长方形，点D的坐标为， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 四边形是长方形， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：C． 9．如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 10．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 11．如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论； （2）在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在长方形中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2）解：在长方形中，，由折叠知， 设，那么， 在中，， 即． 解得，即， ∴． 12．如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)， (2)是等腰三角形，见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 13．如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)存在，或． 【分析】（1）根据，点P的运动速度即可得出代数式； （2）根据折叠的性质及平行线的性质即可得出结论 （3）先证，得，根据折叠性质得，根据勾股定理得，可得结论； （4）分两种情况：点E在矩形的内部时，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，先求解，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ， ， 故答案为：． （2）∵沿着翻折得到， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴在中，，，， ∴， ∴ ∴； （4）存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时， 如图，如图，过点P作于H，过点Q作于G， ， ∵， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ， 解得：； 经检验，符合题意， 当点E在矩形的外部时 如图， ∵， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（此时P与C重合），      综上，存在这样的t值，使得，t的值为秒或5秒． 【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题． 14．如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【答案】(1)15 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键． （1）根据题意在中，由勾股定理可求得的长； （2）利用折叠的性质，设，则，．在直角中，利用勾股定理构造方程可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 在中，； （2）由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 15．如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识间的联系和运用是解答的关键． （1）首先由折叠的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）由（1）可知，设，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 因为，， 所以； （2）解：由（1）可知， 设，则，， 所以， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 压轴题型三：三角形中的折叠问题 16．在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 17．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 18．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 19．如图，三角形纸片中，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．根据题意可得，进而得到；设，则，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处， ∴， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 设， ∴，解得：，即． 故选D． 20．如图，把三角形纸片沿着对折，点恰好与重合，得到，其中，，的周长为8，则四边形的面积是（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质得出，，从而求出BC的长度和的面积，然后利用勾股定理求出BD的长度，从而求出的面积，进而求出的面积，最后利用即可得出答案. 【详解】由折叠的性质可知， ∵，的周长为8 ∴ ∴ 设 ∵ ∴ 即 解得 故选：B. 【点睛】本题主要考查四边形面积的求法，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键. 21．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为，按图中方法分别将其对折，使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为，已知，则纸片的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AC=FH=3x，则BC=GH=4x，AB=GF=5x，根据勾股定理即可求得CD的长，利用x表示出SA，同理表示出SB，根据，即可求得x的值，进而求得三角形的面积． 【详解】解：如图， 设AC=FH=3x，则BC=GH=4x，AB=GF=5x． 设CD=y，则BD=4x-y，DE=CD=y， 在直角△BDE中，BE=5x-3x=2x， 根据勾股定理可得：4x2+y2=（4x-y）2， 解得：y=x， 则SA=BE•DE=×2x•x=x2， 同理可得：SB=x2， ∵SA-SB=10， ∴x2-x2=10， ∴x2=12， ∴纸片的面积是：×3x•4x=6 x2=72． 故选A. 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据勾股定理求得CD的长是解题的关键． 22．如图，在三角形纸片ABC中，，，折叠三角形纸片，使点A在BC边上的点E处，则AD是　　 A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求得BC=13，然后由翻折的性质可知BE=8，AD=DE，设AD=DE=x，则BD=12-x，最后再Rt△DEB中利用勾股定理求解即可． 【详解】在Rt△ABC中，根据勾股定理BC==13， 设AD=x,则BD=12-x, 由折叠可知DE=x,CE=5,则BE=13-5=8， 在Rt△DBE中(12-x)2=x2+82， 解得x=. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）. 23．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝8，BE＝2．则AB2﹣AC2的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得到AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，由勾股定理得到AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，两式相减，通过整式的化简即可得到结论． 【详解】∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处， ∴AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC， ∴AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2， ∴AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC•BE， ∵BC＝8，BE＝2， ∴AB2﹣AC2＝8×2＝16． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 24．如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据折叠可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】∵三角形沿翻折，使得点A与点B重 合， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 25．如图，一张三角形纸片，其中．将纸片沿进行折叠，使点落在上，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质得到，由勾股定理求出，根据，即可求解． 【详解】解：纸片沿进行折叠，使点落在上，， ， ， 在中， ， ，， ， ， 故选：B． 26．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 27．在Rt中，，点为上一点． (1)如图①，将折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为______； (2)如图②，Rt中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长； (3)如图③，若，点为边上一点，连接，且，将沿折叠，当点恰好落在边上时，求线段的长； (4)如图④，若，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在边的中线上时，则______是三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3) (4)等边三角形 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （3）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （4）由直角三角形的性质可得，可求，由折叠的性质可证是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）在Rt中，， 设，则， ， ， 解得：， ； （2）将折叠，使点与的中点重合， ， 设，则， 在Rt中， ， ， 解得：， ； （3）在Rt中， ， ， ， ， ． （4）是等边三角形， 在Rt中，为斜边的中线， ， ∴是等边三角形， 有折叠可知， 是等边三角形， ， ∴点是的中点， 连接， 则（等边三角形三线合一）， ， 点与点关于直线对称， ， 又， 是等边三角形． 28．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．点D恰为AB的中点，DE＝2，求△ABC的周长． 【答案】 【分析】由折叠可得BC＝BD，DE=CE，∠C=∠BDE=90°，又因为BD=DA，则∠A＝∠EBD，由∠A+∠CBE+∠EBD= 90°，即可得出∠A＝∠CBE＝∠EBD= 30°，即可求得AC=6，再由勾股定理可求出AD=2，从而可求得BC= 2，AB=4，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：由折叠可得BC＝BD，DE=CE=2，∠C=∠BDE=90°， ∴DE⊥AB， ∵BD=DA， ∴∠A＝∠EBD， ∵∠A+∠CBE+∠EBD= 90°， ∴∠A＝∠CBE＝∠EBD= 30°， ∴AE＝2DE=4， ∴AC=AE+CE=4+2=6， 在Rt△ADE中，AD＝＝2， ∴BC＝BD＝AD＝2．AB=4 C△ABC=AC+BC+AB=6+2+4=6+6． 【点睛】本题考查折叠的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，求得∠A＝∠CBE＝∠EBD= 30°是解题的关键． 29．如图，直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．    (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴上方是否存在点D，使以点，，为顶点的三角形与全等，若存在画出，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是y轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【分析】（1）将点代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）分在轴上方：和如图两种情况，根据特殊角的关系和全等三角形的性质即可求解． （3）由折叠性质可知，，，，继而利用勾股定理求出点P坐标，再利用待定系数法求出解析式． 【详解】（1）解：∵直线：过点， ， ． 当时，， 点的坐标为， 即． ， ． 点在轴正半轴， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为． （2），， ． 在x轴上方使以点，，为顶点的三角形与全等，有和如图两种情况： 如图①：①当时，   ， ，， ， 点的坐标为， ②当时， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． （3）如图2，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，    由折叠性质可知，，， ∴ 设，则， ∴，解得：， ∴点P坐标为， 设直线CP的函数表达式为，得： 将、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为． 如图当点P在x轴下方时，设，则， 由折叠性质可知，， ∴ ∴，解得：， ∴点P坐标为， 同理可得直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 30．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【分析】（1）把A、B坐标代入一次函数解析式中求解即可； （2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，由，可得，由此求解即可； （3）分当AP=AB=10时，当AB=PB时，当AP=BP时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）∵A（-8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴， 由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°， ∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4， 设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m， ∵， ∴， 解得， ∴AC=5； （3）如图3-1所示，当AP=AB=10时， ∵A点坐标为（-8，0）， ∴P点坐标为（2，0）或（-18，0）； 如图3-2所示，当AB=PB时， ∵BO⊥AP， ∴AO=PO=8， ∴点P的坐标为（8，0）； 如图3-3所示，当AP=BP时， 设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为（，0）； ∴综上所述，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解． 1．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．由折叠得，，由勾股定理得，求得，由即可求解． 【详解】解：由折叠得，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故选： 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 4．如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 5．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 6．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 7．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答； （3）利用四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． （3）解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 8．如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)若，为等边三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定及勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． （1）已知，，根据折叠的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）设，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论∶ （3）根据折叠的性质得到，为等边三角形，可得．则可求出、的长，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：长方形沿折叠， ，，，． ， ． ， ． ． ． 在和中 ． （2）解：， 长方形沿折叠， ， 在中， ，即． 解得：，即． 则 ， ． ． ． ． （3）解：长方形沿折叠， ． 为等边三角形， ． ， ． ， ． ， ，． 9．作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求, ，设，根据勾股定理可得，即可解得的长； （2）作的角平分线交于点，过点作于，再证明，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）如图所示：作的角平分线交于点，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查作垂线，作角平分线，折叠的性质, 勾股定理及应用；熟练掌握基本作图是解题的关键． 10．如图，平面直角坐标系中有一张三角形纸片AOB，其顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，8），点O为坐标原点． （1）求边AB的长； （2）点C是线段OB上一点，沿线段AC所在直线折叠△AOB，使得点O落在边AB上的点D处，求点C的坐标． 【答案】（1）10；（2）（0，3）． 【详解】试题分析：（1）根据A与B的坐标确定出OA与OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长即可； （2）由折叠的性质得到三角形ADC与三角形AOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=AO，CD=CO，设OC=x，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C坐标． 解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，8）， ∴OA=6，OB=8， 根据勾股定理得：AB==10； （2）设OC=x，由折叠的性质得：AD=AO=6，CD=OC=x，∠BDC=90°， ∴BD=AB﹣AD=4，BC=8﹣x， 在Rt△BDC中，根据勾股定理得：42+x2=（8﹣x）2， 解得：x=3， 则C的坐标为（0，3）． 考点：一次函数综合题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$