专题05 幂的运算（2题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题05 幂的运算 1 同底数幂的乘法 1、(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【注意】 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2、科学计数法：科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 2 幂的乘方 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【注意】 （1）公式的推广： (，均为正整数)； （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 3 积的乘方 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【注意】 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【注意事项】 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯。 压轴题型一：比较大小 √满分技法 此类问题一般先将数字化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可。或者化为同底数的形式，比较指数的大小即可。 1．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 2．已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 3．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a,b,c,d大小顺序为（   ） A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c 【答案】D 【详解】【分析】根据（am）n=amn,将各个式子化为指数相同，再比较底数的大小，指数大的，幂也就大. 【详解】∵a=255=（25）11， b=344=（34）11， c=533=（53）11， d=622=(62)11, 53＞34＞62＞25， ∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11， 即a＜d＜b＜c， 故正确选项为：D. 【点睛】此题考核知识点:幂的乘方（am）n=amn.解题的关键：对有理数的乘方的正确理解.，化为底数相同的形式，再比较底数的大小. 4．如果，，，那么a、b、c三数的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，进行有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解：∵a=（-99）0=1，b=（-0.1）-1=-10，c=（-）-2=， ∴b＜c＜a， 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数化简各数是解题关键． 压轴题型二：新定义问题 5．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 6．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 7．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 8．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现； (2)请你通过计算，判断与之间的关系； (3)我们可以发现：____ (4)利用以上的发现计算：. 【答案】（1）=；（2）=；（3）=；（4）. 【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得； （2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得； （3）根据（1）、（2）的规律即可得； （4）逆用积的乘方将原式变形为=，再利用同底数幂进行计算可得． 【详解】（1）我们发现 =     （2）计算得， ∴ （3）我们可以发现： = （）. （4）利用以上的发现计算：= 9．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 10．小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法， 这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得，那么方程可以变成，则，从而是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质： ，，，，……． 请你观察上述等式，根据你发现的规律填空： （1） ______，______，______，_______．（n为自然数） （2）计算：． 【答案】（1）1、i、-1、-i；（2）． 【分析】（1）根据已知的等式即可计算得到答案； （2）先同时计算开平方，立方运算，开立方及化简绝对值，再计算乘法同时将代入计算，最后合并同类项即可. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， ，， 故答案为：1、i、-1、-i； （2） = =. 【点睛】此题考查幂的乘方的逆运算的计算方法，实数的混合运算，正确理解已知的等式的计算法则，将所求代数式按照幂的乘方逆运算进行计算是解题的关键. 1．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定 义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 2．在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 【答案】理解问题：3，；（1）；（2）， 【分析】本题考查图形类规律探索，理解题意，通过前几次操作，观察新产生的截面数量和截面形状是六边形的数量规律，进而即可解答，总结出这些规律是解题关键． 【详解】理解问题：由题意可知：第1次操作新产生个截面； 第2次操作新产生个截面， 第3次操作新产生个截面， 第4次操作新产生个截面， …… 所以第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； （1）由理解问题可知第n次操作新产生个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，则第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； 第1次操作截面形状是六边形的有0个； 第2次操作截面形状是六边形的有个； 第3次操作截面形状是六边形的有个； 第4次操作截面形状是六边形的有个； …… 所以第n次操作截面形状是六边形的有个， 所以第100次操作截面形状是六边形的有个． 3．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 【答案】(1)2，0，3 (2)①0；②证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，新定义运算，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． （1）根据新定义运算法则即可； （2）①根据新定义运算法则，得即可；②设 ，再根据新定义运算法则即可． 【详解】（1）解：，即； ，即； ，即； 故答案为：2，0，3； （2）①解： ； ②证明：设 ， ， ， ． 4．找规律：观察算式 … (1)按规律填空） ； (2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程） (3)思维拓展：计算：（要求：写出计算过程） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是数字规律问题，考查学生对数的观察和分析的能力， （1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推即可解决问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中的所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述 规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解题． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 5．阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______． (2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①2；②2；③81 (2) 【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可； （2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴． 故答案为：2； ②∵， ∴． 故答案为：2； ③∵， ∴．　　 故答案为：81． （2）解：∵，，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键． 6．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． (2)写出（1）、、之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【答案】(1)2，4，6 (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【详解】（1）∵，， ∴， 故答案为：2，4，6； （2）∵，，，， ∴， 故答案为：； （3）由（2）的结果可得， 故答案为：． （4）设，， 则， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 7．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 8．已知，判断a＋b和ab的大小关系． 【答案】． 【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到：，，，即可求出a＋b和ab的大小关系． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求出． 9．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 【答案】(1)2，0，-2 (2)①0；②见解析 【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可； （2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ 52=25， ∴（5，25）=2； ∵20=1， ∴（2，1）=0； ∵ ∴ 故答案为：2，0，-2； （2）①（8，1000）-（32，100000） =（23，103）-（25，105） =（2，10）-（2，10） =0； ②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10， 所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y， 所以（3，2）+（3，5）=（3，10）． 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 幂的运算 1 同底数幂的乘法 1、(其中都是正整数)；即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【注意】 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2、科学计数法：科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 2 幂的乘方 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【注意】 （1）公式的推广： (，均为正整数)； （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 3 积的乘方 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【注意】 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【注意事项】 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯。 压轴题型一：比较大小 √满分技法 此类问题一般先将数字化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可。或者化为同底数的形式，比较指数的大小即可。 1．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a,b,c,d大小顺序为（   ） A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c 4．如果，，，那么a、b、c三数的大小（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：新定义问题 5．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 6．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 7．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 8．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现； (2)请你通过计算，判断与之间的关系； (3)我们可以发现：____ (4)利用以上的发现计算：. 9．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 10．小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法， 这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得，那么方程可以变成，则，从而是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质： ，，，，……． 请你观察上述等式，根据你发现的规律填空： （1） ______，______，______，_______．（n为自然数） （2）计算：． 1．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定 义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 2．在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 3．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 4．找规律：观察算式 … (1)按规律填空） ； (2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程） (3)思维拓展：计算：（要求：写出计算过程） 5．阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______． (2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由． 6．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． (2)写出（1）、、之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 7．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 8．已知，判断a＋b和ab的大小关系． 9．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$