重难点专题02 立体几何中的截面、交线问题（9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

重难点专题02 立体几何中的截面、交线问题 【题型归纳目录】 题型一：截面作图 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 题型三：截面切割几何体的体积问题 题型四：球与截面问题 题型五：截面图形的个数问题 题型六：平面截圆锥问题 题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题 题型八：截面有关的空间角问题 题型九：交线问题 【方法技巧与总结】 解决立体几何截面问题的解题策略． 1、坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法． 2、基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，为空间任意点，则有： 结论1：若与不共线，那么； 结论2：． 3、几何法 从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明． 【典型例题】 题型一：截面作图 【例1】如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 【解析】（1）由投影面积法可得， 因为是所在棱上的中点，设正方体的棱长为2， 则， ，，， 所以在中，边上的高为， 所以， 所以. （2）如图，设所在直线与所在直线交于点，与所在直线交于点， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形是平面截正方体所得的截面. 【变式1-1】已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， (1)求异面直线与所成角； (2)画出过E，F，三点的截面，保留作图痕迹； 【解析】（1）若是中点，连接， 由是中点，则且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，为， 由题意，知，故， 所以异面直线与所成角为. （2）作直线，交延长线于， 连接分别交于， 最后连接，则五边形，即为所求. 【变式1-2】如图所示，在长方体中，为矩形内一点，过点与棱作平面． (1)直接在图中作出平面截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明； (2)设平面平面．若截面图形的周长为16，求二面角的余弦值． 【解析】（1）在平面内过点作分别交于点，连接， 则四边形为所作截面，截面为矩形，证明如下： 在长方体中，， 又平面平面，平面平面，平面平面， 于是，四边形为平行四边形，又平面，平面， 因此，所以四边形为矩形. （2）连接，由矩形的周长为16，且，得， 又，，得，又，则， 由（1）知，，则平面，而平面， 因此，二面角的平面角为， 在中，，则， 所以二面角的余弦值为. 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 【例2】如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解析】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 【变式2-1】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 【变式2-2】已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 【答案】A 【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面平行的面且截面是六边形时满足条件，如图所示， 正方体边长为1，即 设，则， ， 同理可得六边形其他相邻两边的和均为， 六边形的周长为定值， 正三角形的面积为. 当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大， 此时,截面面积为， 截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长为定值，面积不为定值. 故选：A 题型三：截面切割几何体的体积问题 【例3】在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则 ；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则 ． 【答案】 / 【解析】将正四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外接球，如图， 外接球球心为正方体的体对角线的中点，设正四面体的棱长为，则正方体棱长为， 由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体外接球半径， 当过中点的正四面体外接球截面过球心时，截面圆面积最大，截面圆半径为， 当该截面到球心的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心到截面距离为， 可得最小截面圆半径，因此； 正四面体外接球体积， 正四面体的体积，因此. 故答案为：； 【变式3-1】一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高．如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比 ．    【答案】/ 【解析】因为，，所以， 则. 故答案为：. 【变式3-2】在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则 ；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则 ． 【答案】 【解析】将正四面体放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 因为外接球的直径等于正方体的对角线长， 所以外接球的半径为， E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面， 当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为， 当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值， 此时球心O到截面的距离为，可得截面圆的半径为， 从而截面面积的最小值为．所以； 设正四面体内切球的球心为G，半径为， 取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上， 正四面体的每个面的面积为， ，正四面体的高， 故正四面体的体积为， 连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为，则， 所以，求得， 故正四面体内切球的体积， 正四面体外接球的半径为，外接球的体积为， ． 故答案为：；27． 题型四：球与截面问题 【例4】如图，DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为 ；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ． 【答案】 / 【解析】 第一空：设到平面的距离为，易得，为定值， 要使三棱锥的体积最大，即最大，显然当平面平面时，最大，取中点，连接交于， 则为中点，连接，易得，又平面平面，则平面， 即最大为，易得，则为四边形的外心， 设的外心为，过作直线平面，易得，则共面，过作直线垂直于平面交直线于， 易得即为外接球球心，连接，即为外接球半径，易得四边形为矩形，则， ，则，故外接球O的表面积为； 第二空：要使截面圆面积最小，显然当垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小，又都在球面上，M为EC中点， 显然为截面圆的直径，又，则截面圆的面积最小为. 故答案为：；. 【变式4-1】已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是，的中点，平面，，，则下列结论正确的是 . ①平面； ②球O的体积是； ③二面角的余弦值是； ④平面被球O所截的截面面积是 【答案】①② 【解析】如图： 对于选项①，因为平面，所以， 由，，可得， 满足，所以，又， 所以平面，故①正确； 对于选项②，是和的公共斜边， 所以的中点即三棱锥外接球的球心， 所以球的半径为，球的体积为，故②正确； 对于选项③，过点作，垂足为，连接，易证平面， 所以，又，所以平面，所以， 所以为二面角的平面角，在中，可得， 在中，可得，在中，， 则 ，故③错误； 对于选项④，设到平面的距离为， 平面被球所截的截面圆的半径为，因为是的中位线， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 故，即，得， 所以，所以截面圆的面积为，故④错误. 故答案为：①② 【变式4-2】如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是 . 【答案】 【解析】由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为， 设截面圆的半径为，球的半径为，则，可得，所以，， 因此，该球的体积为. 故答案为：. 题型五：截面图形的个数问题 【例5】过正四面体的顶点P作平面，若与直线，，所成角都相等，则这样的平面的个数为（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，将正四面体看成四棱柱的左下角一部分， 由正四面体可知， 平面与直线，，所成角都相等， 故过点P做平面平面， 则此时的平面与直线，，所成角都相等， 因为， 则与平面所成的角相等， 又因， 所以直线，，与平面所成的角相等， 故过点P做平面平面， 则此时的平面与直线，，所成角都相等， 同理，直线，，与平面、平面所成角都相等， 即平面平面时，平面与直线，，所成角都相等， 平面平面时，平面与直线，，所成角都相等， 综上所述，这样的平面的个数为4个. 故选：B. 【变式5-1】（2024·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模）过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：直线AB、AD、AA1与平面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直线AB、AD、AA1与平面α所成的角都相等． 法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，由此能求出结果．解法一：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥， 直线AB、AD、AA1与平面A1BD所成角都相等， 过顶点A作平面α∥平面A1BD， 则直线AB、AD、AA1与平面α所成角都相等， 同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行， 直线AB、AD、AA1与平面α所成的角都相等， ∴这样的平面α可以作4个． 故选：C 解法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等 因为有四条体对角线，所以，可以做四个平面． 故选：C 【变式5-2】设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 A．有无数多个 B．恰有个 C．只有个 D．不存在 【答案】A 【解析】 如图由题知面与面相交，面与面相交，可设两组相交平面的交线分别为，由决定的平面为，作与且与四条侧棱相交，交点分别则由面面平行的性质定理得：从而得截面必为平行四边形．由于平面可以上下平移，可知满足条件平面有无数多个．故本题答案选． 题型六：平面截圆锥问题 【例6】已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（     ）. A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】如图，当该椭圆的长轴垂直于母线时，椭圆的长轴取得最小值， 且最小值为边长为2的正三角形的高，即. 故选：C 【变式6-1】用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（    ）    A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线 C．当时，是圆 D．当时，是椭圆 【答案】D 【解析】∵为定线段，为定值， ∴在以为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴的夹角为， 对于A，，∴平面截圆锥得双曲线，故A错误； 对于B，，∴平面截圆锥得椭圆，故B错误； 对于C，，∴平面截圆锥得抛物线，故C错误； 对于D，，∴平面截圆锥得椭圆，故D正确； 故选：D. 【变式6-2】古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在圆锥中，，，易知， 由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则， 所以，，则， 圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 因为是母线上一点，，则，,， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 所以，， 所以，， 故该圆锥曲线的离心率为， 故选：D. 题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题 【例7】（多选题）如图，圆锥的轴截面都是边长为2的等边三角形，平面平面，点为母线的中点，则（    ） A．直线平面 B．异面直线和所成角大于 C．沿该圆锥侧面，由点D到点F的最小值为 D．过直线的平面截该圆锥所得截面面积的最小值为 【答案】BC 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 对于A，因为圆锥的轴截面都是边长为2的等边三角形， 所以，则，， 故，，，，， 因为为母线的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设面的法向量为，则， 得到，也有，得到， 令，解得，得到， 而，则直线平面不成立，故A错误， 对于B，由已知得，， 设异面直线和所成角为， 则， 而，则，而， 由余弦函数性质得在该范围内单调递减，故， 则异面直线和所成角大于，故B正确， 对于C，由已知得圆锥底面圆直径为，母线长度为， 则底面圆的周长为，如图，我们把圆锥沿母线展开为扇形， 此时点对应两个位置，和，且是的中点， 则在该扇形内，半径为，弧长为，设圆心角为， 则，解得，则该扇形是半圆，， 而是的中点，则， 由勾股定理得，故C正确， 对于D，如图，作，连接， 此时截面由构成，围成的截面面积最小， 由等面积公式得，解得， 则，而，， 得到截面面积一定大于的面积， 即过直线的平面截该圆锥所得截面面积的最小值不为，故D错误. 故选：BC 【变式7-1】（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，（与点不重合）是平面内的动点，下列说法正确的是（   ）    A．平面平面 B．若，则动点的轨迹为抛物线的一部分 C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．线段AD绕旋转一周，在旋转过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，在正方形中，，在正方体中平面，∵平面，∴， ∵，∵平面，平面， ∴平面，同理可证平面， ∵平面，平面， ∴，，且，平面，平面， ∴平面，平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，满足条件的点应在以AM为旋转轴，绕其旋转所得的圆锥的侧面上，旋转轴AM与平面平行，又是平面内的动点，所以动点的轨迹为双曲线的一支的一部分，故B错误； 对于C，当时，为线段上靠近点的三等分点，如图1，易知正方体的外接球的球心为正方体的中心，过点作于点，连接，∵，，则，球的半径若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为OP，此时，故C正确； 对于D，线段绕旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为的圆锥，设，，， 在旋转过程中，与所成的角在如图2所示的轴截面内分别取得最值，，， 所以在旋转过程中，与所成角的正切值的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 【变式7-2】（多选题）如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（   ）    A．存在点G，使得 B．点B到平面CEF的距离是 C．存在点G，使得平面CEF D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 【答案】ABD 【解析】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图： 设，则， ， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，设平面CEF的法向量为，则，令， 得，则点B到平面CEF的距离是，B正确； 对于C，当平面CEF时，，则，即，此方程组无解，C错误； 对于D，设该长方体外接球的球心为O，则，， 点O到直线CF的距离，设该截面圆的半径为r， 则，所得截面面积的最小值是，D正确. 故选：ABD 题型八：截面有关的空间角问题 【例8】过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【解析】不妨设正四面体的棱长为，正的中心为，则正四面体的高为， 在中，以为圆心，以为半径画圆，则所求截面与平面的交线为该圆的切线， 下面分三种情况进行讨论： （1）切线与的任意一边平行，此时能作出个截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ，此时易证≌， 所以，则截面为等腰三角形，这样的截面有个； （3）过点作的切线，与交于点，由≌有，对应为等腰三角形，这样的截面有个， 综上，满足条件的截面共有18个， 故选：D. 【变式8-1】在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】D 【解析】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角， 如图所示： 当为的中点时，，此时与所成的角为，所以A错误； 如图所示； 当与或重合时，直线与所成的角最小，为，所以B错误； 当与重合时，二面角的平面角最小，，所以， 所以C错误； 对于D，如图所示： 过作，交于，交于点， 因为，所以分别是的中点， 又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面， 因为，且， 所以四边形是等腰梯形，作交于点， 所以， 所以梯形的面积为，所以D正确. 故选：D 【变式8-2】在正方体中，E为线段AD的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为2， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示： 则、、、、. 设平面的法向量为， ，， 由，取可得. 设平面的法向量为，，， 由，取可得. 设直线的方向向量为，∵平面，平面， 则，， ∴，取可得， ，设直线与所成角为 ，即直线与所成角的余弦值为. 故选：D 题型九：交线问题 【例9】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面的法向量， 设直线的一个方向向量为，则由题意， 所以，取，则， 直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 【变式9-1】空间中，过点且一个法向量为方平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取得， 所以， 所以直线l与平面所成角的正弦值为， 故选：B． 【变式9-2】甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】如图所示， 分别取的中点，连结E，F， 则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O， 所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1， 则由勾股定理可得， 所以在等腰三角形FAB中： ． 故选：A． 【变式9-3】已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 【过关测试】 1．如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】 设截面分别于交于点，连接， 取的中点，连接，分别交于点， 交于点， 由于，平面， 所以平面，而平面，所以， 又平面，平面，平面平面， 所以，同理，，，所以， 则四边形为矩形， 平面平面，所以，则为的中点， 又，则，则， 平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为，则， 在中，， 又，则，即，则， 所以， 而正四面体的高， 所以 ， 则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 则在切线斜率增大，在切线斜率减小，故选择图象D. 故选：D 2．如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 3．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 4．如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中错误的（    ）      A．异面直线与所成的角为90° B．平面截四面体所得截面周长不变 C．平面截四面体所得截面不可能为正方形 D．该四面体的外接球半径为 【答案】C 【解析】对于A，如图1，取中点，为等腰三角形且，那么， 同理，，且，平面， 那么平面，而平面，所以，故A正确； 对于B，如图2，设平面与四面体的各棱的交点分别为，，，， 由平面，且平面，两个平面的交线为，则，同理，， 所以截面为平行四边形， ∴，，又，所以， ∴截面的周长为，B正确； 对于C，，，，为各棱中点时，截面是边长为的正方形，C错误； 对于D，如图3，四面体的外接球为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的外接球， 则外接球的半径，D正确． 故选：C 5．在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，现有如下说法 ①不存在点，使得平面 ②存在点，使得平面 ③当点不是的中点时，都有平面 ④当点不是的中点时，都有平面 其中正确的说法有（    ） A．①③ B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①，由当点与点重合时，由， 而平面，平面，得平面，故①错误； 对于②，若存在点，使得平面，则， 又，可得， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，，， 则，，，， 则，， ，， 所以，这与矛盾，故②错误； 对于③，当不是的中点时， 由，且面，面，可知面， 又直线为面与面的交线，则， 又面，面，从而可得面，故③正确； 对于④，由③可知，又平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，所以平面，故④正确. 综上，③④正确. 故选：B. 6．（多选题）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（   ） A．，，，四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【解析】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故错误； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D正确， 故选：BCD 7．（多选题）在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（    ） A．异面直线与所成角的正切值为 B．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 C．过点的平面截正方体所得的截面周长为 D．点为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为 【答案】CD 【解析】对于A，如图， ，在中即为异面直线与所成的角， ， 异面直线与所成的角的正切值为，故A错误； 对于B，如图所示， 取的中点，则，过作，且使得， 则为三棱锥的外接球的球心，所以为外接球的半径， 在中，，， ，故B错误； 对于C，延长交的延长线于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接交于点，再连接、，如图， 则过点，，的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 平面平面，截面与平面和平面分别交于与， ，同理可得， 如图以为原点，分别以、、方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， ，，，， ，，即且， ，解得， ，，，， 在中，，，，同理：， 在中，，，，同理：， 在中，，， ， 即过点的平面截正方体所得的截面周长为，故C正确； 对于D，取的中点的中点，取的中点，连接，，，如图， 为平行四边形， ，，，同理可得， 又面，面，面，面， 面，面，又，面， 面面，又面，面，轨迹为线段， 在中，过作，此时取得最小值， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 如图， 在中，，故D正确； 8．（多选题）在正方体中，，分别为和的中点，M为线段上一动点，N为空间中任意一点，则下列结论正确的有（    ） A．直线平面 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．过点的截面周长为 D．当时，三棱锥体积最大时其外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】A. ∵， 平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 同理可证，， ∵，平面，平面， ∴直线平面，选项A正确. B. 如图，连接， 由题意得，，， 直线与所成的角等于直线与所成的角， 在等边中，当点与两点重合时，直线与所成的角为， 当点与中点重合时，，此时直线与所成的角为， 故直线与所成角的取值范围是，选项B错误. C. 如图，作直线分别与直线交于点，连接与交于点，连接与交于点，则五边形即是截面. 由题意得，为等腰直角三角形，， 由得，， ∴， ∴，， 同理可得，， ∵分别为和的中点， ∴， ∴截面周长为，选项C正确. D. 当时，点的轨迹为以为直径的球，球心为中点，半径为， 三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 点到平面距离的最大值为球的半径，此时点在正方形的中心处，三棱锥体积有最大值. 由题意得，平面平面，，均为等腰直角三角形，的外接圆半径为，的外接圆半径为， ∴三棱锥的外接球半径， ∴外接球体积为，选项D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，是侧面内的动点，是空间内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹为圆的一部分 C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．，直线与所成角的正切值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，故A错误； ，， 所以，化简可得圆的方程，所以B正确； 对于C，当时，为线段上靠近点的四等分点，如图1， 易知正方体的外接球的球心为正方体的中心， 过点作于点，连接， 因为，， 则，球的半径， 若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为， 此时，故C正确； ，即把直线绕旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为的圆锥， 设，，， 在旋转过程中，与所成的角在如图2所示的轴截面内分别取得最值， ， ， 所以与所成角的正切值的取值范围为，D正确， 故选：BCD． 10．（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值当 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 【答案】AD 【解析】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则点坐标为； 对A：设平面的法向量为，， 则，即，取，解得，故； 又，， 考虑到，则，故， 故一定是异面直线，A正确； 对B：，， 若，则，即， 解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误； 对C： ，取平面的法向量， 则， 设直线与平面的夹角为 则，则， ，又，故， 即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误； 对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大. 此时过的截面经过对称中心， 设截面交于中点，也为中点， 所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大， 取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形， 其面积，故D正确. 故选：AD. 11．（多选题）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（    ） A．圆的周长为 B．椭圆的长轴长为 C．双曲线的离心率为 D．抛物线的焦点到准线的距离为 【答案】ABC 【解析】对于A，因为点是母线的中点，当经过的截面平行于底面时得截面图形是圆，因为底面圆的半径为,截面的半径，所以圆的周长为，A正确； 对于B，当经过的截面恰好经过底面的端点且与底面只有这一个公共点时截面是椭圆，椭圆的长轴是,因为在圆锥中，高，底面圆的半径为4，所以， 所以，所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，因为点是母线的中点，当经过的截面与底面垂直时截面是一支双曲线，截线正好是的中垂线时,在与底面、平面垂直且过点的平面内，以为右顶点建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，有，易知点在双曲线上，所以，所以离心率，故C正确； 对于D，经过的截面与底面的的截线是与垂直的底面圆的直径时截面是抛物线，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为（，易知点在抛物线上，所以，故D错误. 故选：ABC. 12．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ；过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ．    【答案】 【解析】第一空：设点到平面的距离为， 在中，取的中点，连接交于点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，则， 由题意可知，、分别为、的中点，则，则，， 翻折后，则有，所以，二面角的平面角为， 过点在平面内作或其延长线上， 因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面，所以，平面， 所以，，且，则， 当为直角时，取最大值， 因为为的中点，为定值， 故当为直角时，取最大值， 此时，平面平面， 易知，，同理可得，， 故是边长为的等边三角形， 因为，则， 因为为的中点，为的中点，则且， 同理可得，则为四边形的外心， 设等边的外心为点，过点作平面， 因为平面，则， 过点作平面的垂线交于点，则为四棱锥的外接球球心， 连接，则为球的一条半径， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面，因为平面，则， 又因为平面，则，故四边形为矩形， 且，则， 因为，则，则， 所以，， 所以，球的表面积为； 第二空：因为，则四边形为菱形，则， 因为为的中点，是边长为的等边三角形，则， 且， 因为为的中点，则也为的中点， 且，， 因为平面，平面，则， 故， 当过点的截面与垂直时，截面圆的半径取最小值， 且， 因此，过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是. 故答案为：；. 13．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是 ． 【答案】 【解析】设球的半径为，则，解得或（舍去）， ∴球的体积． 故答案为： 14．已知正四面体的四个顶点在球的球面上，，Q为BC的中点，则过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围是 ． 【答案】 【解析】已知正方体的外接球与正四面体的外接球相同，且正方体体对角线的中点为球心.设正四面体的棱长为. 设外接球半径为,正四面体体积公式. 正四面体的外接球半径与棱长的关系为. 已知. 那么，所以.代入可得:. 根据圆的面积公式（对于球的截面圆，当截面过球心时，截面圆半径等于球的半径），所以最大截面为过球心的圆，其面积. 这是因为过球心的截面圆是球的大圆，此时圆的半径就是球的半径，所以面积最大.   因为为的中点，由正方体结构特征可得. 设截面圆半径为，球的半径为，球心到截面的距离为（这里，），根据球的截面性质（在由球心、截面圆心和球面上一点构成的直角三角形中，球的半径为斜边，球心到截面的距离和截面圆半径为两直角边，满足勾股定理），则. 再根据圆的面积公式，可得最小截面圆面积. 这是因为当与截面圆垂直时，球心到截面的距离达到最大，此时截面圆半径最小，所以截面圆面积最小.   由前面求出的最大截面圆面积和最小截面圆面积， 可知过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围为. 故答案为：. 15．如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【答案】 / / 【解析】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以a的最小值为. 故答案为：；. 16．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【解析】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 17．如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 .    【答案】 【解析】取中点F，连接. 由，，可得,, 又，则， 又，，则， 又面，则面， 又F为外心，则三棱锥外接球球心O在直线上， 延长交球O于，连接， 则，设球O半径为R，则， 解之得，，则， 又为的中点，则， ， 则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小时 即为以为直径的圆的面积，该圆面积为 故答案为： 18．如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因； (2)求（1）中截面多边形的面积： (3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值． 【解析】（1） 取中点，连接，则四边形为平面截正方体所得的截面，原因如下： 因为分别为的中点，所以， 因为为正方体，所以，所以， 所以点四点共面，四边形为平面截正方体所得的截面. （2）由（1）得四边形为等腰梯形，，，， 过点作交于点，则， 在直角三角形中，， 所以. （3）如图平面可将正方体分割成多边形和多边形两部分， 多边形可以分割成四棱锥和三棱锥， 所以， ， 所以， 所以比较小的部分比比较大的部分的体积的比值为. 19．如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【解析】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题02 立体几何中的截面、交线问题 【题型归纳目录】 题型一：截面作图 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 题型三：截面切割几何体的体积问题 题型四：球与截面问题 题型五：截面图形的个数问题 题型六：平面截圆锥问题 题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题 题型八：截面有关的空间角问题 题型九：交线问题 【方法技巧与总结】 解决立体几何截面问题的解题策略． 1、坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法． 2、基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，为空间任意点，则有： 结论1：若与不共线，那么； 结论2：． 3、几何法 从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明． 【典型例题】 题型一：截面作图 【例1】如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 【变式1-1】已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， (1)求异面直线与所成角； (2)画出过E，F，三点的截面，保留作图痕迹； 【变式1-2】如图所示，在长方体中，为矩形内一点，过点与棱作平面． (1)直接在图中作出平面截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明； (2)设平面平面．若截面图形的周长为16，求二面角的余弦值． 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 【例2】如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【变式2-1】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 题型三：截面切割几何体的体积问题 【例3】在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则 ；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则 ． 【变式3-1】一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高．如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比 ．    【变式3-2】在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则 ；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则 ． 题型四：球与截面问题 【例4】如图，DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为 ；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ． 【变式4-1】已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是，的中点，平面，，，则下列结论正确的是 . ①平面； ②球O的体积是； ③二面角的余弦值是； ④平面被球O所截的截面面积是 【变式4-2】如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是 . 题型五：截面图形的个数问题 【例5】过正四面体的顶点P作平面，若与直线，，所成角都相等，则这样的平面的个数为（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】（2024·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模）过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 A．有无数多个 B．恰有个 C．只有个 D．不存在 题型六：平面截圆锥问题 【例6】已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（     ）. A． B．1 C． D．2 【变式6-1】用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（    ）    A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线 C．当时，是圆 D．当时，是椭圆 【变式6-2】古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题 【例7】（多选题）如图，圆锥的轴截面都是边长为2的等边三角形，平面平面，点为母线的中点，则（    ） A．直线平面 B．异面直线和所成角大于 C．沿该圆锥侧面，由点D到点F的最小值为 D．过直线的平面截该圆锥所得截面面积的最小值为 【变式7-1】（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，（与点不重合）是平面内的动点，下列说法正确的是（   ）    A．平面平面 B．若，则动点的轨迹为抛物线的一部分 C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．线段AD绕旋转一周，在旋转过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为 【变式7-2】（多选题）如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（   ）    A．存在点G，使得 B．点B到平面CEF的距离是 C．存在点G，使得平面CEF D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 题型八：截面有关的空间角问题 【例8】过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 【变式8-1】在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【变式8-2】在正方体中，E为线段AD的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型九：交线问题 【例9】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】空间中，过点且一个法向量为方平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（   ） A． B． C． D．1 【变式9-3】已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（   ）      A．   B．   C．   D．   2．如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中错误的（    ）      A．异面直线与所成的角为90° B．平面截四面体所得截面周长不变 C．平面截四面体所得截面不可能为正方形 D．该四面体的外接球半径为 5．在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，现有如下说法 ①不存在点，使得平面 ②存在点，使得平面 ③当点不是的中点时，都有平面 ④当点不是的中点时，都有平面 其中正确的说法有（    ） A．①③ B．③④ C．②③ D．①④ 6．（多选题）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（   ） A．，，，四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为10 7．（多选题）在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（    ） A．异面直线与所成角的正切值为 B．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 C．过点的平面截正方体所得的截面周长为 D．点为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为 8．（多选题）在正方体中，，分别为和的中点，M为线段上一动点，N为空间中任意一点，则下列结论正确的有（    ） A．直线平面 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．过点的截面周长为 D．当时，三棱锥体积最大时其外接球的体积为 9．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，是侧面内的动点，是空间内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹为圆的一部分 C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．，直线与所成角的正切值的取值范围为 10．（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值当 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 11．（多选题）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（    ） A．圆的周长为 B．椭圆的长轴长为 C．双曲线的离心率为 D．抛物线的焦点到准线的距离为 12．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ；过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ．    13．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是 ． 14．已知正四面体的四个顶点在球的球面上，，Q为BC的中点，则过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围是 ． 15．如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 16．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 17．如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 .    18．如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因； (2)求（1）中截面多边形的面积： (3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值． 19．如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$