八下数学第一次月考卷-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列方程是关于 x的一元二次方程的是（ ） A． 6 9x   B． 1x y  C． 22 3 1 0x x    D． 8 3x x   2．化简  22 的结果是（ ） A．2 B． 2 C．4 D． 4 3．已知一元二次方程 2 5 0x x m   的一个根为 1 1x  ，则另一个根 2x 的值为（ ） A．6 B． 4 C．3 D． 2 4．下列运算正确的是（ ） A． 2( 4) 16 B． 3 8 2   C． 3 5 8  D． 2 10 12  5．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． 1 2 B． 7 C． 8 D． 4 6．计算 1 5 5 2   的结果是（ ） A． 2 5 3 B．1 C． 1 D． 2 5 1 2 7．方程    2 3 5 3x x x   的根为（ ） A． 5 2 x  B． 3x  C． 1 5 2 x  ， 2 3x  D． 1 5 2 x   ， 2 3x   8．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放， 竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿比门高长出 2 尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的 长各是多少？设门对角线的长为 x 尺，下列方程符合题意的是（ ） A．    2 2 22 4x x x    B．    2 2 22 4x x x    C．    2 22 2 4x x x    D．    2 222 4x x x    9．若 x y ，化简二次根式 2( )y y x y x y    的结果是（ ） A． y  B． y C． y D． y 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点，…，第 n 行有 n 个点，…，前 n 行的点数和不能是以下哪个结果（ ） A．820 B．600 C．465 D．210 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 11．在函数 2y x  中，自变量 x 的取值范围是 ． 12．关于 x 的方程   22 4 0a x x    是一个一元二次方程，则 a 的取值范围是 ． 13．已知实数 a在数轴上的位置如图所示，则化简： 2 2( 2) ( 4)a a   的结果为 ． 14．已知 2 2 5 2 4 2 x x x x     ，则代数式 25 2 4x x  的值是 ． 3 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：  2 14 2 6 3 3   ． 16．解下列一元二次方程： (1) 2 6 9 0x x   ； (2) 2 2 1 0x x   ． 17．先化简，再求值：    23 3a a a   ，其中 2a  ． 18．已知关于 x 的一元二次方程  2 2 1 1 0mx m x m     ． (1)当 m 取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为 2 ，求 m 的值． 19．阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简： 3 3 2 3 2 22 2 2     ；         2 2 2 3 1 2 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1             ， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简： 1 5 ______； 1 5 1   ______； (2)化简： 8 2 2 2 8 2    ． 4 20．《广州市电动自行车管理规定》自 2024 年 12 月 30 日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时， 驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10 月份售出 150 个，12 月份 售出 216 个． (1)求该品牌头盔 11，12 两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10 元，则每月可卖出 500 个，若在此基础上每个头盔涨 价 1 元，则每月要少卖出 20 个．为使每月销售利润达到 6000 元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头 盔每个应涨价多少元？ 21．阅读材料，解答问题． 解方程：    23 1 9 3 1 20 0x x     ． 解：把3 1x 视为一个整体，设3 1x y  ， 则原方程可化为 2 9 20 0y y   ， 解得 1 5y  ， 2 4y  ， ∴3 1 5x   或 3 1 4x   ， ∴ 1 2x  ， 2 5 3 x  ． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)    22 3 4 2 3 5 0x x     ； (2) 4 2 12 0x x   ． 5 22．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品， 其下落的时间  st 和下落高度  mh 近似满足公式 5 ht  （不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区 26 层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s （结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度 h  m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能 E（单位：J）可用公式 E mgh 计算，其中，m 为物体质量（单位 kg）， 10N/kgg  ，h 为高度（单位：m）．根据以上信息判断， 一个质量为150g的玻璃碎片从 16 层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防 护的行人吗？请说明理由． 23．阅读材料，解答问题： 材料 1：为了解方程  22 213 36 0x x   ，如果我们把 2x 看作一个整体，然后设 2y x= ，则原方程可化为 2 13 36 0y y   ，经过运算，原方程的解为 1,2 2x   ， 3,4 3x   ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做 换元法． 材料 2：已知实数m，n满足 2 1 0m m   ， 2 1 0n n   ，且m n ，显然m，n是方程 2 1 0x x   的两个 不相等的实数根，由韦达定理可知 1m n  ， 1mn   ． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程 4 25 6 0x x   的解为________； (2)间接应用： 已知实数 a，b满足： 4 22 7 1 0a a   ， 4 22 7 1 0b b   且 a b ，求 4 4a b 的值； (3)拓展应用： 已知实数m， n满足： 4 2 1 1 7 m m   ， 2 7n n  且 0n  ，求 24 1 n m  的值． 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．方程的根为（   ） A． B． C．， D．， 8．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 9．若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ）    A．820 B．600 C．465 D．210 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．关于x的方程是一个一元二次方程，则a的取值范围是 ． 13．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 14．已知，则代数式的值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：． 16．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为，求m的值． 19．阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简：______；______； (2)化简：． 20．《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 21．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 22．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和下落高度近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度 m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 23．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为________； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列方程是关于 x的一元二次方程的是（ ） A． 6 9x   B． 1x y  C． 22 3 1 0x x    D． 8 3x x   【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握其定义和表示形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为 2 的整式方程”及表示形式 “  2 0 0ax bx c a    ”进行判定即可求解． 【详解】解：A、 6 9x   ，含有一个未知数，不符合题意； B、 1x y  ，含有两个未知数，不符合题意； C、 22 3 1 0x x    ，是一元二次方程，符合题意； D、方程中 8 x 不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2．化简  22 的结果是（ ） A．2 B． 2 C．4 D． 4 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据 2a a ，进行求解即可． 2 【详解】解：  22 2 2    ； 故选 A． 3．已知一元二次方程 2 5 0x x m   的一个根为 1 1x  ，则另一个根 2x 的值为（ ） A．6 B． 4 C．3 D． 2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 2 0ax bx c   （ , ,a b c为常数且 0a  ） 的两个根分别为 1 2,x x ，则有 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a   ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到 1 2 5x x  ，计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程 2 5 0x x m   的一个根为 1 1x  ， 1 2 5x x   ， 2 4x  故选：B ． 4．下列运算正确的是（ ） A． 2( 4) 16 B． 3 8 2   C． 3 5 8  D． 2 10 12  【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加法，求一个数的立方根，熟知相关计算法则 是解题的关键．根据二次根式的乘法、加法运算法则，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：：A、 2( 4) 4 ，原式计算错误，不符合题意； B、 3 8 2   ，原式计算正确，符合题意； C、 3 与 5 不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、 2 10 20 2 5   ，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． 1 2 B． 7 C． 8 D． 4 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的概念．根据最简二次根式的定义即可得出答案． 3 【详解】解：A． 1 2 2 2  ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． 7 是最简二次根式，故该选项符合题意； C． 8 2 2 ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D． 4 2 ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：B． 6．计算 1 5 5 2   的结果是（ ） A． 2 5 3 B．1 C． 1 D． 2 5 1 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据绝对值的性质和二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： 1 5 5 2 5 1 5 2 2 5 3         ， 故选：A． 7．方程    2 3 5 3x x x   的根为（ ） A． 5 2 x  B． 3x  C． 1 5 2 x  ， 2 3x  D． 1 5 2 x   ， 2 3x   【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程右边的项移到左边，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：    2 3 5 3x x x   ， 移项，得    2 3 5 3 0x x x    ， 因式分解，得   2 5 3 0x x   ， ∴2 5 0x   ， 3 0x   ， 解得 1 5 2 x  ， 2 3x  ． 故选：C 8．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放， 竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿比门高长出 2 尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的 4 长各是多少？设门对角线的长为 x 尺，下列方程符合题意的是（ ） A．    2 2 22 4x x x    B．    2 2 22 4x x x    C．    2 22 2 4x x x    D．    2 222 4x x x    【答案】B 【点睛】此题考查一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理． 设竿的长度为 x 尺，则门高为 ( 2)x  尺，门宽为 ( 4)x  尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竿的长度为 x 尺，则门高为 ( 2)x  尺，门宽为 ( 4)x  尺，门对角线长为 x 尺． 根据勾股定理得 2 2 2( 2) ( 4)x x x    ． 故选 B． 9．若 x y ，化简二次根式 2( )y y x y x y    的结果是（ ） A． y  B． y C． y D． y 【答案】B 【分析】由二次根式有意义，得到 0y  ，由已知条件得到 0y x  ，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 【详解】解：∵ x y ， ∴ 0y x  ， ∵ 2( )y x y   有意义，( ) 2 0y x- ³ ， ∴ 0y  ， ∴ 2( ) y yy y x x y y y x y y x y y y y                 ， 故选：B． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点，…，第 n 行有 n 个点，…，前 n 行的点数和不能是以下哪个结果（ ） 5 A．820 B．600 C．465 D．210 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方方程的应用，先求出前 n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为 820、600、465、210 时 n的值，判断即可得解． 【详解】解：由题意可得：前 n行的点数之和为  11 2 3 1 2 n n n     ， 若前 n行的点数之和为820，则  1 1 820 2 n n  ， 解得： 41n   （舍去）或 40n  ，即前40行的点数之和为820，故 A 不符合题意； 若前 n行的点数之和为 600，则  1 1 620 2 n n  ， 解得： 1 4801 2 2 n    ，不是整数，即不存在前 n行的点数之和为 600，故 B 符合题意； 若前 n行的点数之和为 465，则  1 1 465 2 n n  ， 解得： 30n  或 31n   （舍去），即前30行的点数之和为 465，故 C 不符合题意； 若前 n行的点数之和为 210，则  1 1 210 2 n n   ， 解得： 20n  或 20n  （舍去），即前 20 行的点数之和为 210，故 D 不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 11．在函数 2y x  中，自变量 x 的取值范围是 ． 【答案】 2x  【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．根据被开方 数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得2 0x  ， 解得 2x  ， 6 故答案为： 2x  ． 12．关于 x 的方程   22 4 0a x x    是一个一元二次方程，则 a 的取值范围是 ． 【答案】 2a  【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：  2 0 0ax bx c a    得到 2 0a   即可求解． 【详解】解：∵关于 x的方程   22 4 0a x x    是一元二次方程， ∴ 2 0a   ，解得 2a  ， 故答案为： 2a  ． 13．已知实数 a在数轴上的位置如图所示，则化简： 2 2( 2) ( 4)a a   的结果为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查数轴上的数的大小，二次根式的化简；根据数轴得出 2 4a  ，根据二次根式的性质，化 简即可得． 【详解】解：由数轴可得2 4a  ， ∴ 2 2( 2) ( 4) 2 4 2 4 2a a a a a a            ， 故答案为： 2 ． 14．已知 2 2 5 2 4 2 x x x x     ，则代数式 25 2 4x x  的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了换元法、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程．首先设 2 2y x x  ，利用换元法 可得： 2 4 5 0y y   ，解一元二次方程可得 2 2 5x x   或 2 2 1x x  ，利用一元二次方程根的判别式可知 2 2 5x x   不成立，把 2 2 1x x  整体代入代数式 25 2 4x x  计算即可． 【详解】解： 2 2 5 2 4 2 x x x x      ， 2 2 5 4 2 2 x x x x      ， 设 2 2y x x  ， 则有 5 4 y y   7 整理得： 2 4 5 0y y   ， 分解因式得：   5 1 0y y   ， 5 0y   或 1 0y   ， 2 2 5x x    或 2 2 1x x  ， 一元二次方程 2 2 5 0x x   中， 2 24 2 4 1 5 16 0b ac          ， 一元二次方程 2 2 5 0x x   无解， 2 2 5x x    不成立，舍去， 当 2 2 1x x  时，  2 25 2 4 5 2 2 5 2 1 3x x x x         ． 故答案为：3 ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：  2 14 2 6 3 3   ． 【答案】 4 + 3 【分析】本题涉及二次根式的运算，包括二次根式的乘方、乘法以及化简，正确计算是解题关键． 利用运算法则先分别计算各项，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 34 + 2 3 3 3    4 +2 3 3  4 + 3 ． 16．解下列一元二次方程： (1) 2 6 9 0x x   ； (2) 2 2 1 0x x   ． 【答案】(1) 1 2 3x x  (2) 1 2 1x   ， 2 2 1x    【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可求解； 8 （2）先移项得 2 2 1x x  ，再配方得  21 2x   ，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：  23 0x   ， ∴ 3 0x   ， 解得： 1 2 3x x  ； （2）解： 2 2 1x x  ， ∴ 2 2 1 2x x   ， ∴  21 2x   ， ∴ 1 2x    ， ∴ 1 21 2, 1 2x x    ． 17．先化简，再求值：    23 3a a a   ，其中 2a  ． 【答案】3 3 3a  ，3 6 3 【分析】题主要考查二次根式的化简及求值的知识，先运到平方差公式和单项式乘以多项式运算，然后合 并同类项，再代入数值计算是解题的关键． 【详解】解：    23 3a a a   2 22 3 3 3a a a a     3 3 3a  ， 当 2a  时，原式 3 3 2 3 3 6 3     ． 18．已知关于 x 的一元二次方程  2 2 1 1 0mx m x m     ． (1)当 m 取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为 2 ，求 m 的值． 【答案】(1) 1 8 m   且 0m  (2) 1 3 m  【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解 题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； 9 （ 2 ）利用根与系数的关系 1 2 cx x a  ，解方程即可解题． 【详解】（1）解：关于 x 的一元二次方程  2 2 1 1 0mx m x m     总有两个实数根，    22 1 4 1 0m m m         且 0m  ， 1 8 m   且 0m  . （2）解：设原方程  2 2 1 1 0mx m x m     的两个实数根分别为 1x 和 2x ， 由题意，得 1 2 2x x   ， 根据一元二次方程的根与系数的关系，得 1 2 1c mx x a m     ， 1 2m m     ， 解得 1 3 m  ． 经检验， 1 3 m  是方程的解． 19．阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简： 3 3 2 3 2 22 2 2     ；         2 2 2 3 1 2 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1             ， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简： 1 5 ______； 1 5 1   ______； (2)化简： 8 2 2 2 8 2    ． 【答案】(1) 5 5 ； 5 1 4  (2) 2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘 除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰 当的解题途径，往往能事半功倍． （1）根据分母有理化的方法，进行解答即可； （2）根据分母有理化的方法进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 1 5 5 55 5 5    ， 10    1 5 1 5 1 45 1 5 1 5 1        ； （2）解： 8 2 2 2 8 2          2 8 22 2 2 2 8 2 8 2         2 2 2 2 2 1 4       4 2 1 2 1 4      2 1 2 1    2  ． 20．《广州市电动自行车管理规定》自 2024 年 12 月 30 日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时， 驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10 月份售出 150 个，12 月份 售出 216 个． (1)求该品牌头盔 11，12 两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10 元，则每月可卖出 500 个，若在此基础上每个头盔涨 价 1 元，则每月要少卖出 20 个．为使每月销售利润达到 6000 元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头 盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) 20% (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 x，根据该品牌头盔 10 月份及 12 月份的月销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔每个涨价 y元，则每个盈利 (10 )y 元，每月可售出 (500 20 )y 个，根据总利润=每个的利 润月销售数量，即可得出关于 y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 x， 依题意，得： 2150(1 ) 216x  ， 解得： 1 20.2 20% 2.2x x   ， （不合题意，舍去）． 11 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%； （2）设该品牌头盔每个涨价 y 元，则每个盈利 (10 )y 元，每月可售出  500 20y 个， 依题意，得： (10 )(500 20 ) 6000y y   ， 整理，得： 2 15 50 0y y   ， 解得： 1 25, 10y y  ． 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 5y  ． 答：该品牌头盔每个应涨价 5 元． 21．阅读材料，解答问题． 解方程：    23 1 9 3 1 20 0x x     ． 解：把3 1x 视为一个整体，设3 1x y  ， 则原方程可化为 2 9 20 0y y   ， 解得 1 5y  ， 2 4y  ， ∴3 1 5x   或 3 1 4x   ， ∴ 1 2x  ， 2 5 3 x  ． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)    22 3 4 2 3 5 0x x     ； (2) 4 2 12 0x x   ． 【答案】(1) 1 1x   ， 2 2x  (2) 1 2x   ， 2 2x  【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设 2 3x y  ，把原方程化为 2 4 5 0y y   ，然后求解； （2）设 2x y ，把原方程化为 2 12 0y y   ，然后求解． 【详解】（1）设 2 3x y  ，则原方程可化为 2 4 5 0y y   ， 12 解得 1 5y   ， 2 1y  ， ∴ 2 3 5x    或2 3 1x   ， ∴ 1 1x   ， 2 2x  ； （2）设 2x y ，则原方程可化为 2 12 0y y   ， 解得 1 4y  ， 2 3y  （舍）， ∴ 2 4x  ， ∴ 1 2x   ， 2 2x  ． 22．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品， 其下落的时间  st 和下落高度  mh 近似满足公式 5 ht  （不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区 26 层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s （结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度 h  m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能 E（单位：J）可用公式 E mgh 计算，其中，m 为物体质量（单位 kg ）， 10N/kgg  ，h 为高度（单位：m）．根据以上信息判断， 一个质量为150g 的玻璃碎片从 16 层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防 护的行人吗？请说明理由． 【答案】(1) 15 (2)80 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的应用： （1）先计算高度得到 75h  ，然后把 h 的值代入公式 5 ht  得到 t 的值； （2）把 4t  代入公式 5 ht  ，然后求出 h 的值即可； （3）先计算高度得到 48h  ，再利用公式 E mgh 计算出150g 的玻璃碎片从 16 层楼下落到地面上产生的动 能 E 为67.5J ，然后利用67.5J 65J 可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【详解】（1）解：  26 1 3 75m   ， 当 75h  时， 75 15 5 t   ， 13 即该物品落地的时间为 15； 故答案为： 15 ； （2）当 4t  时， 4 5 h  ， 解得： 80mh  ； 故答案为：80； （3）能． 理由如下：  16 1 3 45   ， 当 45, 150g 0.15kg, 10N/kgh m g    时，  0.15 10 45 67.5 JE     ， ∵67.5J 65J ， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 23．阅读材料，解答问题： 材料 1：为了解方程  22 213 36 0x x   ，如果我们把 2x 看作一个整体，然后设 2y x= ，则原方程可化为 2 13 36 0y y   ，经过运算，原方程的解为 1,2 2x   ， 3,4 3x   ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做 换元法． 材料 2：已知实数m，n满足 2 1 0m m   ， 2 1 0n n   ，且m n ，显然m，n是方程 2 1 0x x   的两个 不相等的实数根，由韦达定理可知 1m n  ， 1mn   ． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程 4 25 6 0x x   的解为________； (2)间接应用： 已知实数 a，b满足： 4 22 7 1 0a a   ， 4 22 7 1 0b b   且 a b ，求 4 4a b 的值； (3)拓展应用： 已知实数m， n满足： 4 2 1 1 7 m m   ， 2 7n n  且 0n  ，求 24 1 n m  的值． 【答案】(1) 1 2x  ， 2 2x   ， 3 3x  ， 4 3x   (2) 45 4 或 45 7 41 4  14 (3)15 【分析】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关 键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）利用换元法降次解决问题； （2）分 2 2a b 和  2 2a b a b   两种情况，模仿例题解决问题即可； （3）令 2 1 a m  ， n b  ，则原方程可以转化为 2 7 0a a   ， 2 7 0b b   ，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令 2y x= ，则有 2 5 6 0y y   ， ∴ ( 2)( 3) 0y y   ， ∴ 1 2y  ， 2 3y  ， ∴ 2 2x  或 2 3x  ， ∴ 1 2x  ， 2 2x   ， 3 3x  ， 4 3x   ， 故答案为： 1 2x  ， 2 2x   ， 3 3x  ， 4 3x   ； （2）解：∵ a b ， ∴ 2 2a b 或  2 2a b a b   ①当 2 2a b 时，令 2a m ， 2b n ， ∴m n 则 22 7 1 0m m   ， 22 7 1 0n n   ， ∴m， n是方程 22 7 1 0x x   的两个不相等的实数根， ∴ 7 2 1 2 m n mn        ， 此时  24 4 2 2 452 4 a b m n m n mn       ； ②当  2 2a b a b   时， 2 2 7 41 4 a b   ， 此时   2 24 4 4 2 7 41 45 7 412 2 2 4 4 a b a a             ； 综上： 4 4 45 4 a b  或 45 7 41 4  （3）解：令 2 1 a m  ， n b  ，则 2 7 0a a   ， 2 7 0b b   ， 15 ∵ 0n  ， ∴ 2 1 n m   即 a b ， ∴ a，b是方程 2 7 0x x   的两个不相等的实数根， ∴ 1 7 a b ab       ， 故  22 2 24 1 2 15n a b a b ab m        ． 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握其定义和表示形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”及表示形式“”进行判定即可求解． 【详解】解：A、，含有一个未知数，不符合题意； B、，含有两个未知数，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、方程中不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2．化简的结果是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 3．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程（为常数且）的两个根分别为，则有，． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， 故选：B ． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加法，求一个数的立方根，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法、加法运算法则，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的概念．根据最简二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．是最简二次根式，故该选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：B． 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据绝对值的性质和二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．方程的根为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程右边的项移到左边，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，． 故选：C 8．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【点睛】此题考查一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理． 设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，门对角线长为x尺． 根据勾股定理得． 故选B． 9．若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义，得到，由已知条件得到，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∵有意义，， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ）    A．820 B．600 C．465 D．210 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方方程的应用，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为、600、465、210时的值，判断即可得解． 【详解】解：由题意可得：前行的点数之和为， 若前行的点数之和为，则， 解得：（舍去）或，即前行的点数之和为，故A不符合题意； 若前行的点数之和为600，则， 解得：，不是整数，即不存在前行的点数之和为600，故B符合题意； 若前行的点数之和为465，则， 解得：或（舍去），即前行的点数之和为465，故C不符合题意； 若前行的点数之和为210，则， 解得：或（舍去），即前行的点数之和为210，故D不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：． 12．关于x的方程是一个一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 13．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的数的大小，二次根式的化简；根据数轴得出，根据二次根式的性质，化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 14．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程．首先设，利用换元法可得：，解一元二次方程可得或，利用一元二次方程根的判别式可知不成立，把整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， 设， 则有 整理得：， 分解因式得：， 或， 或， 一元二次方程中，， 一元二次方程无解， 不成立，舍去， 当时， ． 故答案为： ． 三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：． 【答案】 【分析】本题涉及二次根式的运算，包括二次根式的乘方、乘法以及化简，正确计算是解题关键． 利用运算法则先分别计算各项，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）先移项得，再配方得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】题主要考查二次根式的化简及求值的知识，先运到平方差公式和单项式乘以多项式运算，然后合并同类项，再代入数值计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为，求m的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （）利用根与系数的关系，解方程即可解题． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根， 且， 且. （2）解：设原方程的两个实数根分别为和， 由题意，得， 根据一元二次方程的根与系数的关系，得， ， 解得． 经检验，是方程的解． 19．阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简：______；______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）根据分母有理化的方法，进行解答即可； （2）根据分母有理化的方法进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 20．《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔每个涨价元，则每个盈利元，每月可售出个，根据总利润=每个的利润月销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔每个涨价y元，则每个盈利元，每月可售出个， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔每个应涨价5元． 21．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，； （2）设，则原方程可化为， 解得，（舍）， ∴， ∴，． 22．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和下落高度近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度 m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)80 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的应用： （1）先计算高度得到，然后把h的值代入公式得到t的值； （2）把代入公式，然后求出h的值即可； （3）先计算高度得到，再利用公式计算出的玻璃碎片从16层楼下落到地面上产生的动能E为，然后利用可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【详解】（1）解：， 当时，， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当时，， 解得：； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： ， 当时，， ∵， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 23．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为________； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)15 【分析】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）利用换元法降次解决问题； （2）分和两种情况，模仿例题解决问题即可； （3）令，，则原方程可以转化为，，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$