第10章 分式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第十章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在式子中，分式有（   ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列代数式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 4．若分式的和均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原分式值的10倍 C．缩小到原分式值的 D．缩小到原分式值的 5．已知关于的分式方程上有增根，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 6．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（   ） A． B． C． D． 7．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 8．数学课上，老师出示一道题目如下：“甲、乙两名工人加工零件，已知★，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，求乙每小时加工零件的个数．”其中★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是（   ） 解：设乙每小时加工x个零件 由题意得： A．甲每小时比乙多加工2个 B．甲每小时比乙少加工2个 C．甲每小时比乙多加工2倍 D．甲比乙少加工2个小时 9．已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 10．对于有理数、，定义一种新运算“”为．例如．则方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若，则的值为 ． 12．，的最简公分母是 ． 13．如果，那么的值为 ． 14．若分式方程有增根，则 ． 15．已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为千米/时，根据题意列方程为 ． 16．已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 17．对于非零实数、，规定．若，则的值为 ． 18．如果关于x的不等式组的解集为，且使关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的取值之和为 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．解方程： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 22．随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 23．已知三角形的三边分别为a，b，c； (1)化简：； (2)已知，， 当c取最大整数时，求三角形的周长； 关于x的分式方程的解是非负数，求符合条件的所有整数c的和． 24．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 25．甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． (1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； (2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 26．博物院是一座城市重要的公共文化窗口．十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花元请讲解人员进行解说，后来临时增加名同学，总讲解费增加了元，但人均费用变为原来的 (1)求该学习小组的实际参观人数； (2)参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为元和元，若该小组每个参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买多少套“长信宫灯”纪念卡？ 27．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 28．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是解题关键； 根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解． 【详解】解：在分式中，分母为，要使该分式有意义，则分母不能为0，即： 解得． 故选：C． 2．在式子中，分式有（   ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义，分式的表示形式是解题的关键． 根据分式的定义“分式是形如（是整式，中含有字母）的式子”判定即可． 【详解】解：式子中，分式有，共2个， 故选：A ． 3．下列代数式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解决此题的关键，根据分子分母不可再约分的分式是最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：、不是分式，故选项不符合题意； ，不是最简分式，故选项不符合题意； ，不是最简分式，故选项不符合题意； 、是最简分式，故本选项符合题意； 故选：． 4．若分式的和均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原分式值的10倍 C．缩小到原分式值的 D．缩小到原分式值的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的和均扩大为原来各自的10倍，则分式的值缩小到原分式值的， 故选：C． 5．已知关于的分式方程上有增根，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程有增根的计算，理解并掌握增根的概念，解分式方程的方法是解题的关键． 根据题意，解分式方程，再根据增根的概念得到，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， ∴， 解得，， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故选：C ． 6．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减法，考查了跨学科知识点，理解题意，先计算，再利用倒数求．先将分式通分，求出 的值，然后根据倒数的概念求出的值 【详解】， ， 故选：C 7．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 8．数学课上，老师出示一道题目如下：“甲、乙两名工人加工零件，已知★，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，求乙每小时加工零件的个数．”其中★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是（   ） 解：设乙每小时加工x个零件 由题意得： A．甲每小时比乙多加工2个 B．甲每小时比乙少加工2个 C．甲每小时比乙多加工2倍 D．甲比乙少加工2个小时 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用．设乙每小时加工x个零件，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，根据所列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：甲、乙两名工人加工零件，已知甲每小时比乙少加工2个，甲做35个所用的时间与乙做40个所用的时间相同，求乙每小时加工零件的个数． 故选：B 9．已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 10．对于有理数、，定义一种新运算“”为．例如．则方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义化简得： ，即， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分式化简求值，正确将已知变形是解题关键．直接利用已知条件，将原式变形化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴ 故答案为：． 12．，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据公分母的确定方法：系数的最小公倍数，所有字母的最高次幂，进行求解即可． 【详解】解：，的最简公分母是； 故答案为： 13．如果，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：3． 14．若分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 即增根为5， 方程两边同乘得， 化简得， 将代入， ， 故答案为：． 15．已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为千米/时，根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可． 【详解】解：依题意有：， 故答案为：． 16．已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程．首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵原分式方程得解为正数，且， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 17．对于非零实数、，规定．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据新定义的公式列得分式方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 故答案为：． 18．如果关于x的不等式组的解集为，且使关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的取值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数，分别求出不等式组的解集，分式方程的解，根据解集和解的情况求出的取值范围，确定整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解分式方程：得， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， 解得且， 则，且， ∴， 则所有符合条件的整数m的值之和是． 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母把分式方程化为整式方程，通过解整式方程求出分式方程的解，解分式方程一定要注意检验求出的根是否增根． 方程的两边同时乘以，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根； 方程两边同时乘以，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：, 检验：当时， ∴原分式方程的解是； （2）解：， 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入得：， ∴原分式方程的解为． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． 22．随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批小型无人机的单价是元 (2)销售单价至少为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设第一批小型无人机的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设小型无人机销售价格为元，根据题意“小型无人机全部售完后利润不少于元，”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）设第一批小型无人机的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原分式方程的解． 答：第一批小型无人机的单价是元． （2）第一批小型无人机的数量是． 设小型无人机销售价格为元． 根据题意，得． 解得，． 答：销售单价至少为元． 23．已知三角形的三边分别为a，b，c； (1)化简：； (2)已知，， 当c取最大整数时，求三角形的周长； 关于x的分式方程的解是非负数，求符合条件的所有整数c的和． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到，化简绝对值后进行整式的加减法即可； （2）①根据三角形三边关系得到，由c取最大整数得到，即可求出三角形的周长； ②解分式方程得到，由解是非负数．且得到且．结合三角形三边关系得到且．则符合条件的所有整数c为：4或5或6．即可求出答案． 【详解】（1）解：∵三角形的三边分别为a，b，c； ∴， ∴ ； （2）解：①∵，， ∴，即， ∵c取最大整数， ∴， ∴三角形的周长为； ②∵， 解得， ∵解是非负数．且． ∴，且． ∴且． ∵， ∴且． ∴符合条件的所有整数c为：4或5或6． 则； ∴符合条件的所有整数c的和为． 【点睛】此题考查了分式方程的特殊解、三角形的三边关系、整式的加减、绝对值等知识，熟练掌握三角形的三边关系和解分式方程是解题的关键． 24．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，分式的化简，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义的含义是解决此题的关键． (1)根据新定义计算即可得解； (2)将代入得，求证计算结果为2即可； (3)列出等式,再根据分式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：， 分式与互为“5阶分式” 故答案为：5； （2）证明：把代入得， , 与互为“2阶分式”； （3）解：分式与互为”1阶分式”, , , ,即, 又为正数， ， 的值为． 25．甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． (1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； (2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 【答案】(1)甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时 (2)甲每小时至少要拍7张精美照片 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解答本题的关键． （1）设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可； （2）设甲每小时至少要拍张精美照片，根据甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得， ， 解得，， 经检验，则原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时； （2）解：（时），（时）， 设甲每小时至少要拍张精美照片，则乙每小时拍张精美照片，根据题意得， ， 解得，， 答：甲每小时至少要拍7张精美照片． 26．博物院是一座城市重要的公共文化窗口．十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花元请讲解人员进行解说，后来临时增加名同学，总讲解费增加了元，但人均费用变为原来的 (1)求该学习小组的实际参观人数； (2)参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为元和元，若该小组每个参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买多少套“长信宫灯”纪念卡？ 【答案】(1)该学习小组的实际参观人数为人 (2)最多购买套“长信宫灯”纪念卡 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设该学习小组的实际参观人数为人，利用人均费用总费用参观人数，结合增加人数及总费用后人均费用变为原来的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设购买套“长信宫灯”纪念卡，则购买套“错金铜博山炉”纪念卡，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该学习小组的实际参观人数为人， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该学习小组的实际参观人数为人； （2）解：设购买套“长信宫灯”纪念卡，则购买套“错金铜博山炉”纪念卡， 根据题意得： ， 解得：， 的最大值为， 答：最多购买套“长信宫灯”纪念卡． 27．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 28．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$