第10章 分式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第十章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子从左至右变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．若分式的值为0，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 5．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 7．解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 8．关于x的分式方程的解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 9．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．若分式的值为零，则x的值是 ． 13．，则的值为 ． 14．计算的结果是 ． 15．对于实数，，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 16．已知甲、乙两台机器1小时共加工36个零件，甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等，设甲每小时加工个，则根据题意可列方程为： ． 17．已知关于x的方程有增根，那么 ． 18．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．（1）因式分解：； （2）解方程：． 20．先化简：，然后从中选择一个合适的数代入求值． 21．解分式方程： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)． 23．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 24．汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元． 25．为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进、两种机器处理垃圾．其中型机器每天比型机器少处理吨垃圾，且型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同． (1)求、两种机器每天各处理垃圾多少吨？ (2)现有吨垃圾需要处理，若型机器每天维护所需费用为元，型机器每天维护所需费用为元，那么在总维护费用不超过元的情况下，至多安排型机器工作多少天？ 26．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、，若装裱后与的比是，且 ，求a的值． 27．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 28．对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不是最简分式，不符合题意； B、，故B不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故D不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 2．下列式子从左至右变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一进行判断即可． 【详解】A. ∵，∴A选项正确； B. ∵，∴B选项正确； C. ∵，∴C选项不正确； D. ∵条件式中，∴，∴D选项正确． 故选：C． 3．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 4．若分式的值为0，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴． 故选：D． 5．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 7．解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解； 【详解】解：两边同乘后的式子为：， 故选：D 8．关于x的分式方程的解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，可得出方程的解为,经检验，即可得出关于的分式方程无解，正确求解方程是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得：, 解得：, 当时，,不符合题意，舍去， 关于的分式方程无解， 故选：． 9．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 10．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得： ， 解得： ， 故答案为： ． 12．若分式的值为零，则x的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子为零，且分母不等于零，据此列式解答． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为． 13．，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查分式的化简求值、完全平方公式的运用，已知等式两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键．先将化为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 即， ∴， 故答案为：7． 14．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．对于实数，，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 16．已知甲、乙两台机器1小时共加工36个零件，甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等，设甲每小时加工个，则根据题意可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 17．已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 18．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有个整数解确定的值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 关于的分式方程的解为整数， 为整数，且， ， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式的解集为， 又该不等式组有解且至多有个整数解， ， ， 综上所述，符合条件的整数的值为，，，， 符合条件的整数积是． 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．（1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，解分式方程，熟练掌握因式分解的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先将分式方程变形，然后方程两边同乘，化为整式方程求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 20．先化简：，然后从中选择一个合适的数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，，， ∴， ∴原式． 21．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解后，验根即可得到答案． （1）先去分母，再去括号，合并同类项，移项即可得到答案，注意分式方程需要验根； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1即可得到答案，注意分式方程需要验根． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先通分，再计算同分母分式减法； （2）先通分，再计算同分母分式加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）分式方程化为整式方程，由整式方程有增根的含义求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 该分式方程有增根， ，即， ，解得， 当时，该分式方程有增根． 24．汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元． 【答案】4元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设该商店第一次购进香包的单价是x元，根据“第二次购进的数量比第一次少了30个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该商店第一次购进香包的单价是x元，则第二次购进香包的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：该商店第一次购进香包的单价是4元． 25．为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进、两种机器处理垃圾．其中型机器每天比型机器少处理吨垃圾，且型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同． (1)求、两种机器每天各处理垃圾多少吨？ (2)现有吨垃圾需要处理，若型机器每天维护所需费用为元，型机器每天维护所需费用为元，那么在总维护费用不超过元的情况下，至多安排型机器工作多少天？ 【答案】(1)型机器人每天处理的重量为吨，型机器人每天处理的重量为吨． (2)至多安排型机器工作天． 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设型机器人每天处理的重量为吨，则型机器人每天处理的重量为吨，根据型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设型机器人工作天，由题意列出不等式组，为整数，求出的最小值，进而即可得解． 【详解】（1）解：设型机器人每天处理的重量为吨，则型机器人每天处理的重量为吨，由题意列方程为： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则， ∴型机器人每天处理的重量为吨，型机器人每天处理的重量为吨． （2）解：设型机器人工作天，型机器人工作天， 由题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴最小为， 将代入中，解得工作天数约为，总费用为：，符合题意， ∴至多安排型机器工作天． 26．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、，若装裱后与的比是，且 ，求a的值． 【答案】a的值为 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴a的值为． 27．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据“甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天”列分式方程求解即可； （2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 28．对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值． （1）可以化为，根据题意即可求解； （2）根据，分别是方程的两个解得到 代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据题意求出方程的解，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为，； 故答案为：，； （2）∵，分别是方程的两个解， ∴ ∴ （3）解：由题意得可化为， 设，方程可化为， 易知k和是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$