精品解析：山东省菏泽市郓城县实验中学2024-2025学年高三下学期一模适应性测试数学试题

高三年级一模适应性测试（数学试卷） 一 单选题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 若 为纯虚数，，则（ ） A. 3 B. 4 C. -3 D. -4 3. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论： ①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称； ②点为图象的一个对称中心； ③； ④在区间上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知为等差数列的前 项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上， 垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二 多选题 9. 若正实数 ，满足，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 第项的二项式系数最大 C. 第 项的系数最大 D. 所有项的系数和为 11. 设椭圆的左､右焦点分别为是 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为8 B. 椭圆 的离心率 C. 面积的最大值等于12 D. 以线段为直径的圆与圆相切 三 填空题 12. 已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为___________. 13. 已知直线与曲线相切，则实数 的值为_______． 14. 已知 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，过 的直线交 于A，B两点，A，B中点 在 轴上方且其横坐标为1，，则直线 的斜率为______. 四 解答题 15. 设公差不为的等差数列的首项为 ，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列为正项数列，且，设数列的前 项和为，求证：. 16. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：. （2）求的取值范围. 17. 已知函数（其中），. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求 的取值范围. 18. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 A 30 15 B x y 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35． （1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？ （2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系． （3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望． 附：，， 0．05 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 19. 已知四棱柱中，平面，在底面四边形 中，，点 是 的中点. （1）若平面平面，求三棱锥的体积； （2）设且，若直线 与平面所成角等于，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级一模适应性测试（数学试卷） 一 单选题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及对数不等式的解法可得集合，然后根据交集的运算可得结果. 【详解】由，则 由，则 故 故选：D 2. 若 为纯虚数，，则（ ） A. 3 B. 4 C. -3 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数 即可. 【详解】因为 为纯虚数，所以，解得. 故选：A. 3. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积. 【详解】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则， 底面周长为，则，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，将化简即可求得结果. 【详解】由题可知 将代入上式计算可得. 故选：C 5. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论： ①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称； ②点为图象的一个对称中心； ③； ④在区间上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的性质列式得出的解析式，再由其性质与图象变换对结论逐一判断， 【详解】由题意得，且，，解得，， 对于①，的图象向右平移个单位长度后得，显然不是奇函数，故①错误， 对于②，，故点为图象的一个对称中心，故②正确， 对于③，，故③错误， 对于④，当时，，故在区间上单调递增，故④正确， 故选：C 6. 已知为等差数列的前 项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的公差为 ，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为 ，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上， 垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设直线 交 于点 ，则可得，从而可得点 的纵坐标为2，则可求出 的横坐标，然后利用抛物线的定义可求得结果. 【详解】由，得抛物线的焦点为，准线 为直线， 设直线 交 于点 ，则 为的中点， 因为∥，， 所以， 因为 垂直l于点Q， 所以点 的纵坐标为2， 当时，，得 ， 所以点 的横坐标与F相同， 所以， 故选：B 8. 已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出 的值，再根据奇偶性求出函数的周期，最后利用函数的周期进行代入求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 因此当时，，. 因为是偶函数，所以，而为奇函数， 所以， 因此有， 因此有，所以， 因此的周期为 ， ， 故选：A 二 多选题 9. 若正实数 ，满足，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，利用对数的性质即可判断选项A，利用指数函数与幂函数的性质即可判断选项B；利用，平方后可得大小，即可判断选项C；利用基本不等式即可判断选项D． 【详解】解：因为正实数 ，满足，且 ，所以，， 所以， 则，故A正确； 由指数函数的性质可得，由幂函数的性质可得， 所以，故B正确； 因为，且 ，所以，所以， 则，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 第 项的二项式系数最大 C. 第 项的系数最大 D. 所有项的系数和为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求的通项公式可得选项A,C的正误，利用 的值可得选项B的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解. 【详解】展开式的通项为， 由，得，所以常数项为，A错误； 展开式共有 项，所以第 项二项式系数最大，B正确； 由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由，可知第 项的系数最大，C正确； 令 ，得，所有项的系数和为 ，D错误； 故选：BC. 11. 设椭圆的左､右焦点分别为是 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为8 B. 椭圆 的离心率 C. 面积的最大值等于12 D. 以线段为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 对于A，的最大值为，A正确； 对于B，椭圆 的离心率，B错误； 对于C，设点，则，而， 因此面积的最大值等于，C正确； 对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径， 圆的圆心，半径，，则圆 与圆 外切，D正确. 故选：ACD 三 填空题 12. 已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 13. 已知直线与曲线相切，则实数 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可； 【详解】∵，∴，设切点为，则，解得． 故答案为: . 14. 已知 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，过 的直线交 于A，B两点，A，B中点 在 轴上方且其横坐标为1，，则直线 的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线 的方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标即可求解. 【详解】由题意可知：直线 的斜率存在且大于零， 则设直线 的方程为：，， 联立方程组，整理可得：， 则， ，又因为A，B中点 的横坐标为1， 所以，则， 由弦长公式可得：， 又因为，则有， 化简整理可得：，即，解得：， 因为，所以， 故答案为：. 四 解答题 15. 设公差不为 的等差数列的首项为 ，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列为正项数列，且，设数列的前 项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为 ，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出 ，即可求出通项公式； （2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 ，则， ，，成等比数列， 则，即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； 【小问2详解】 略 16. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求证：. （2）求的取值范围. 【答案】（1） 在 中， 由及正弦定理得： 又∵， ∴ 即 ， ∵，∴. ∵，∴， （2） 【解析】 【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明； (2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 得：得， ∴，∴， 由题意，及正弦定理得： ∵，∴，即 故的取值范围为 方法二：由正弦定理得： ∵，∴， 由（1）得：，故 由（1）得：得， ∴，∴， ∴，即， 故的取值范围为 17. 已知函数（其中），. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，二次求导得到单调性和最小值，求出，得到答案. 【小问1详解】 时，，， ，故， 故函数在点的切线方程为，即 【小问2详解】 时，恒成立， 故， 令，定义域为， 则，令， 则在恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 所以， 的取值范围是. 18. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 A 30 15 B x y 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35． （1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？ （2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系． （3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望． 附：，， 0．05 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 【答案】（1）从A地抽取6人，从B地抽取7人. （2）没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系. （3）X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望为2. 【解析】 【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果. （2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可. （3）由题意知，进而根据二项分布求解即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）． 【小问2详解】 完成表格如下： 非常喜欢 喜欢 合计 A 30 15 45 B 35 20 55 合计 65 35 100 零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关. ， 所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系． 【小问3详解】 从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为， 从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 方法1：． 方法2：. 19. 已知四棱柱中，平面，在底面四边形 中，，点 是 的中点. （1）若平面平面，求三棱锥的体积； （2）设且，若直线 与平面所成角等于，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）过 作于点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得，再在底面四边形中进行相关计算即可得解. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解即得. 【小问1详解】 过 作于点，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 在四棱柱中，平面 ，即平面 ，而平面 ， 于是，又平面，则平面， 又平面，则， 在底面四边形 中，，即， 又，则，即，且， 又有，则在等腰直角 中，，即，又，则， ，又，所以. 【小问2详解】 由四棱柱中，平面， 以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，则，， ， 在平面中，， 设平面的一个法向量为，则，令 ，得， 则， 即，整理得，而解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $