6.2 函数的极值同步练习-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6.2　函数的极值 A组 基础巩固 1.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)(　　). (第1题) A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 2.(多选题) 函数y=f(x)的导数y'=f'(x)的图象如图所示,下列结论中正确的有(　　). (第2题) A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是f(x)的极小值点 3.若函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)上有极值,则实数b的取值范围是(　　). A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.-∞, 4.已知奇函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,且a≠0)在x=处取得极值,则ac+2b的值为(　　). A.3 B.-3 C.0 D.1 5.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(　　). A.a<-1 B.a>-1 C.a<- D.a>- 6.已知函数f(x)=sin x(1+cos x)(0<x<π),则当x=　　　　　时,f(x)取得极大值,其极大值是　　　　　.  7.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是　　　　　.  8.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既存在极大值,又存在极小值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增. (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的极值. B组 能力提升 1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)为偶函数,且在区间(0,1)上存在极大值,则f'(x)的图象可能为(　　). 2.已知函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)(　　). A.在区间,(1,e)上均有零点 B.在区间,(1,e)上均无零点 C.在区间上有零点,在区间(1,e)上无零点 D.在区间上无零点,在区间(1,e)上有零点 3.已知当函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时x的值分别为0和,则(　　). A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 4.若函数y=f(x)存在n-1(n∈N+)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为(　　). A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数 D.5折函数 5.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1, (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为6,则实数a=　　　　　;  (2)若函数f(x)在区间(-1,3)上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　. 6.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导数),给出下列结论: (第6题) ①函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增; ②函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增; ③函数f(x)在x=-处取得极大值; ④函数f(x)在x=1处取得极小值. 其中正确的是　　　　　.(填序号)  7.设函数f(x)=x3-2x2+ax(a∈R)在其图象上一点A(2,f(2))处的切线的斜率为-1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间(b-1,b)上的极值. 参考答案 A组 基础巩固 1.答案:C 解析:设y=f'(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值. 2.答案:BC 解析:根据题图知,在区间(-1,2)和(4,+∞)上,f'(x)>0,函数单调递增; 在区间(-3,-1)和(2,4)上,f'(x)<0,函数单调递减,故A错误,C正确; 当x=-1时,f(x)取得极小值,故x=-1是f(x)的极小值点,故B正确; 当x=2时,f(x)取得极大值,故x=2不是f(x)的极小值点,故D错误. 3.答案:A 解析:f'(x)=3x2-3b. ∵函数f(x)在区间(0,1)上有极值, ∴f'(0)·f'(1)<0,即-3b·(3-3b)<0. ∴0<b<1. 4.答案　B 解析　∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴b=0,∴f'(x)=3ax2+c. ∵f(x)在x=处取得极值, ∴f'+c=0, ∴ac=-3,∴ac+2b=-3. 5.答案:A 解析:由题意知方程y'=ex+a=0有大于0的实根, 则a<0,ex=-a,从而x=ln(-a). ∵x>0,∴ln(-a)>0, ∴-a>1,∴a<-1. 6.答案: 解析:f'(x)=(2cos x-1)(cos x+1). 令f'(x)=0,得cos x=或cos x=-1. 又0<x<π,所以x=. 当x在区间(0,π)上变化时,f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表: x 0, ,π f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 故当x=时,f(x)有极大值. 7.答案:(-1,1) 解析　由已知得f'(x)=3x2-3a. 令f'(x)=0,解方程,得x=±. 由函数f(x)的单调性得,函数f(x)在x=-处取得极大值,在x=处取得极小值. 所以f(-)=6,f()=2, 即(-)3+3a+b=6,()3-3a+b=2, 解得a=1,b=4. 代入检验,知符合题意. 所以f'(x)=3x2-3. 令f'(x)<0,解得-1<x<1, 所以函数f(x)的单调递减区间是(-1,1). 8.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2). 要使函数f(x)满足题意,需方程f'(x)=0有两个不同的实根,即Δ=(6a)2-36(a+2)>0,解得a>2或a<-1. 9.解:(1)由函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,可知当x=1时函数f(x)取得极小值,∴f'(1)=0. ∵f'(x)=-x3+2x2+2ax-2, ∴f'(1)=-1+2+2a-2=0,解得a=. (2)由(1)知f(x)=-x4+x3+x2-2x-2, ∴f'(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2). 令f'(x)=0,解方程,得x1=-1,x2=1,x3=2. 根据x1,x2,x3列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴函数f(x)有极大值f(-1)=-,f(2)=-,极小值f(1)=-. B组 能力提升 1.答案:C 解析:∵f(x)是偶函数,∴f'(x)是奇函数. 函数f(x)在区间(0,1)上存在极大值,设极大值点为x=x0,即在区间(0,x0)上,f'(x)>0,在区间(x0,1)上,f'(x)<0,故选C. 2.答案:D 解析:f'(x)=. 令f'(x)=0,得x=3;令f'(x)>0,得x>3;令f'(x)<0,得0<x<3,故函数f(x)在区间(0,3)上单调递减.又f+1>0,f(1)=>0,f(e)=-1<0,所以D选项内容正确. 3.答案:D 解析:y'=3ax2+2bx,由题意知0和是方程3ax2+2bx=0的两根, 所以0+=-,所以a=-2b,即a+2b=0. 4.答案:C 解析:f'(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)(ex-3x-2),令f'(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.易知x=-2是f(x)的一个极值点.又ex=3x+2,结合函数图象(图象略),曲线y=ex与直线y=3x+2有两个交点.又e-2≠3×(-2)+2=-4,所以函数y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数. 5.答案:(1)-1　(2)-,-3 解析:(1)f'(x)=3x2+2ax+a+6,则f'(1)=3+2a+a+6=3a+9,由题意知,3a+9=6,解得a=-1. (2)∵函数f(x)在区间(-1,3)上既有极大值又有极小值,∴方程f'(x)=3x2+2ax+a+6=0在区间(-1,3)上有两个不同的实数根. ∴解得-<a<-3. 6.答案:①④ 解析:对于①,由题图知,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,故f'(x)>0, 所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故①正确; 对于②,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,故f'(x)<0; 当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,故f'(x)<0. 所以当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-1,0),(0,1)上单调递减,故②错误; 对于③,由②知f(x)在区间(-1,0)上单调递减, 所以x=-不是极值点,故③错误; 对于④,f'(1)=0,且函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正确. 故填①④. 7.解:(1)函数f(x)的导数f'(x)=x2-4x+a,由题意得f'(2)=-4+a=-1,所以a=3,故f(x)=x3-2x2+3x. (2)由(1)知f'(x)=x2-4x+3. 令f'(x)=x2-4x+3=0,解方程,得x1=1,x2=3. 根据x1,x2列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表: x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值0 ↗ 所以当b≤1或b-1≥3时,函数f(x)无极值; 当b-1<1,且b>1时,函数f(x)在x=1处取得极大值,此时函数无极小值; 当b-1<3,且b>3时,函数f(x)在x=3处取得极小值0,此时函数无极大值; 当b-1≥1,且b≤3时,函数f(x)无极值. 故当b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+∞)时,函数f(x)无极值; 当b∈(1,2)时,函数f(x)在x=1处取得极大值,此时函数无极小值; 当b∈(3,4)时,函数f(x)在x=3处取得极小值0,此时函数无极大值. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$