微专题5.4 函数的极值7种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-4 函数的极值7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 函数极值辨析 题型2 知图判断函数极值 题型3 求函数的极值与极值点 题型4 根据极值、极值点求参数的值 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 题型6 含参数的函数极值的讨论 题型7 由极值点满足条件求解不等式问题 知识点1 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点2 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 解题策略1 函数极值点的个数问题 可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点处是不可导的. 解题策略2 由函数极值点个数确定参数范围 此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解. 解题策略3 含参数的函数极值的讨论 求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论. 解题策略4 由极值点满足条件求解不等式问题 此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解. 题型1 函数极值辨析 【例1】“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用导数的四则运算与函数极值点的定义，举反例说明即可得解. 【详解】当时，，则在处导数为0，但0不是它的极值点； 当时，则在处导数不存在，但0是它的极值点； 因此题干两条件是既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式1】函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 题型2 知图判断函数极值 【例2】函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的序号是________． 【答案】③⑤ 【解析】对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误； 对于②，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误； 对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确； 对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误； 对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确． 【变式1】【多选】已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 【答案】BD 【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系即可解决. 【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误； 对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确； 对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点， 是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误； 对于D项，，故D正确. 故选：BD. 【变式2】函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　) A．在(1,2)上函数f(x)单调递增 B．在(3,4)上函数f(x)单调递减 C．在(1,3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 【解析】根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D 【变式3】【多选】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【分析】根据的图象，得到的单调性和极值情况，得到答案. 【详解】根据的图象，可得 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， AC选项，在和1处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点， A错误，C正确； B选项，为函数的极大值，B正确； D选项，不为函数的极小值，D错误. 故选：BC 题型3 求函数的极值与极值点 【例3】已知函数，那么的极大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导可得，再令求极值点，讨论单调性即可求出的极大值. 【详解】函数为，令可得当时，； 当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故选：A. 【变式1】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在处得到极大值 B．在处得到极大值 C．在处得到极小值 D．在处得到极小值 【答案】C 【分析】利用导数求函数极值即可. 【详解】由，且， 所以时，递减，时，递增， 所以在处得到极小值. 故选：C 【变式2】已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为 所以， 令，则，解得或（舍）， x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当时，的取得极小值为. 故选：D. 【变式3】已知，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 则当时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时函数有极大值，无极小值. 故选：C 【变式4】已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 【解析】（1）由， 因为，所以的定义域为，则， 因为时，；时，. 所以的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以是的极大值点，的极大值是，无极小值. （2）由（1）可得， 要使得集合有且只有一个元素，则只需要 设，则， 因为时，；时，， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为. 所以，所以关于的方程有解时， 只能是，所以集合有且只有一个元素时. 题型4 根据极值、极值点求参数的值 【例4】若的一个极值点是，则的极大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可的可求出的值，代入，对求导得出的单调性，即可求出的极大值. 【详解】， 因为是的极值点，所以 则，令，解得或， 则当或时，，单减，当时，，单增， 故的极大值为. 故选：C． 【变式1】已知函数和有相同的极大值，则（    ） A．2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】利用导数法求得和的极大值，然后根据与有相同的极大值建立方程求解即可. 【详解】，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 又，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 依据题意，和有相同的极大值， 故，所以，所以. 故选：B. 【变式2】已知函数在时有极大值，则的极大值为（    ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或-32 【答案】B 【分析】求导，根据函数的单调性求解. 【详解】 ， ，即 在 和 处取得极值， 由题意： 时为极大值， ， ， 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 在 处取得极大值， ，的极大值 ； 故选：B. 【变式3】已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 【答案】B 【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解. 【详解】由，得， 因为时，取得极值0， 所以，解得或， 当时，， 此时函数在在处取不到极值； 经检验时，函数在处取得极值0，满足题意； 所以，所以. 故选：B. 【变式4】已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解． 【详解】解：，则， 要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值， 只需方程在有两个不相等实根． 即，令，则． 当，， 当，， 在递增，在递减，当，， ， 其图象如下： ，． 故选：D． 【变式5】若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 【变式6】已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据极值的定义，结合充分不必要条件的性质进行判断即可. 【详解】， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值， 只需，显然四个选项中，只有能推出， 但是推不出， 故选：A 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 【例5】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知函数的导数， 令，得，即． 设，则， 当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以． 故选：A 【变式1】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围. 【详解】∵有两个不同的极值点， ∴在有2个不同的零点， ∴在有2个不同的零点， ∴，解得． 故选：D. 【变式2】若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，利用函数恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a的取值范围. 【详解】因为，所以， 由函数恰好有两个极值，得有两个不相等的零点， 故方程有两个不相等的实根， 则，且，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式3】若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 【解析】∵f′(x)＝3x2＋2x－a， 函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－. ∴应满足∴ ∴1≤a<5. 【变式4】已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 【解析】f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以 解得m>3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 【变式5】已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】.因为在上有3个不同的极值点， 所以在上有3个不同的实根， 所以在上有2个不同的实根（且不等于1）. 由，得.令，则， 显然函数在单调递减，在单调递增. 又，因为，所以.故答案为： 题型6 含参数的函数极值的讨论 【例6】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的极值. 【解析】（1）， 当时，，，又， 故曲线在处的切线方程为，即. （2），解得，， ①若，可得或时，，当时，， 所以在，递减，递增， 所以的极小值为，的极大值为. ②若，则，所以函数在R上单调递减，无极值； ③若，当或时，，当时，， 所以在，递减，递增， 所以的极小值为，的极大值为. 综上，当时，的极小值为，的极大值为. 当时，函数无极值.当时，的极小值为，的极大值为 【变式1】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意得到函数的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程； （2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值. 【详解】（1）当时，，， 又，． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）． 由于，以下分两种情况讨论． ①当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． ②当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 【变式2】已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 【答案】(1) 的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2) 【详解】试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数在定义域下求导函数的零点：或，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系.设集合，集合则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于，所以,因此，又，所以，即 解(1)由已知有令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然. 下面分三种情况讨论： 当即时，由可知而，所以A不是B的子集 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上的取值范围包含，所以 当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集 综上，的取值范围为 考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域 题型7 由极值点满足条件求解不等式问题 【例7】已知函数. (1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值； (2)若函数有两个极值点且，求的取值范围. 【解析】（1）解：当时，，可得， 令，可得，又由，所以切点在直线上，则， 因为，所以，令，则， 在直线方程中，令，可得， 又因为点在曲线上，所以. （2）解：函数，可得， 由函数有两个极值点，所以有两个不等正根，则， 由 ， 可得， 令，， 所以在区间上单调递增， 因为， 所以由，可得， 令函数，可得， 所以在上单调递减，可得， 又因为，所以的取值范围是. 【变式1】知函数,. (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点,求实数a的值； (2)设,若有两个极值点为,,且不等式恒成立,求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为, 由,得,则, 因为经过点的直线与函数的图像相切于点, 所以,所以,解得, （2）,则, 因为有两个极值点为,, 所以在上有两个不同的根, 此时方程在上有两个不同的根, 则,且,解得, 若不等式恒成立,则恒成立, 因为 不妨设, 则,因为,所以, 所以在上递减,所以,所以, 即实数的取值范围为. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-4 函数的极值7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 函数极值辨析 题型2 知图判断函数极值 题型3 求函数的极值与极值点 题型4 根据极值、极值点求参数的值 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 题型6 含参数的函数极值的讨论 题型7 由极值点满足条件求解不等式问题 知识点1 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点2 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 解题策略1 函数极值点的个数问题 可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点处是不可导的. 解题策略2 由函数极值点个数确定参数范围 此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解. 解题策略3 含参数的函数极值的讨论 求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论. 解题策略4 由极值点满足条件求解不等式问题 此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解. 题型1 函数极值辨析 【例1】“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 题型2 知图判断函数极值 【例2】函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的序号是________． 【变式1】【多选】已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 【变式2】函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　) A．在(1,2)上函数f(x)单调递增 B．在(3,4)上函数f(x)单调递减 C．在(1,3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 【变式3】【多选】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 题型3 求函数的极值与极值点 【例3】已知函数，那么的极大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在处得到极大值 B．在处得到极大值 C．在处得到极小值 D．在处得到极小值 【变式2】已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】已知，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 【变式4】已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 题型4 根据极值、极值点求参数的值 【例4】若的一个极值点是，则的极大值为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】已知函数和有相同的极大值，则（    ） A．2 B．0 C．-3 D．-1 【变式2】已知函数在时有极大值，则的极大值为（    ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或-32 【变式3】已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 【变式4】已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 【例5】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 【变式4】已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 【变式5】已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 题型6 含参数的函数极值的讨论 【例6】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的极值. 【变式1】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间与极值． 【变式2】已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 题型7 由极值点满足条件求解不等式问题 【例7】已知函数. (1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值； (2)若函数有两个极值点且，求的取值范围. 【变式1】知函数,. (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点,求实数a的值； (2)设,若有两个极值点为,,且不等式恒成立,求实数的取值范围. $$