第01讲 导数的概念、运算及其几何意义（九大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第01讲 导数的概念、运算及其几何意义 一、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 二、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 三、基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 重难点01导数的定义及变化率问题 【解题必备】 (1)在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： (2)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 例1．（多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 例2．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【跟踪练习】 练习1．已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 练习2．为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量与时间的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图像的编号） 练习3．若是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C． D． 练习4．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 重难点02导数的运算 【解题必备】 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 例3．下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知，则 . 【跟踪练习】 练习1．求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 练习2．下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 练习3．若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 练习4．已知函数，则 ． 重难点03在点P处的切线 【解题必备】求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例5．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【跟踪练习】 练习1．曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 练习2．曲线 在点处的切线方程为 ． 练习3．已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 练习4．设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 重难点04过点P的切线 【解题必备】求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例7．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 例8．写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 【跟踪练习】 练习1．已知曲线C：y＝x3. (1)求过点P（1，1）的切线方程； (2)以（1）中P（1，1）为切点的切线与曲线C是否还有其他公共点？ 练习2．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 练习3．写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 练习4．已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 重难点05切线平行、垂直问题 例9．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 例10．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪练习】 练习1．已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ． 练习2．已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： . 练习3．已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ） A． B． C． D． 练习4．对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（    ） A． B． C． D． 重难点06己知切线或切点求参数问题 例11．若曲线在点处的切线方程是，则 ． 例12．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2 【跟踪练习】 练习1．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数在点处的切线方程为，则 ． 练习3．曲线在点处的切线方程为，则 ． 练习4．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（    ） A．1 B． C． D． 重难点07公切线问题 例13．已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是 . 例14．若直线是曲线与的公切线，则 . 【跟踪练习】 练习1．设函数，若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值； 练习2．若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 练习3．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A．1.2 B．4 C．5.6 D． 练习4．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数a等于（    ） A． B．－ C．－ D． 重难点08切线的条数问题 例15．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 例16．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【跟踪练习】 练习1．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 练习2．若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为 ，此时切线方程为 ． 练习3．若过轴上一点所作的曲线C：的切线有且只有一条，则的一个可能值为 ，此时的切线方程为 ． 练习4．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 重难点09利用导数的几何意义求最值问题 例17．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例18．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 【跟踪练习】 练习1．已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 练习2．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 练习3．已知实数，，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习4．点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第01讲 导数的概念、运算及其几何意义 一、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 二、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 三、基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 重难点01导数的定义及变化率问题 【解题必备】 (1)在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： (2)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 例1．（多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 例2．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【详解】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 练习2．为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量与时间的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图像的编号） 【答案】② 【详解】曲线在每一时刻的斜率代表在该时刻运煤效率，运煤效率逐步提高说明斜率越来越大， 即增加的越来越快，符合条件的只有②， 故答案为：②. 练习3．若是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选:A． 练习4．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 重难点02导数的运算 【解题必备】 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 例3．下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B. 例4．已知，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以，得， 所以， 所以， 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由可得 （2）由可得 （3）由得 （4）由得 练习2．下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 练习3．若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 练习4．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 令，则，解得， 可得， 所以． 故答案为：. 重难点03在点P处的切线 【解题必备】求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例5．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则， 所以函数在点处的切线斜率， 则切线方程为， 即切线方程为， 故选：D. 例6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【答案】/0.25 【详解】易知的定义域为，而，故切点为， 设切线斜率为，且，故， 切线方程为，化简得， 当时，，当时，， 易知围成的图形是三角形，设面积为，故. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 则所求切线的斜率为. 故选：A. 练习2．曲线 在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 练习3．已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）定义域为，， 而，而已知，可得， 解得，故的值为， （2），设切点为，设切线斜率为， 而，故切线方程为， 将代入方程中，可得，解得(负根舍去)， 故切线方程为， 练习4．设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以，即， 即，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 重难点04过点P的切线 【解题必备】求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例7．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 例8．写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 【答案】或（任写一个即可） 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 由于切线过原点，故， 整理得，解得或. 当时，切线方程为，即. 当时，切线方程为，即. 故答案为：或（任写一个即可） 【跟踪练习】 练习1．已知曲线C：y＝x3. (1)求过点P（1，1）的切线方程； (2)以（1）中P（1，1）为切点的切线与曲线C是否还有其他公共点？ 【答案】(1)y＝3x－2或y＝x＋ (2)有 【详解】（1） 因为点P（1，1）在曲线C上，所以有两种可能， 即P为切点或P不是切点． 设y＝f（x）＝x3. ①当P（1，1）为切点时，f′（1）＝＝ ＝ [（Δx）2＋3Δx＋3]＝3， 所以切线方程为y－1＝3（x－1），即y＝3x－2； ②当P（1，1）不是切点时，设切点为Q（x0，x）. 由导数的定义，知在x＝x0处，f′（x0）＝3x，所以切线方程为y－x＝3x（x－x0）. 因为切线方程过点P（1，1），将其代入整理，得2x－3x＋1＝0，所以（x0－1）2（2x0＋1）＝0， 所以x0＝－或x0＝1（舍去），故切点为（－，－）， 所以切线方程为y＝x＋. 综上所述，所求切线方程为y＝3x－2或y＝x＋. （2） 由（1），知以P（1，1）为切点的切线方程为y＝3x－2. 由得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝－2，从而求得公共点为（1，1）和（－2，－8）. 故以P（1，1）为切点的切线与曲线C的公共点除切点P外，还有其他公共点． 练习2．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设的切点分别为， 由题意可得，， 所以在处的切线为，在处的切线为， 又因为两条切线过原点，所以，解得， 所以直线斜率的乘积为， 故选：B 练习3．写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 【答案】 【详解】当时，，则， 曲线在点处的切线方程为. 若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为. 当时，同理可得满足题意的切线方程为. 故答案为：； 练习4．已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：； 设切点坐标为，， 则切线方程为：， 切线过原点，，解得：， 即切点横坐标为. 故选：C. 重难点05切线平行、垂直问题 例9．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 例10．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，则 不妨设，点和点，两切线的斜率分别为， ∴，∴， ∴等价于， 等价于或 解得，或．故a的范围是． 故答案为：. 练习2．已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： . 【答案】（答案不唯一） 【详解】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等， 例如，，，， 此时，， 函数在处的切线方程为：； 函数在处的切线方程为：；合乎题意， 故答案为：（答案不唯一） 练习3．已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线在点与处的切线互相垂直， 所以当时，，当时，， 不妨设，因为在点与处的切线互相垂直， 则，即，故AB错误； 在点的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 因为切线相交于，代入切线方程可得， 即，由化简可得. 故选：D 练习4．对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．令， 对于A，，当，即时，有唯一解，不合题意，A错误； 对于B，，令，解得：，即有唯一解，不合题意，B错误； 对于C，，当时，令，即有无数个解，符合题意，C正确； 对于D，，当时，令，解得：，即有唯一解，不合题意，D错误. 故选；C. 重难点06己知切线或切点求参数问题 例11．若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为： 例12．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2 【答案】D 【详解】由题意得，. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 所以，解得， 又， 所以，解得，所以. 故选：C. 练习2．已知函数在点处的切线方程为，则 ． 【答案】 【详解】由函数，可得，可得， 因为函数在点处的切线方程为， 可得，解得，所以. 故答案为：. 练习3．曲线在点处的切线方程为，则 ． 【答案】 【详解】点在直线上，所以. 直线的斜率为， 由得， 所以. 故答案为： 练习4．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线，即斜率相等， 所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为， 对于曲线，求导得， 所以，得，故B正确. 故选：B. 重难点07公切线问题 例13．已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，， 设斜率为1的切线在，上的切点横坐标分别为，， 所以，则，， 两点处的切线方程分别为，， 所以，即， 所以b的取值范围为. 故答案为：. 例14．若直线是曲线与的公切线，则 . 【答案】 【详解】设与，分别相切于点，， ，，，， 切线方程为，， 即，， ，即， 解得：，即. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．设函数，若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值； 【答案】 【详解】， 则切线：. 因为与图象相切，所以， 即有唯一解. 当时，方程无解； 当时，由，解得 综上： 练习2．若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.， 设函数与直线切于点， 所以，故， 即，，解得或. 故选：D 练习3．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A．1.2 B．4 C．5.6 D． 【答案】ABD 【详解】由，则，由，则 设切线与曲线相切于点，则斜率为， 所以切线方程为，即  ① 设切线与曲线相切于点，则斜率为：， 则切线方程为，即，② 根据题意方程①，②表示同一条直线，则 所以，令（）， 则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意. 故答案为：ABD 练习4．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数a等于（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】B 【详解】由题设，的导函数为；的导函数为， 设公共点为且m > 0，则，， 则公共点处的切线为，即； 公共点处的切线为，即； 因为公共点处切线相同，则，可得，则. 故选：B 重难点08切线的条数问题 例15．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 例16．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】设切点， 则切线方程为， 又切线过，则， 有两个不相等实根， 其中 或. 故答案为：或 练习2．若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为 ，此时切线方程为 ． 【答案】 0或4/4或0 或4 【详解】设切点坐标为． 由，得， 所以切线方程为． 将点的坐标代入，得．整理，得． 由题意可知，方程有两个相等的实数根，则，解得或． 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即． 故答案为：0或4；或4 练习3．若过轴上一点所作的曲线C：的切线有且只有一条，则的一个可能值为 ，此时的切线方程为 ． 【答案】 或1 或 【详解】（注意：只需从这两组答案中选择一组作答即可） 设切点，因为，所以切线方程为． 因为切线l经过点P，所以, 则关于的方程只有一个实数解． 即只有一个实数解，由，解得或． 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为． 练习4．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 【答案】 【详解】由题意得， 过点作曲线的切线，设切点坐标为， 则，即， 由于，故， 因为过点作曲线的切线有且只有两条， 所以有两个解，且，即或， 所以，， 所以. 故答案为： 重难点09利用导数的几何意义求最值问题 例17．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与直线平行的直线l的方程为， ∴当直线l与曲线相切，且点Q为切点时，两点间的距离最小， 设切点，所以， ， 点直线l的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为． 故选：B 例18．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 【跟踪练习】 练习1．已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【详解】由题意，点在曲线上，点在直线上， 的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方. 当点为曲线平行于直线的切线的切点， 且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小. 又，令，解得或（舍去）， 所以切点为.切点到直线的距离 就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离， 故的最小值为. 故选：C. 练习2．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍. 令得故切点为 由，所以. 故选：C. 练习3．已知实数，，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由已知， 则，即为直线上的点， 为函数上的点， 则， 设与相切，由， 则，可得，所以切点为，则， 则切点到直线的距离为， 所以最小值为2. 故选：B. 练习4．点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小. ，令得或（舍），所以切点为， 所以的最小值为切点到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$