第02讲 导数的单调性、极值、最值（九大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第02讲 导数的单调性、极值与最值 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 重难点01 求单调区间 【解题必备】 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当0时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 例1．函数的单调递减区间为 ． 例2．设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则的单调递增区间为 . 练习2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 练习3．函数的单调递增区间是 . 练习4．已知函数，若，则的单调递减区间为（   ） A．或 B． C．或 D． 重难点02 求函数的极值（点）、最值 【解题必备】 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 例3．已知函数在处的切线平行于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 例4．函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)当时，求的单调区间和极值． 练习2．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 练习3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极大值点 B．在上的最小值为 C．是函数定义域内的极小值点 D．在定义域内既无最大值又无最小值 练习4．已知函数． (1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若，求函数在上的最大值和最小值． 重难点03函数与导函数图象间的关系 【解题必备】 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 例5．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例6．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 练习2．（多选）观察图象，下列结论错误的有（  ） A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 练习3．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．在上是减函数 C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0 练习4．已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 重难点04 已知含参函数的单调情况求参数范围 【解题必备】 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 例7．若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 例8．已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 【跟踪练习】 练习1．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习2．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 练习3．已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 练习4．“”是“函数为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点05 根据极值（点）求参数 【解题必备】 由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 例9．（多选）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 例10．若是的极值点，则 ；在上的最小值是 . 【跟踪练习】 练习1．已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 练习2．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 练习3．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 重难点06 根据最值求参数 【解题必备】 已知函数最值求参数的步骤：（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值； （3）结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用 例11．已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 例12．已知函数 (1)若在上单调递减，求a的取值范围， (2)若在区间的最小值为，求a的值. 【跟踪练习】 练习1．若函数在上的最大值为4，则 . 练习2．函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 练习3．已知函数. (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 练习4．已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 重难点07 利用函数单调性解不等式 例13．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例14．已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知，曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 练习3．已知，则的解集为 . 练习4．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 重难点08 不等式恒成立与存在性问题 【解题必备】 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 例15．已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 例16．已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围． 练习2．设函数．能说明“对于任意的，都有成立”为真命题的一个实数a的值可以是 ． 练习3．已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 练习4．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点09 含参函数的单调性讨论 【解题必备】 求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 例17．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 例18．已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【跟踪练习】 练习1．已知函数.讨论的单调性； 练习2．求下列函数的单调区间． (1)； (2). 练习3．已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 练习4．已知函数. (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; (2)讨论的单调性与极值. 重难点10 求含参函数的最值 例19．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 例20．已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 练习2．已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 练习3．已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值． 练习4．已知函数，求函数在区间上的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第02讲 导数的单调性、极值与最值 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 重难点01 求单调区间 【解题必备】 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当0时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 例1．函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 例2．设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由题意， 由得， 所以单调递增是. 故答案为： 练习2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 练习3．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 故的单调递增区间是. 故答案为：. 练习4．已知函数，若，则的单调递减区间为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】图象如下， 所以，解得， 故， ， 令，解得或， 所以在或上单调递减. 故选：C. 重难点02 求函数的极值（点）、最值 【解题必备】 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 例3．已知函数在处的切线平行于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 则， 由于，故， （2）， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 例4．函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】， 令，解得：， 令，解得： ， ∴函数在上递增，在上递减， ∴的极大值为 ， 又，， 故所求最大值为． 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)当时，求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）定义域：． 由已知：函数为奇函数，所以， 即，解得． （2）由（1）得：， 当时，因为，所以． 令，解得． 变化情况如下表： 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，有极小值，并且极小值为，无极大值. 练习2．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 练习3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极大值点 B．在上的最小值为 C．是函数定义域内的极小值点 D．在定义域内既无最大值又无最小值 【答案】BCD 【详解】对于A，由知当或时，当时. 所以在和上单调递减，在上单调递增，这表明是的极小值点，A错误； 对于B，根据的单调性，知在上的最小值为，B正确； 对于C，上面已经推知是的极小值点，C正确； 对于D，由于对任意的，有，. 所以没有最大值，也没有最小值，D正确. 故选：BCD. 练习4．已知函数． (1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若，求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)极小值 (2)， 【详解】（1）当时，的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以在处取得极小值； （2）当时，的定义域为， ， 故在，上是增函数， 故，； 重难点03函数与导函数图象间的关系 【解题必备】 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 例5．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 例6．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 【答案】ABD 【详解】根据的图象可知： 当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增； 对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误； 对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误. 故选：ABD. 练习2．（多选）观察图象，下列结论错误的有（  ） A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 【答案】ABCD 【详解】对于A，若图中为图象，，且在左右均为增，A错； 对于B，若图中为图象，则在和上递减，在和上递增，所以有两个极小值点和一个极大值点，B错； 对于C，若图中为图象，则时，已知图象与正负相同，所以，单调递减，C错； 对于D，若图中为图象，则 时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为，D错. 故选：ABCD 练习3．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．在上是减函数 C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0 【答案】BD 【详解】由图象知，当或时，，当或时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 对于A，，A错误； 对于B，函数在上单调递减，B正确； 对于C，函数在处取得极小值，在处取得极大值，在内有3个极值点，C错误； 对于D，当时，，因此曲线在点处切线的斜率，D正确. 故选：BD 练习4．已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 重难点04 已知含参函数的单调情况求参数范围 【解题必备】 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 例7．若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 例8．已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 【答案】3 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 【跟踪练习】 练习1．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 由于在上单调递增，故， 因此恒成立，故， 由于，故， 故选：B 练习2．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 练习3．已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 练习4．“”是“函数为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若函数单调递增，有恒成立， 可得，解得：， 因为，但， 所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件. 故选：B. 重难点05 根据极值（点）求参数 【解题必备】 由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 例9．（多选）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 例10．若是的极值点，则 ；在上的最小值是 . 【答案】 1 【详解】由可得， 因为是的极值点， 所以，解得， 此时，， 令得，令得或， 所以在单调递减，在和单调递增； 因为，所以在单调递增，在单调递减， 又因为，，， 所以在的最小值为， 故答案为：； 【跟踪练习】 练习1．已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 练习2．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 练习3．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 令，得到或， 又因为函数在处取得极值，所以，得到， 故选：C. 练习4．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 重难点06 根据最值求参数 【解题必备】 已知函数最值求参数的步骤：（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值； （3）结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用 例11．已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 所以，则. 故选：A 例12．已知函数 (1)若在上单调递减，求a的取值范围， (2)若在区间的最小值为，求a的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，在上单调递减， 所以在上恒成立， 故在上恒成立， 由，所以. （2）由， 令，则或， 当时，，在上单调递增， ，不符合题意； 当时，，则当时，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增 ，解得，符合题意； 当时，，则当时，， 在上单调递减， ，解得，不符合题意， 若在区间的最小值为，则的值为. 【跟踪练习】 练习1．若函数在上的最大值为4，则 . 【答案】4 【详解】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 练习2．函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 练习3．已知函数. (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，且， 所以， 故切线方程为，即， （2）， 由，存在，使得，即， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故， ， 故在单调递减，又， 故 练习4．已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处切线的方程为. （2）当时，，， 令，得或， 当即时，对，，即函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，不合题意； 当即时，，，即函数在上单调递减， ，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值. 求出导数，，分析发现导数正负取决于的正负，抓住零点与区间的关系讨论，得到函数在上的单调性，求出最小值进行判断求解. 重难点07 利用函数单调性解不等式 例13．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由定义域为， 因为，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 例14．已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以在上单调递减，因为，所以， 不等式可变形为，即，可得， 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，为奇函数， 则， ，， ，为减函数， 又， 则， ， 或. 故选：C 练习2．已知，曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，得， 又函数在点处的切线斜率为， 即， 解得； （2）由（1）得，， 则恒成立， 即在上单调递增， 又， 即函数为奇函数， 由，可知， 即，解得， 即不等式的解集为. 练习3．已知，则的解集为 . 【答案】 【详解】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 练习4．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 重难点08 不等式恒成立与存在性问题 【解题必备】 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 例15．已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 例16．已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 所以切线斜率， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由题意可知，当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设，， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围为． 练习2．设函数．能说明“对于任意的，都有成立”为真命题的一个实数a的值可以是 ． 【答案】1（答案不唯一，只要满足即可） 【详解】对于任意的，都有成立，故在上单调递增， 恒成立，即，由于， 故只需即可. 故答案为：1（答案不唯一，只要满足即可） 练习3．已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 练习4．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 重难点09 含参函数的单调性讨论 【解题必备】 求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 例17．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 例18．已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2)答案见解析 【详解】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 【跟踪练习】 练习1．已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 练习2．求下列函数的单调区间． (1)； (2). 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，则， 令，解得；令，解得或； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意可知：的定义域为，则， 若，则，所以的单调递减区间为； 若，令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：若，的单调递减区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 练习3．已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. （2）函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 练习4．已知函数. (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; (2)讨论的单调性与极值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【详解】（1）由题得，的定义域为. .         的图象在点处的切线与直线l:垂直， ，         解得. （2）由（1）知. ①当时，恒成立. 在上为减函数，此时无极值;             ②当时，由，得，由，得，         在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值.         综上可得，当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 重难点10 求含参函数的最值 例19．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 例20．已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. （2）因为， （ⅰ）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以； （ⅱ）当时，由，解得或， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ①当时，即，所以函数在上单调递减， 所以； ②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以当时，，当时，， 当时，， 所以， 综上所述，当时，；当时，. 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数； (2) 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 练习2．已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 又是函数的极值点， ∴，即 ∴， ∴， 在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程是 （2），令，得， ∴在单调递减，在单调递增 而， ①当，即时， ②当，即时， 综上，当时，； 当时， 练习3．已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值． 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 当变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 ①当时，在区间上为增函数，所以． ②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以， 综上，． 练习4．已知函数，求函数在区间上的最大值． 【答案】答案见详解 【详解】由题意可得：，则， ∵，则有： 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递增，则； 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递减，则； 当时，则， 令，解得，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且， ①当，即时，则在区间上的最大值为； ②当，即时，则在区间上的最大值为； ③当，即时，则在区间上的最大值为； 综上所述：当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$