第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元一次不等式与一元一次不等式组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是，每辆小客车的乘客座位数是，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·福建三明·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，，当一次函数与线段有交点时，k的取值范围是（   ） A．且 B．或 C．或 D．或 10．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）一元一次不等式组的解集是 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但商店要保证利润率不低于．设该商品降价x元，用含x的不等式表示该商品的降价范围为 ． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解不小于方程的解，则的最大整数值为 ． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为． （1）若，则m的取值范围为 ； （2）满足不等式组的整数n有且只有4个，则 ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 18．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）解下列不等式（组）： (1) (2)． 19．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 20．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． (1)求k和b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 21．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某店铺销售一款可定制的纪念品，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过200个的部分 3元/个 超过200个但不超过500个的部分 元/个 超过500个的部分 元/个 (1)若购买350个这款纪念品，需花费______元；若购买650个纪念品，花费______元． (2)某艺术团为纪念新年艺术演出活动，花了880元从该店铺定制了此次活动的纪念品，则该艺术团购买了多少个纪念品？ (3)艺术团团长看到可定制纪念品意义好，价格也比较合理，为宣传艺术团名声和打造品牌，决定定制一批艺术团的专有纪念品，后来看到专有纪念品受多人喜爱，又购进一批，两次共购买了850个，其中第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量，两次共花费2430元，求第一次购买的数量． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元一次不等式与一元一次不等式组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，含有不等符号的式子叫不等式，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：不含有不等符号，不是不等式，故选项A错误，不符合题意； 含有不等符号，是不等式，故选项B正确，符合题意； 含有等号，是方程，不是不等式，故选项C错误，不符合题意； 不含有不等符号，不是不等式，故选项D错误，不符合题意； 故选项为：B 2．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，注意等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A错误； B．∵， ∴，故B错误； C．∵，当时，成立，故C错误； D．∵，而， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，用数轴表示不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，在数轴上表示出来即可，注意数轴上实心点与空心点的区别． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 可得该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次不等式，先由得，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：由得， ∵关于的方程的解是负数， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是，每辆小客车的乘客座位数是，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 利用已知数量关系可求出该校最后参加活动的总人数，设租用小客车x辆，则租用大客车辆，利用租用的客车可乘坐人数不少于人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出所租用小客车数量的最大值为3辆． 【详解】解∶该校最后参加活动的总人数为 (人)． 设租用小客车x辆，则租用大客车辆． 依题意得∶， 解得∶． 又∵x为整数， x的最大值为3， 故选∶B ． 7．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以根据题意，不等式组的解集是， 不等式组有且仅有个整数解，这个整数解是，，， ， 故选：B． 8．（23-24八年级上·福建三明·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， 解得 得：， 解得 ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为， 故选：B． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，，当一次函数与线段有交点时，k的取值范围是（   ） A．且 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，由已知得直线恒过点，分别求出直线和直线的比例系数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线（k为常数）恒过点， 当直线刚好过点A时，将代入中得：， 解得， 此时， 当直线刚好过点B时，将代入中得：， 解得， 此时， ∴当直线与线段有交点时，的取值范围为：或， ∴k的取值范围为：或， 故选：D． 10．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）一元一次不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但商店要保证利润率不低于．设该商品降价x元，用含x的不等式表示该商品的降价范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．利润率不低于，即利润要大于或等于元，设该商品降价x元，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求解即可． 【详解】解：设该商品降价x元，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解不小于方程的解，则的最大整数值为 ． 【答案】 【分析】本题结合了解含有未知系数的方程和不等式．分别解出方程的解，根据题意列不等式解答． 【详解】解：由方程， 得， 解方程，得， 依题意，得, 解得 故的最大整数值为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据题意正确画出图形并灵活运用数形结合是解答本题的关键．根据题意画出画在同一个坐标系中，再利用数形结合确定图形即可确定最小值． 【详解】解：如图：将画在同一个坐标系中， 令， 解得：， 则两条直线交点为， 当时，函数，最小值为； 当时，函数，最小值为； 综上，关于x的函数的最小值为， 故答案为：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为． （1）若，则m的取值范围为 ； （2）满足不等式组的整数n有且只有4个，则 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则． （1）根据长方形的面积公式计算出和，再求出差即可列出不等式，解不等式即可； （2）根据有4个整数解，得出有4个整数解，得出，解不等式，得出m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）， ， ， ∵， 解得：； 故答案为：． （2）由（1）得：， ∵m为正整数， ∴ ∴， ∵有4个整数解， ∴有4个整数解， 这4个整数为5，6，7，8， 为正整数， ， 故答案为：2． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，根据“雅礼不等式”的定义分三种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：分三种情况解答： ①若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ②若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ③若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； 综上所述，所给不等式组的解集为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．灵活运用不等式的性质1进行变形是关键． （1）根据不等式的性质1将不等式两边都加上1求解即可； （2）根据不等式的性质1将不等式两边都减去求解即可． 【详解】（1）因为， 所以，即； （2）因为， 所以，即． 18．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）解下列不等式（组）： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 19．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式和一次函数的性质. （1）设把点代入解析式即可求得； （2）求出当时，对应的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 一次函数的表达式为； （2）一次函数，当时，；当时，， 当时， 20．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． (1)求k和b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)k的值为1，b的值为 (2)且 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为： 将代入，则， ∴直线的图象过定点， 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过点时， 则，解得：； 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过定点时， 则，解得：； 综上，m的取值范围为:且． 21．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某店铺销售一款可定制的纪念品，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过200个的部分 3元/个 超过200个但不超过500个的部分 元/个 超过500个的部分 元/个 (1)若购买350个这款纪念品，需花费______元；若购买650个纪念品，花费______元． (2)某艺术团为纪念新年艺术演出活动，花了880元从该店铺定制了此次活动的纪念品，则该艺术团购买了多少个纪念品？ (3)艺术团团长看到可定制纪念品意义好，价格也比较合理，为宣传艺术团名声和打造品牌，决定定制一批艺术团的专有纪念品，后来看到专有纪念品受多人喜爱，又购进一批，两次共购买了850个，其中第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量，两次共花费2430元，求第一次购买的数量． 【答案】(1)1020，1815 (2)300个 (3)600个 【分析】本题主要考查阶段收费，一元一次不等式，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式计算是关键． （1）根据表格信息，按阶段收费计算即可； （2）设艺术团购买这款纪念品x个，根据阶段收费得到，再根据阶段收费即可求解； （3）设第一次购买了y个，则第二次购买个，根据题意得到，分类讨论：当两次都是200到500时；当时根据阶段收费列式计算即可． 【详解】（1）解：购买350个这款纪念品， ∴费用为：（元）， 购买650个纪念品， ∴费用为：（元）， 故答案为：1020，1815； （2）解：设艺术团购买这款纪念品x个， 由题意知，买200个这种纪念品需600元，买500个这种纪念品需（元）， ∵， ∴， 依题意得，， 解得：， 答：艺术团购买这款纪念品300个． （3）解：设第一次购买了y个，则第二次购买个， 当第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量， ∴， 解得，， 当两次都是200到500的部分，则元，不符合题意； 当时，依题意得， 解得：， 答：第一次购买了600个． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】(1)所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4 (2)所有符合条件的整数a的和为15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义即可解答． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 解方程，得， 因为方程是不等式组的“子方程”，所以，解得； （2）解方程，得， 解方程，得． 解不等式③，得， 解不等式④，得， 所以原不等式组的解集为． 因为方程都是关于x的不等式组的“子方程”， 所以， 解得． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据关联函数的定义求解即可； （2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可； （3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解； 拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）一次函数的相关函数是， 故答案为：； （2）点在一次函数的相关函数图像上， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或， 故答案为：或； （3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 图像与轴交于点， 当时，直线才与图象有两个交点， ； 拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 线段与 轴 的 交 点 坐 标 为， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 学科网（北京）股份有限公司 $$