6.1函数的单调性同步练习-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6.1　函数的单调性 A组 基础巩固 1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下面结论正确的是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　 (第1题) A.在区间(-2,1)上,函数f(x)单调递增 B.在区间(1,3)上,函数f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上,函数f(x)单调递增 D.在区间(2,3)上,函数f(x)不是单调函数 2.函数y=x·e-x的单调递减区间为(　　). A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 3.已知函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),则f(x)的单调递减区间为(　　). A.(-2,0) B.(-1,0) C.(0,+∞) D.(0,1) 4.函数y=x3+ax2+bx-3(a,b∈R)在区间(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,则a+b的值为(　　). A.-1 B.-2 C.1 D.2 5.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,若a>b,则有(　　). A.f(a)g(a)=f(b)g(b) B.f(a)g(a)>f(b)g(b) C.f(a)g(a)<f(b)g(b) D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定 6.函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间为　　　　　　　;单调递增区间为　　　　　　. 7.若函数f(x)=ex-ax-1在区间(-2,3)上为减函数,则a的取值范围为　　　　　.  8.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在区间(-∞,+∞)上单调递增,q:m≥,则p是q的　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  9.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=x3+x2在区间(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是　 .  10.求函数f(x)=的单调区间. B组 能力提升 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　). A.y=sin x B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=ln x-x 2.(多选题)若函数y=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数y=f(x)具有性质M.下列函数中,不具有性质M的是(　　). A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 3.设函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　). A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 4.已知函数y=f(x)对任意的x∈-,满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　). A.<f B.<f C.f(0)>2f D.f(0)> 5.已知在R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)·f'(x)>0的解集为　 .  (第5题) 6.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则实数b的取值范围是　　　　　　　　　　.  7.定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件: ①f'(-1)=0; ②f(x)的导函数是偶函数; ③f(x)在x=0处的切线与第一象限、第三象限的平分线垂直. 求函数y=f(x)的解析式和单调区间. 参考答案 A组 基础巩固 1.答案:C 解析:由f'(x)的图象知,在区间(-3,-2),(2,4)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(1,2),(4,5)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故选C. 2.答案:D 解析:y'=e-x-x·e-x=e-x(1-x), 由y'<0,得x>1. 因此,函数y=x·e-x的单调递减区间为(1,+∞). 3.答案:B 解析:函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=(x>-1). 令f'(x)<0,得-1<x<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0). 4.答案:C 解析:∵y'=x2+2ax+b,且原函数在区间(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减, ∴1与3是关于x的方程x2+2ax+b=0的两根. ∴1+3=-2a,1×3=b,可得a=-2,b=3. ∴a+b=1. 5.答案:B 解析:由题意知[f(x)g(x)]'>0,从而函数y=f(x)g(x)在R上是增函数,又a>b,所以f(a)g(a)>f(b)g(b). 6.答案: 解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0), f'(x)=ln(-x)+x··(-1)=ln(-x)+1. 令f'(x)<0,得x>-; 令f'(x)>0,得x<-. 故函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为. 7.答案:[e3,+∞) 解析:由题意知,f'(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立. 即a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立. ∵-2<x<3,∴e-2<ex<e3.只需a≥e3. 当a=e3时,f'(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,f'(x)<0,即f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 8.答案:充要 解析:f'(x)=3x2+4x+m.若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立, 由Δ≤0,得m≥,故p⇒q; 反之,若m≥,则f'(x)≥0,且不恒等于0,即f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,故q⇒p. 因此,p是q的充要条件. 9.答案: 解析:由f(x)=x3+x2可得f'(x)=x3-tx2+3x,f″(x)=3x2-2tx+3. 因为f(x)=x3+x2在区间(1,4)上为“凸函数”,所以当x∈(1,4)时,f″(x)=3x2-2tx+3<0恒成立,即t>恒成立. 令g(x)=.因为g'(x)=>0在区间(1,4)上恒成立,所以函数g(x)在区间(1,4)上单调递增,所以t≥g(4)=,所以实数t的取值范围是. 10.解:∵2+cos x≠0, ∴函数f(x)的定义域为R. f'(x)=. 令f'(x)=0,得cos x=-, 从而x=2kπ±,k∈Z. 当x∈(k∈Z)时,cos x>-,则f'(x)>0; 当x∈(k∈Z)时,cos x<-,则f'(x)<0, 故函数f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z),单调递减区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z). B组 能力提升 1.答案:B 解析:显然函数y=sin x在区间(0,+∞)上不单调,故排除A; 对于函数y=xe2,因为e2为大于零的常数,所以不用求导就知函数y=xe2在区间(0,+∞)上单调递增; 对于C,y'=3x2-1=3, 故函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减; 对于D,y'=-1(x>0),故函数在区间(1,+∞)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增.故选B. 2.答案:BCD 解析:设函数g(x)=exf(x),对于A,g(x)=ex·2-x=x,在定义域R上为增函数,具有性质M. 对于B,g(x)=ex·x2,则g'(x)=x(x+2)ex,由g'(x)>0得x<-2或x>0,g(x)=ex·x2在定义域R上不是增函数,不具有性质M. 对于C,g(x)=ex·3-x=x在定义域R上是减函数,不具有性质M. 对于D,g(x)=excos x,则g'(x)=excosx+,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,不具有性质M. 3.答案:D 解析:令F(x)=.∵f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,∴F(x)为奇函数. F'(x)=, ∵当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0, ∴F'(x)>0, ∴函数F(x)在区间(-∞,0)上单调递增. 又F(3)==0,且F(-3)=-F(3)=0, ∴当x<-3时,F(x)<0; 当-3<x<0时,F(x)>0. 又F(x)为奇函数, ∴当0<x<3时,F(x)<0;当x>3时,F(x)>0. 而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0), ∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 4.答案:A 解析:因为函数y=f(x)对任意的x∈,满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0, 所以'=>0, 所以函数在区间上单调递增. 因为-<-<-, 所以, 即<f. 故A正确. 5.答案:(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 解析:由函数f(x)的图象可知,在区间(-∞,-1)上,f'(x)>0;在区间(-1,1)上,f'(x)<0;在区间(1,+∞)上,f'(x)>0. 由(x2-2x-3)f'(x)>0,得 解得x<-1或-1<x<1或x>3. 故不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞). 6.答案:(0,+∞) 解析:若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则关于x的方程y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根.由Δ>0,得b>0. 7.解:函数f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c. 已知f'(-1)=3a-2b+c=0.① 由f(x)的导函数是偶函数,得b=0.② 又f(x)在x=0处的切线与第一象限、第三象限的平分线垂直,所以f'(0)=c=-1.③ 由①②③,得a=,b=0,c=-1, 即f(x)=x3-x+3.所以f'(x)=x2-1. 令f'(x)>0,得x<-1或x>1;令f'(x)<0,得-1<x<1.故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞);单调递减区间是(-1,1). 9 学科网（北京）股份有限公司 $$