解三角形之周长问题与面积问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

解三角形：周长问题与面积问题专项训练 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 考点一 周长问题 1．（24-25高三上·云南德宏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 2．（2025·云南·模拟预测）在三角形中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，设为的中点，且，求三角形的周长. 3．（24-25高三上·河南漯河·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 4．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 5．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的周长. 6．（24-25高三下·贵州·开学考试）设的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的周长． 7．（2024·河南新乡·二模）已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 8．（24-25高三上·河北保定·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的周长. 考点二 面积问题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在斜中，内角的对边分别为，且 ，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高三上·福建·期末·多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（    ） A． B． C．若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 D．若，的内心为I，则周长的取值范围为 4．（24-25高一上·浙江湖州·期末·多选）如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（    ） A． B．PQ的长度有最大值 C．的面积有最大值 D．的面积有最小值 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ． 6．（24-25高二上·云南保山·期末）已知锐角的内角的对边分别为．若向量，，且，，则角 ；的面积的取值范围为 ． 7．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若. (1)求角； (2)若，求的面积. 8．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 9．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 10．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 11．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，已知角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，. (1)求角的大小; (2)若，求的面积. 12．（24-25高三上·河南周口·期末）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明： (2)若，，求的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：周长问题与面积问题专项训练 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 考点一 周长问题 1．（24-25高三上·云南德宏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为角A，B，C为的内角，即， 则，，可得，所以. （2）因为，则，所以， 由余弦定理得：，解得， 所以的周长为． 2．（2025·云南·模拟预测）在三角形中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，设为的中点，且，求三角形的周长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，所以， 则，化简得，， 因为，所以，即. 又因为，所以； （2）因为为中点，所以， 两边平方可得，，即① 在中，由余弦定理得② 联立①②可得，，所以，故. 所以的周长为. 3．（24-25高三上·河南漯河·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知及正弦定理：， ， ， ，. （2）在中，由， 可得：， 又平分，则， 所以， 整理得①． 又由余弦定理，可得，即， 则有②， 由①②解得：或（舍）， 所以的周长为. 4．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，，则； （2）由题意及（1）知：，则， 由，即， 所以（负值舍），故，而， 所以三角形ABC的周长为. 5．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 从而，化简得，， ，，故. （2）由，可得， 即， 即， ，， ，，所以， . 在中，由正弦定理，， 解得，， 故的周长为. 6．（24-25高三下·贵州·开学考试）设的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由于 ，两边同时乘以 并化简可得：， 根据正弦定理可得 ，代入可得， 化简得：，进一步化简：， 由余弦定理可知，代入上面的等式： ，化简得， 即 所以由余弦定理可得：， 由于，所以. （2）已知， 由正弦定理可得 ，即 ， 因为是的角平分线，且由（1）可知 ， 所以 ， 因为  ，根据三角形面积公式可得： ， 将 代入上式可得： ， 化简可得： ，即 ， 将 代入 可得： 即， 因为 ，所以解得，， 代入余弦定理可得： ，则 . 所以， 综上，的周长为. 7．（2024·河南新乡·二模）已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 （2）由（1）知，因为若的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 整理得，解得， 所以，所以的周长为 8．（24-25高三上·河北保定·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 化简得，又因为，所以. （2）在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 所以，所以， 所以，所以周长为. 考点二 面积问题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得，， 所以的面积为. 故选：B 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在斜中，内角的对边分别为，且 ，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，， 则， 于是， 根据正弦定理，，，则， 由余弦定理，，则， 由三角形的面积公式，， 注意到，故（当取得等号）， 故，最大值为. 故选：C 3．（24-25高三上·福建·期末·多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（    ） A． B． C．若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 D．若，的内心为I，则周长的取值范围为 【答案】ACD 【详解】∵， ∴，整理得， ∴， ∵，∴，选项A正确，选项B错误. C.的面积. 由正弦定理得，， ∴， ∵为锐角三角形，∴，解得， ∴，∴， ∴，故，选项C正确. D.∵，∴， ∵的内心为I，∴，故. 设，则， 在中，由正弦定理得，， ∴， ∴的周长为， ∵，∴， ∴，∴，选项D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高一上·浙江湖州·期末·多选）如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（    ） A． B．PQ的长度有最大值 C．的面积有最大值 D．的面积有最小值 【答案】ACD 【详解】设，，则，，， 则，， 在中，，又因为的周长为2，即， 所以，即. 对于A，， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 解得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； 对于C，的面积为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为的面积为，的面积为，的面积为， 所以 ，当且仅当时取等号， 即 面积的最小值为 ，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以，所以 （其中）， 所以，则， 即三角形的面积的最大值是． 故答案为： 6．（24-25高二上·云南保山·期末）已知锐角的内角的对边分别为．若向量，，且，，则角 ；的面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由可知，， 由正弦定理得即， ∴，又，∴， 又由正弦定理，得 ∴，是锐角三角形，∴， ∴，，，故的面积的取值范围为．                   故答案为：；． 7．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由得，则， 由，得，则或 所以或. （2）由，得，， 在中，由及正弦定理，得， 而，则，于是， 又，则，解得，即，则， 由，得， 所以的面积. 8．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得：  所以； 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）法一：因为，即，则， 可得 由正弦定理可得：， 又因为，所以， 所以面积为：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法二：因为，则， 可得 又因为 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法三：因为，可知，都为锐角， 如图，作边上的高， 则， 因为  则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法四：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 由余弦定理可得：， 则，化简可得，即， 可得 当时，面积的取到最大值为； 法五：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 如图过点作底边的高， 不妨设，，， 则有，， 则， 整理可得，则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 9．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)3 (2)6 【详解】（1）由，得， 因为 ，所以, 则有： 移项可得： 因为 ， 所以. （2）因为 ，所以 ， 由（1）知 ，且 ， 则：，即， 整理得，即， 解得 或 因为，，则角是锐角． 由知，，C为锐角，则 ， 所以 ，则，那么 ， 根据 以及，可得： 由正弦定理 以及已知可得：， 的面积. 10．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，或. （2）由 得， 又，所以. 由（1）得，故， 而为三角形内角，. 由正弦定理，得， 故的面积. 11．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，已知角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，. (1)求角的大小; (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， 由正弦定理得， ， ∴， 由，可得， ∴ ， 又，故， ∴； （2）在中，由正弦定理得， ∴， 又，所以， ∴，， 在中，由正弦定理得， ， ∴， . 12．（24-25高三上·河南周口·期末）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明： (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由题设，则， 由正弦边角关系有，两边同时除以，则，得证. （2）由，则，即， 所以，可得（负值舍）， 综上，的面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$