解三角形之中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点一 中线问题 1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 3．（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 4．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角所对边的长分别为，且满足． (1)求； (2)若，是的中线，求的长． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 6．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，边上的中线，求的面积． 考点二 角平分线问题 1．（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 2．（24-25高三上·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在①；②边上的高为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答． 问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______． (1)求的值； (2)设是的角平分线，求的长． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）锐角的内角所对的边分别为，若，且，. (1)求边的值； (2)求内角的角平分线的长． 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 6．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 考点三 高线问题 1．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小； (2)若边上的高为，求面积的最小值. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 5．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）在中，内角所对的边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 6．（24-25高三上·河北唐山·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C； (2)若的面积为，求AB边上的高． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点一 中线问题 1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 3．（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，为的中点，所以, 在中， ， 所以 （2）因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 4．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角所对边的长分别为，且满足． (1)求； (2)若，是的中线，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 又，故 又，所以； （2）因为，由余弦定理得，， 因为， 所以， 因为是的中线，所以， 所以， 故． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，则， 因为， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. 6．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，边上的中线，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得， 又因为，所以，所以， 所以即， 又因为，所以， 所以，所以. （2）因为， 所以即， 所以， 所以由余弦定理得，解得， 所以. 考点二 角平分线问题 1．（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； （2）由（1）知， 由余弦定理得， 则可得， 由，可得，所以， 因为，即， 所以. 2．（24-25高三上·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因,则，故， 又因,故； （2）由余弦定理，， 因，，代入整理得：， 由，当且仅当时等号成立，此时， 而的面积， 在中，由，，和，易得， 即当时，的面积的最大值为； （3） 如图，因平分,且，则,即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在①；②边上的高为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答． 问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______． (1)求的值； (2)设是的角平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选条件①：，， 由余弦定理，即，∴，； 选条件②；边上的高为， 由三角形的面积公式得，解得，； 选条件③：，由题意可知， 所以． 因为， 所以． 由正弦定理得，即，解得，． （2）选条件①：因为是的角平分线，所以， ，， 则， 由正弦定理，得； 选条件②；因为是的角平分线，所以， ， ，， 则， 由正弦定理，得； 选条件③：因为是的角平分线，所以， 由题意可知，，∴ 则， 由正弦定理，得． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）锐角的内角所对的边分别为，若，且，. (1)求边的值； (2)求内角的角平分线的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 又因为，则，可得， 又因为，所以． 由余弦定理可得，即， 则，解得：，或， 由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取， 故. （2）根据面积关系可得， 即， 解得：． 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 故，故即， 因，故 （2） 由角平分线定理得：，则， 在中，由余弦定理得：，得， 由得：， 得. 6．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由，得，所以， 所以． （2） 由（1）知．由题意知，， 即，化简得． 在中，，，根据余弦定理有， 则， 解得，从而， 所以的周长为． 考点三 高线问题 1．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， （2）由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得． 又，， 则， ，则． 又，， 则，解得． （2）由的面积为，得， ，则． 由余弦定理，得， ． 又，，解得．，． 设边上的高为，则， ． 3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小； (2)若边上的高为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择①，因为向量，，且， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以； 选择②，由，得， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； 选择③，因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 所以，解得，所以， 所以面积的最小值为. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，则， 所以，则， 又，解得； （2）若选条件①：， 由正弦定理知，可得， 又，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意； 若选条件②：， 由余弦定理可得，， 即得（负值舍去），所以满足条件的三角形唯一， 设边上的高为， 由三角形等面积法可知， 即，解得， 故边上高线的长为． 若选条件③：， 由正弦定理可得，即， 所以， 又，解得或，有两解，不符合题意． 5．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）在中，内角所对的边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由，得，① 由，得，② 由①②联立，得， 由，得，所以， 又由，得． （2）因为的面积为， 所以，得． 由，即，所以． 由余弦定理，得，即， 所以，可得， 所以的周长为． 6．（24-25高三上·河北唐山·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C； (2)若的面积为，求AB边上的高． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，结合正弦定理角化边得： 又由，代入，得：，解得：， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； （2）由的面积为，则，解得：， 又因为，代入解得：，，代入得，， 所以设边上的高为，则，解得：, 故边上的高为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$