第02讲 平行线及其判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第02讲 平行线及其判定 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【题型2用直尺、三角板画平行】 【题型3 平行线公理及推论】 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 考点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行． 【详解】解： ， 和不平行， 对顶角相等， ，， ， 和平行， ， 和平行， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有3个， 故选D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】A 【分析】本题考查平面内两线的位置关系，根据在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线平行，即可得出结论． 【详解】解：在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线的位置关系是平行； 故选A． 【题型2用直尺、三角板画平行】 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P为内一点： (1)过点P画直线； (2)过点P画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线，利用同位角相等，两直线平行是解答的关键． （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）按要求完成下列各题： (1)如图1是一个正方形网格，在此网格中有直线与点． ①画直线； ②画直线，垂足为点； (2)如图2，已知是的边上不同于的一点，经过点请作出的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画垂线，平行线，作一个角等于已知角，平行线的判定； （1）①用直尺和三角板通过平移作直线； ②用三角板或量角器过点作，垂足为； （2）依据平行线的判定，作，则即为所求． 【详解】（1）解：①如图1，直线即为所求； ②如图1，直线，垂足点F即为所求； （2）如图2，直线即为所求． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解： ，， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，以及平行公理，关键是掌握平行于同一条直线的两直线平行． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 考点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理及推论】 【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行． 故选：D． 【变式3-1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线与相交线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在同一条直线上， 故答案为：② 考点3：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知，说明 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定定理，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据邻补角的意义求出，则得到，再根据同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵与互为邻补角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【变式5-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且，求证：． 证明：（已知） （已知） （ ） （______） 【答案】，，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据垂直的定义和同角的余角相等，可得到，最后根据内错角相等两直线平行即可判定，从而得到答案． 【详解】证明：（已知） （已知） （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【变式5-2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分交于点，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．由平分可得，再由可得，即可说明． 【详解】解：，理由如下： 平分， ， ， ， ． 【变式5-3】（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证： 请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴ ， 又∵和互余（已知）， ∴ ， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴， ∴（ ，两直线平行）． 【答案】垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由，和互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到，再由，可得，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， 又∵和互余（已知）， ∴， ∴（同角的余角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式6-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的判定，掌握相关基本性质是解题的关键． 根据对顶角相等并结合题意得到，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】证明：由对顶角相等可得：， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式6-3】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在四边形中，，平分，且，．与平行吗？试写出推理过程． 【答案】平行，见详解 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行是解题的关键；根据角平分线的定义，可得，再由同旁内角互补，即可证明平行． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分，， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则①可判定； ②由于和是内错角，则②可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定； ④由于和是同旁内角，则④可判定； 即①②④可判定． 故选A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键． 利用内错角定义可得答案． 【详解】解：A、的内错角是，故此选项符合题意； B、与是同旁内角，故此选项不合题意； C、与是同位角，故此选项不合题意； D、与不是内错角，故此选项不合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，与是内错角的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：直线a，b被直线c所截，则的内错角是． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，因为，，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定知识点，解题的关键是找出图中相等的内错角来判定两直线平行． 通过观察两个一样的三角尺放置后的图形，找到与直线， 相关的内错角，根据平行线的判定定理得出结论． 【详解】如图，因为是两把完全一样的三角尺， 所以图中和是相等的（三角尺对应的角相等），而和是直线与被直线所截形成的内错角． 所以根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，可以得出． 故答案为：内错角相等，两直线平行 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是一条直线，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据同位角相等，两直线平行作答即可 【详解】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行． 故答案为∶同位角相等，两直线平行． 三、解答题 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，如果，那么与平行吗？与呢？请说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据对顶角的性质求出，然后可根据“同旁内角互补，两直线平行”判断；根据平角定义求出，然后根据“内错角相等，两直线平行”判断即可． 【详解】解：，． 理由如下： 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以 因为， 所以， 所以． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，，E是射线上的一点，请用尺规作图法在上求作一点F，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，作一个角等于已知角，掌握尺规作一个角等于已知角是解题的关键．按照尺规作一个角等于已知角的步骤先作，那么． 【详解】解：如图，即为所作： 10．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 【详解】解：因为平分，所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为， 所以，， 所以． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，垂直的定义，熟悉掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用角平分线的定义证出的度数，再通过同位角的关系去判定即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行线及其判定 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【题型2用直尺、三角板画平行】 【题型3 平行线公理及推论】 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 考点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，既不重合也不相交的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【题型2用直尺、三角板画平行】 【变式2-】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P为内一点： (1)过点P画直线； (2)过点P画直线． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）按要求完成下列各题： (1)如图1是一个正方形网格，在此网格中有直线与点． ①画直线； ②画直线，垂足为点； (2)如图2，已知是的边上不同于的一点，经过点请作出的平行线． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 考点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理及推论】 【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式3-1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 考点3：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【变式4-1】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知，说明 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【变式5-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且，求证：． 证明：（已知） （已知） （ ） （______） 【变式5-2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分交于点，，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式5-3】（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证： 请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴ ， 又∵和互余（已知）， ∴ ， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴， ∴（ ，两直线平行）． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，试说明． 【变式6-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【变式6-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（     ）． 又∵平分（     ）， ∴_____ _ （     ）． （     ）． 又∵（已知）， （______ ）（     ）． ∴（     ）． 【变式6-3】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在四边形中，，平分，且，．与平行吗？试写出推理过程． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，与是内错角的是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则与的位置关系是 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是一条直线，，则与的位置关系是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，如果，那么与平行吗？与呢？请说明理由． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，，E是射线上的一点，请用尺规作图法在上求作一点F，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$