重难点专题01 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题(24大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

重难点专题01 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题 【题型归纳目录】 题型一：外接球之正方体、长方体模型 题型二：外接球之正四面体模型 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 题型四：外接球之直棱柱模型 题型五：外接球之直棱锥模型 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 题型九：外接球之垂面模型 题型十：外接球之二面角模型 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 题型十二：外接球之共斜边拼接模型 题型十三：外接球之坐标法模型 题型十四：外接球之空间多面体 题型十五：与球有关的最值问题 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 题型十七：内切球之正四面体模型 题型十八：内切球之棱锥模型 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 题型二十一：棱切球之正四面体模型 题型二十二：棱切球之正棱锥模型 题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 题型二十四：多球相切问题 【方法技巧与总结】 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点七：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 知识点八：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 知识点九：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点十：最值模型 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 知识点十一：二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 知识点十二：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点十三：圆锥圆柱圆台模型 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点十四：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点十五：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：外接球之正方体、长方体模型 【例1】若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 【变式1-1】一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 题型二：外接球之正四面体模型 【例2】正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-2】已知正四面体外接球的表面积为，则该正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 【例3】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 题型四：外接球之直棱柱模型 【例4】如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为 . 【变式4-1】在正六棱锥中，底面中心为，，．若平行于底面的平面与正六棱锥的交点分别为，，，，，，构造一个上底面为正六边形，下底面在平面里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ． 【变式4-2】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 ． 题型五：外接球之直棱锥模型 【例5】已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为 . 【变式5-1】在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 【例6】正四棱台，上下底面分别是边长为2，3的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ． 【变式6-1】已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 【例7】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式7-2】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 【例8】已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（    ） A．8 B． C． D．2 【变式8-2】《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 (　   ) A． B． C． D． 【变式8-3】已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型九：外接球之垂面模型 【例9】在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .   【变式9-1】在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 ． 【变式9-2】如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 题型十：外接球之二面角模型 【例10】如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 【例11】在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知为球的直径，，是球面上两点，且，，，若球的体积为，则棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 题型十二：外接球之共斜边拼接模型 【例12】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式12-2】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（       ） A． B． C． D． 题型十三：外接球之坐标法模型 【例13】正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】空间直角坐标系中， 则四面体ABCD外接球体积是（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十四：外接球之空间多面体 【例14】半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ） A．多面体有12个顶点，14个面 B．多面体的表面积为3 C．多面体的体积为 D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 【变式14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ） A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为 题型十五：与球有关的最值问题 【例15】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 【例16】已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为 . 【变式16-1】已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【变式16-2】一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 题型十七：内切球之正四面体模型 【例17】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式17-2】边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型十八：内切球之棱锥模型 【例18】正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是 ． 【变式18-1】已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 . 【变式18-2】正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 【例19】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【变式19-1】若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ． 【变式19-2】在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 【例20】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【变式20-1】我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 题型二十一：棱切球之正四面体模型 【例21】正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式21-1】已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 【变式21-2】如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 题型二十二：棱切球之正棱锥模型 【例22】若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【变式22-1】与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【变式22-2】已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 【例23】在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式23-1】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型二十四：多球相切问题 【例24】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式24-1】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式24-2】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题01 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题 【题型归纳目录】 题型一：外接球之正方体、长方体模型 题型二：外接球之正四面体模型 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 题型四：外接球之直棱柱模型 题型五：外接球之直棱锥模型 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 题型九：外接球之垂面模型 题型十：外接球之二面角模型 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 题型十二：外接球之共斜边拼接模型 题型十三：外接球之坐标法模型 题型十四：外接球之空间多面体 题型十五：与球有关的最值问题 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 题型十七：内切球之正四面体模型 题型十八：内切球之棱锥模型 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 题型二十一：棱切球之正四面体模型 题型二十二：棱切球之正棱锥模型 题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 题型二十四：多球相切问题 【方法技巧与总结】 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点七：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 知识点八：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 知识点九：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点十：最值模型 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 知识点十一：二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 知识点十二：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点十三：圆锥圆柱圆台模型 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点十四：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点十五：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：外接球之正方体、长方体模型 【例1】若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 【答案】A 【解析】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5， ∴长方体的对角线长为： ， ∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为 ，可得球的表面积为 ． 故选A． 【变式1-1】一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 【变式1-2】若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的边长为，则正方体的体对角线， 则正方体的表面积为，球的表面积为， 所以该正方体表面积与球表面积的比值是， 故选:B. 题型二：外接球之正四面体模型 【例2】正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 如图所示, 设点 为正四面体 的外接球球心, 则 , 且 ， 当与同向时, 的值最大， ，， ∴，， ∴， 故选：C. 【变式2-1】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 【变式2-2】已知正四面体外接球的表面积为，则该正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接球半径为，则， 解得， 将正四面体恢复成正方体， 知正四面体的棱为正方体的面对角线， 故，解得， 故该正四面体的表面积为， 故选：C. 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 【例3】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 【变式3-1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【变式3-2】（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 题型四：外接球之直棱柱模型 【例4】如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且. 设的中点为，连接，则平面. 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得点在上， 设，外接球的半径为，连接. 因为，所以，即，又， 则，因为，所以，则. 故答案为：. 【变式4-1】在正六棱锥中，底面中心为，，．若平行于底面的平面与正六棱锥的交点分别为，，，，，，构造一个上底面为正六边形，下底面在平面里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，依题意画出示意图， 设正六棱柱为，其中上底面的中心为，球心为，下底面的中心为． 因为，， 所以在中， ， 所以， 设，， 因为， 所以， 所以， 设正六棱柱的外接球半径为， 在中，， 所以， 当且仅当时取得最小值为， 此时球O的半径， 所以球O的体积. 故答案为：. 【变式4-2】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 ． 【答案】 【解析】 如图，设正三棱柱的外接球的半径为，则，解得， 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为， 连接的中心，则线段的中点即为球心， 依题意，内切圆半径为，得， 则，解得,故三棱柱的体积为 故答案为：． 题型五：外接球之直棱锥模型 【例5】已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】因为三棱锥，底面，，，，， 所以将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同， 由题意可得长方体的体对角线为， 由长方体的体对角线的其外接球的直径，所以，即， 所以外接球的表面积， 故答案为：． 【变式5-1】在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 【变式5-2】如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 正三棱锥， 所以， 所以外接球半径， 则外接球球心在AO的延长线上， 所以，则， 所以在中，， 即，解得， 所以外接球表面积为 故答案为：. 【例6】正四棱台，上下底面分别是边长为2，3的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意知正四棱台的上下底面外接圆半径分别为，， 则正四棱台的高为， 设上下底面正方形的中心分别为，，作出棱台的对角面，如图所示， 则该四棱台的外接球的球心在直线上，且， 又，，， 由图可得，， ，， ，， 又或， ， ，又， ， 易知函数在上单调递减， 则当时，， 所以，则，所以， 所以该棱台外接球表面积. 故答案为：. 【变式6-1】已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 【例7】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意画出图形，如图所示， 分别取，的中点，，连接，，， 又， 所以，，， 由图形的对称性可知：球心必在的延长线上， 设球心为，连接，， 设半径为，，， 可知，为直角三角形， 所以，所以， 解得，， 所以球的表面积为. 故选：. 【变式7-1】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 因为， 所以点P在平面内的射影是的外心， 即斜边的中点，且平面平面， 于是的外心即为三棱锥的外接球的球心， 因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径． 因为，， 所以， 于是， 根据正弦定理知的外接圆半径R满足， 所以三棱锥的外接球半径为， 因此三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 【变式7-2】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【解析】取的中点，连接，因为， 所以和都是等边三角形，所以， 所以是二面角的平面角，即， 设球心为，和的中心分别为，则平面，平面， 因为，公共边，所以≌， 所以， 因为，所以， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为 故答案为： 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 【例8】已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 【变式8-1】已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为， 对应圆锥的外接球半径分别为， 由题可得，，同理得：， 由，得 又，化简得， ， 故选：C 【变式8-2】《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 (　   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知， 其外接球的直径是， 设圆柱的底面圆半径为，母线长为， 则，解得， 又， ， 解得， 外接球的半径为， 外接球的体积为． 故选． 【变式8-3】已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆台轴截面如下图示，圆为圆台外接球的截面，为圆台上下底面的圆心， 根据已知，圆台的高， 设球体半径为，则，可得，则. 故选：C 题型九：外接球之垂面模型 【例9】在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .   【答案】 【解析】因为平面平面，, 且平面平面，平面, 所以平面，平面, 所以. 在△中，因为， ， ∴，，所以 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系. ∵点为的中点，是上的一个动点， ∴，， 设△的重心为，则， 三棱锥外接球的球心为，则， 则有，即 则， ∴，当且仅当，即时，等号成立. 设三棱锥外接球半径为，表面积为，则 所以. 故答案为：. 【变式9-1】在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，面内作，因为，所以为的中点， 因为平面平面，且平面平面，且平面， 所以平面，又平面，所以， 由题意知，可得，且，所以， 对棱相等的三棱锥可放置在边长分别为的长方体中， 可得，，， 设三棱锥外接球的半径为，可得， 故外接球表面积为． 故答案为：. 【变式9-2】如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心， 则平面． 因为二面角的大小为，即平面平面， 设为线段的中点，外接球的半径为， 连接， 过作于点， 易知为的中心，则， 因为， 故，， 在中，， 故，则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 题型十：外接球之二面角模型 【例10】如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 取中点，中点，连接，，由题意可知： ，，所以为二面角的平面角，. 由题意可得为等腰直角三角形，所以为的外心， 过作直线平面，则三棱锥外接球的球心必在直线上. 因为平面，平面，所以，所以在平面中. 又为的外心，连接，则平面. 所以. 由于，，则， 为等腰直角三角形，故， 在中， ，，，所以. 所以三棱锥外接球的半径：， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故选：D 【变式10-1】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则平面，得平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，由， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：D 【变式10-2】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则，，平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：A 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 【例11】在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点P到底面ABC的距离为，点到底面ABC的距离为， 则. 连接、，则三棱锥是棱长为2的正四面体， 取的中点，连接，作，则平面， 即，在正中，， 在中，， 即，即点P到底面ABC的距离为. 故选：D. 【变式11-1】已知为球的直径，，是球面上两点，且，，，若球的体积为，则棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，得， 而为球的直径， 知，， 又在中，，所以， 在中，，则， 所以，而平面，， 平面， 而，，， 棱锥的体积. 故选：. 【变式11-2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】A 【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径 O为中点， ∴，， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 设，由球O的体积为，可得， 则， ∴三棱锥的体积为9， 故选∶A． 题型十二：外接球之共斜边拼接模型 【例12】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ， ∴ 平面PBD，∴，即， 取PC的中点M，如下图： 连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC， 在中MO=PC， ∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心， 在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，      ， 外接球半径为 ，外接球的体积为 ； 故选：B． 【变式12-1】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则，所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为． 故选：C． 【变式12-2】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD， 因为， 所以， 则， 所以O为其外接球的球心，设球的半径为R， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以平面AOB， 所以， 解得， 所以其外接球的体积为， 故选：D 题型十三：外接球之坐标法模型 【例13】正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的周长为，由于为定值，即最小时，的周长最小， 如图，将平面展成与平面同一平面，则当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为，，解得：， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， ，， 连结，因为平面，平面， 所以，又因为，且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 同理，且， 所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过△的中心． 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，，，则， 即， 解得：，，所以外接球的表面积. 故选：C. 【变式13-1】空间直角坐标系中， 则四面体ABCD外接球体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，则是长方体， 其对角线长为， ∴四面体外接球半径为． ， 故选：B． 【变式13-2】在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， 则， 由为正方体的三个顶点，故为该正方体的体对角线， 则该正方体的外接球球心坐标中点，即为. 故选：B. 题型十四：外接球之空间多面体 【例14】半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ） A．多面体有12个顶点，14个面 B．多面体的表面积为3 C．多面体的体积为 D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 【答案】B 【解析】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点， 该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确； 多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为， 所以多面体表面积为，B项错误； 将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为， 所以多面体体积，C项正确； 原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为， 所以以该点为球心，为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确； 故选：B. 【变式14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为， 则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2， 可得正方体体对角线长，外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故选：D. 【变式14-2】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ） A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为 【答案】D 【解析】如下图所示：设的中心为，的中心为， 取BC的中点为W，分别连接和，因为，， 所以为的二面角，，， 所以，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角的余弦值为， 所以二面角的余弦值为，故A正确 因为棱长为的正四面体的高， 所以，故B正确； 设外接球的球心为O，的中心为，的中心为， 因为截角四面体上下底面距离为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，故C正确； 由正四面体中，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形， 4个边长为a的正六边形构成，故，故D错误. 故选：D. 题型十五：与球有关的最值问题 【例15】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，因为， 所以，所以， 所以，所以四边形必存在一个外接圆， 且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面， 设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接， 则为的中心，且必位于底面的上方， 设，外接球的半径为，则， 所以，所以，当且仅当时， 即与重合时，外接球表面积取得最小值为. 故选：C. 【变式15-1】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 故选：B. 【变式15-2】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且， 设的中点为，连接，则，则平面， 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上， 设，，外接球的半径为， 因为，所以， 即，又，则， 因为，所以 所以三棱锥外接球表面积的最大值为. 故选：B. 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 【例16】已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设点，所以，， 所以 ， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值，所以的取值范围为. 故答案为： 【变式16-1】已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 【变式16-2】一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 【答案】/ 【解析】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为， 所以所求球的体积为. 故答案为： 题型十七：内切球之正四面体模型 【例17】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径， 则该球的表面积为． 故选：A． 【变式17-1】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心， 则，. ，， ， 又，， 内切球表面积. 故选：. 【变式17-2】边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为， ， 设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为， 由等体积法可得，解得， 因此，该正四面体的内切球的体积为. 故选：D. 题型十八：内切球之棱锥模型 【例18】正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是 ． 【答案】 【解析】设内切球半径为，则 三棱锥高：；斜高：， 表面积：， 体积：，得， 所以内切球的表面积为 故答案为: 【变式18-1】已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 . 【答案】 【解析】 因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直 三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且； ，当时，取得最大值. 过点向平面作垂线，设的中点为垂足为， 因为，，所以由余弦定理知， 所以，易得. 所以. 因为， 设内切球的半径为，则根据等体积法，有： ， 即，解之得， 所以其内切球的表面积为 故答案为： 【变式18-2】正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上， ，则，侧面上高为， 则正三棱锥的表面积为， 则正三棱锥的体积为， 即，故， 又，则，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为3， 故答案为：3 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 【例19】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【解析】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 【变式19-1】若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ． 【答案】3π 【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形， 设外接球的半径为R，则有，(负值舍去） 因此圆锥的高为，底面圆半径为， 从而圆锥的体积为. 故答案为：3π. 【变式19-2】在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 【答案】 【解析】如图，取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：. 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 【例20】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 【变式20-1】我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 题型二十一：棱切球之正四面体模型 【例21】正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为， 所以棱切球的体积为． 故选：C． 【变式21-1】已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 【答案】 【解析】将四面体补成正方体，则四面体的棱长全是该正方体的面对角线， 球与正四面体六条棱相切，则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点， 正四面体的棱长为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故正方体内切球的半径， 正四面体的棱长为， 设底面三角形的高为，则， 即， 底面三角形的面积 顶点在底面的投影位为底面三角形高的处， 设正四面体的高为， 由勾股定理得， 则正四面体的体积为， 球与正四面体四个面相切， 则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径， 则正四面体的体积为， 则由等体积法得， 可得， 则. 故答案为：. 【变式21-2】如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 【答案】 【解析】 在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图， 由分别为棱的中点，得， 而平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 而平面平面， 因此平面，而，，，则， 球半径，，从而， 球被平面截得的截面圆半径， 所以球被平面截得的截面周长. 又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆， 且圆的半径为， 所以球被正四面体表面截得的截面周长为. 故答案为： 题型二十二：棱切球之正棱锥模型 【例22】若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示： 设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点， 球与棱分别切于点，则，球的半径为， 注意到在边长为1的等边三角形中，，， 且底面，底面，所以， 所以，， 所以，而，所以，即， 解得（舍去）， 从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为. 故答案为：. 【变式22-1】与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得. 故选：C. 【变式22-2】已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，连结与底面的中心，则平面， 由题意侧棱与底面所成角， 则， 又因， 所以， 因底面为正三角形，中心为， 所以，即， 所以正三棱锥为正四面体. 将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为． 表面积 故选：B 题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 【例23】在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 【变式23-1】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，是的中心， 根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，， 且，，为球的半径． 由勾股定理易得，由正弦定理可求得， 由勾股定理可求得． ∵，均为球的切线，∴， ∵与相似，∴， 即，∴， ∴球的体积为． 故选：B． 【变式23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 题型二十四：多球相切问题 【例24】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 【变式24-1】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 【变式24-2】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 故选：A 59 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$