9.4矩形、菱形 、正方形（矩形） （巩固练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形 、正方形（矩形） （巩固练习） 【典型例题】 【例1】矩形的对角线长为10，两邻边之比为，则矩形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 50 D. 以上答案都不对 【例2】下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【例3】如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则______． 【例4】 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点，处，则阴影部分图形的周长为_______． 【例5】 已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点． (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积． 【举一反三】 【变式1】矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别相等 B. 两组对角分别相等 C. 两条对角线互相平分 D. 两条对角线相等 【变式2】如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是（    ）    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A．④②①③ B．①③④② C．②④①③ D．③①④② 【变式3】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，O为矩形的对角线交点，平分交于E，于F，，则______． 【变式5】 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长． 【巩固练习】 1.如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心 C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（　　） A．28 B．32 C．48 D．50 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E从点B开始，沿矩形的边BA﹣AD运动，AB＝3，BC＝4，CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是（　　） 4.如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB＝3，BC＝4，则BF的长为（　　） A． B． C． D．1 5. 如图，矩形中，，，则的长为____． 6.如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 7.已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形． 8.如图，AC=BC，D是AB的中点，CEAB，． （1）求证：四边形CDBE是矩形； （2）若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长． 9.如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数． 10. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与边AD、AB分别交于点E、F． （1）若BP＝4，求BF的长； （2）要使折痕始终与边AD、AB有交点，则BP的取值范围是______． 答案解析 【典型例题】 【例1】矩形的对角线长为10，两邻边之比为，则矩形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 50 D. 以上答案都不对 【答案】A 【例2】下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【例3】如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则______． 【答案】 【例4】 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点，处，则阴影部分图形的周长为_______． 【答案】36 【例5】 已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点． (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积． 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴AM=AB，CN=CD， ∴AM=CN，且AB∥CD， ∴四边形AMCN是平行四边形； （2）∵AC=BC=5，AB=6，M是AB中点， ∴AM=MB=3，CM⊥AM， ∴CM=， ∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥SM， ∴AMCN是矩形， ∴S四边形AMCN=12. 【举一反三】 【变式1】矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别相等 B. 两组对角分别相等 C. 两条对角线互相平分 D. 两条对角线相等 【答案】D 【变式2】如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是（    ）    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A．④②①③ B．①③④② C．②④①③ D．③①④② 【答案】B 【变式3】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式4】如图，O为矩形的对角线交点，平分交于E，于F，，则______． 【答案】 【变式5】 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长． 【答案】（1）∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE，BDAE， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∴CD＝AE． ∴四边形ADCE是平行四边形． 又∵AB＝AC，D为边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． （2）∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°， ∴矩形ADCE是正方形， ∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°， ∴ACAE＝2， 即矩形ADCE对角线的长为2． 【巩固练习】 1.如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心 C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴 【答案】A 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（　　） A．28 B．32 C．48 D．50 【答案】C 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E从点B开始，沿矩形的边BA﹣AD运动，AB＝3，BC＝4，CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 4.如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB＝3，BC＝4，则BF的长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 5. 如图，矩形中，，，则的长为____． 【答案】 6.如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 【答案】12 7.已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EO＝BD， 在Rt△AEC中，∵O为AC的中点， ∴EO＝AC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形． 8.如图，AC=BC，D是AB的中点，CEAB，． （1）求证：四边形CDBE是矩形； （2）若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长． 【答案】（1）是中点， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， 是矩形． (2)， ． ， ． ， ， ． 9.如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数． 【答案】（1）∵OC＝AO，OD＝BO ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AC＝2AO，BD＝2BO 又∵AO＝BO ∴AC＝BD ∴四边形ABCD是矩形； （2）如图：连接OE与BD交于F ∵四边形AOBE是平行四边形 ∴AE＝BO 又∵AO＝BO ∴AO＝AE ∵CE⊥AE ∴∠AEC＝90° ∵OC＝OA ∴OE＝AC＝AO ∴OE＝AO＝AE ∴△AOE是等边三角形， ∴∠OAE＝60° ∵∠OAE＋∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝120°． 10. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与边AD、AB分别交于点E、F． （1）若BP＝4，求BF的长； （2）要使折痕始终与边AD、AB有交点，则BP的取值范围是______． 【答案】（1）由题意得，AF＝PF、， ∵， ∴． ∵在中，，BP＝4， ∴． ∴． （2）分两种情况： 如图，当E、D重合时，BP的值最小； 根据折叠的性质知：AE=PE=10， ∵在Rt△PEC中，PE=10，EC=8， ∴PC=6， ∴BP=10-6=4； 当F、B重合时，BP的值最大； 根据折叠的性质，即可得到AB=BP=8， 即BP的最大值为8． 综上所述，BP的取值范围是． 故答案为∶． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$