微专题5-3 函数的单调性8种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-3 函数的单调性8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求不含参函数的单调区间 题型2 原函数与导函数间的关系 题型3 求含参函数的单调区间 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 题型5 比较大小 题型6 解抽象不等式 题型7 构造函数问题 题型8 证明不等式 知识点1 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点2 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 知识点3 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 恒有f′(x)＝0 是常数函数，不具有单调性 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． ②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． ③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。 ④利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 知识点4 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 解题策略1.导数判别函数的单调性： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 解题策略2.利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 解题策略3.已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 解题策略4.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． 注意：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 解题策略5.导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件： 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 解题策略6.导数与函数单调区间的关系： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 解题策略7.含参分类讨论函数的单调区间： 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论 解题策略8.研究函数与导函数图象之间关系的方法 1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。 2、函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型1 求不含参函数的单调区间 【例1】函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 【变式1】求函数的单调区间． 【答案】减区间为，增区间为 【详解】由函数，可得的定义域为，且， 令，可得，解得， 令，可得，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为． 【变式2】函数，的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以, 即，. 单调增区间为. 故选：A. 【变式3】求下列函数的单调区间. （1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2. 【答案】（1）增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)； （2）增区间为(－∞，-)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，). （3）单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)； （4）单调递增区间为，，单调递减区间为. 【解析】（1）＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令>0，得x>1，或x<－1.令<0，得－1<x<1. ∴f(x)的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1). （2）＝1－＝， 由>0，解得x<－，或x>.由<0，解得－<x<，(x≠0). ∴函数的增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，). （3）函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2. 所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)． 令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)． (4) 函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.y′＝＋2x＝＝. 令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.所以函数的单调递增区间为，. 令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函数的单调递减区间为. 题型2 原函数与导函数间的关系 【例2】函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解. 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 故选：B. 【变式1】函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】结合图象可得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 【变式2】函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【答案】 【详解】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 【变式3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 【变式4】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 【变式5】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式6】已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 【变式7】已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【详解】时，单调递减；时，单调递增， 已知图象中在上单调递减，在上单调递增， 且有两个零点和的是， ， 由图象可知：当时，；当时，； 当时，；当时，； 在上不单调，A错误； 在上单调递减，B正确； 在，上单调递增，CD错误. 故选：B. 题型3 求含参函数的单调区间 【例3】已知函数，求函数的单调区间． 【解析】由题意知：定义域为，； ①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式1】已知函数，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性. 【详解】由题意知：函数的定义域为，且， 令，解得或2， 当时，令，解得或；令，解得； 可知在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得；令，解得或； 可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述： 当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 【变式2】设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可； （2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 【变式4】已知函数，求函数的单调增区间； 【解析】，，注意到， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零， 所以在及上递增； 【变式5】已知函数（）．若，讨论函数的单调性； 【解析】（1）． 当时，，∴在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【变式6】已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，进而可得切线方程为，进而可得恒过原点； （2），分，，三种情况讨论可得的单调性. 【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 故切线方程为，即，所以恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增； 在上单调递减． 【变式7】已知函数．讨论当时，的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】由题意，则， 当时，对于，则恒成立，在上单调递减． 当时，对于有2个大于0的零点，分别是， 当时，在上单调递增； 当时，，在和上单调递减． 综上， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 【例4】若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【详解】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 【变式1】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 【变式2】已知函数的减区间为，则 . 【答案】3 【解析】由题意可得，，解集为，则. 故答案为：3 【变式3】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式4】若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，分和两种情况，结合在区间内存在单调减区间，求出的取值范围即可. 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 【变式5】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 【变式6】函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在上不单调，可得在上 必有零点，利用,构造函数,再求出的取值范围. 【详解】依题意, 因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 令，令，得 , 令，则 , 当时，单调递增，又， 所以，故, 所以的取值范围是 故选：D 【变式7】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 题型5 比较大小 【例5】已知函数，且，，，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为，且， 为偶函数，当时，， 所以在为增函数， 又，， 所以，则， 又，则. 故选：A. 【变式1】已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，则，所以 又时，，所以恒成立 所以在上单调递增； 又，， 所以，则. 故选：A. 【变式2】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以函数定义域为，， 所以函数为偶函数，故， 当时，， 所以， 因为，所以， 所以在单调递增，故即， 所以在单调递增，又， 所以，所以. 故选：A. 【变式3】已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 【变式4】已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：由题知的定义域为，，所以是偶函数， 记，当时，，所以在上单调递增， 则在上单调递减， 因为，所以， 而. 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以， 又因为指数函数在上单调递减，所以， 所以， 所以，即. 方法二：由题知的定义域为，，所以是偶函数， ，当时，，即， 所以当时，，则在上单调递减， 因为，所以， 而. 因为指数函数在上单调递减， 所以， 因为幂函数在上单调递增， 所以，所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 题型6 解抽象不等式 【例6】设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数， 因为， 所以函数为增函数， 所以不等式可化为， 则，， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式1】已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以, 令, 因为，所以单调递减， 单调递减， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当时， 单调递增， 单调递增， 所以. 故选：B. 【变式2】已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，，所以，所以为偶函数， ，令， 当时，单调递增，则当时，单调递减， 所以不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 所以对任意恒成立，等价于，对任意恒成立， 当时，，符合题意，； 当时，等价于， 等价于，即； 当时，等价于， 等价于，即； 综上，对任意恒成立时，实数的取值范围是. 故选：A 【变式3】已知函数.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以是上的增函数， 因为 所以， 解得. 故选：B. 题型7 构造函数问题 【例7】已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，则． 由，均有，即，则在上单调递增， ，可得． 故选：B 【变式1】【多选】已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令， 对于任意的， 所以在上单调递增， 所以，A不对； ，B正确； ，C正确； ，D不对． 故选：BC 【变式2】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错. 故选：C 【变式3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，求导判断函数为单调递减，从而可得在上，在上，，求出不等式的解集即可. 【详解】令，则， 可知在上为减函数，而， 在上，，，所以 ； 在上，，，而，； 可得在上， 又因为是定义在上的奇函数，则在上，， 不等式等价于或 ，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4】已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，由题意可得在上单调递增，不等式可转化为，结合函数单调性计算即可得. 【详解】令，则有， 由在上恒成立，故在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 题型8 证明不等式 【例8】证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)． 【证明】　令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0， ∴f(x)≥0，即ex≥x＋1， 令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0， ∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0， ∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)， 综上，ex≥x＋1≥sin x＋1. 【变式1】已知，函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）求证：． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）对函数求导，按和两类分别讨论函数的单调性； （2）要证明成立，只需证明在上成立即可．构造，求导判断单调性并求出最值代入，可证明不等式成立． 【详解】（1）∵，， ∴                 讨论：①当时，，在上单调递增；          ②当时，由得，且，∴方程有两根，分别为，． 当时，，∴在上单调递增； 当时，，∴在上单调递减．       综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）要证明成立，只需证明在上成立即可． 令，则            ∵，再令， 显然在上为减函数，且，． ∴，使得，即               当时，，∴，此时为增函数； 当时，，∴，此时为减函数．     ∴．                 又∵，∴，两边同时取对数，得． ∴                 ∴即．故成立．            另法： 要证，即证， 即证，即证，即证， 令，即证， 令，则，易知在， ∴，∴，所以． $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-3 函数的单调性8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求不含参函数的单调区间 题型2 原函数与导函数间的关系 题型3 求含参函数的单调区间 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 题型5 比较大小 题型6 解抽象不等式 题型7 构造函数问题 题型8 证明不等式 知识点1 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点2 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 知识点3 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 恒有f′(x)＝0 是常数函数，不具有单调性 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． ②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． ③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。 ④利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 知识点4 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 解题策略1.导数判别函数的单调性： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 解题策略2.利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 解题策略3.已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 解题策略4.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． 注意：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 解题策略5.导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件： 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 解题策略6.导数与函数单调区间的关系： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 解题策略7.含参分类讨论函数的单调区间： 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论 解题策略8.研究函数与导函数图象之间关系的方法 1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。 2、函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型1 求不含参函数的单调区间 【例1】函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【变式1】求函数的单调区间． 【变式2】函数，的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】求下列函数的单调区间. （1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2. 题型2 原函数与导函数间的关系 【例2】函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【变式1】函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式2】函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【变式3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【变式4】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【变式6】已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式7】已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 题型3 求含参函数的单调区间 【例3】已知函数，求函数的单调区间． 【变式1】已知函数，讨论的单调性． 【变式2】设函数，其中．讨论的单调性． 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【变式4】已知函数，求函数的单调增区间； 【变式5】已知函数（）．若，讨论函数的单调性； 【变式6】已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【变式7】已知函数．讨论当时，的单调性． 题型4 已知函数的单调区间求参数的范围 【例4】若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的减区间为，则 . 【变式3】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【变式6】函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型5 比较大小 【例5】已知函数，且，，，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型6 解抽象不等式 【例6】设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 构造函数问题 【例7】已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】【多选】已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【变式4】已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 题型8 证明不等式 【例8】证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)． 【变式1】已知，函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）求证：． $$