专题2.2 一元二次方程根的判别式（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.2 一元二次方程根的判别式 · 典例分析 【典例1】一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． （1）当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 （2）下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． （3）当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了新定义，涉及因式分解法解一元二次方程，根的判别式判断根的情况，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到，则或，解方程即可； （2）分别判断每个方程化为两个一元二次方程后的根的判别式值即可； （3）先得到，然后利用根的判别式进行讨论． 【解题过程】 （1）解： ∴或 解得：， 故选：B． （2）解：①中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴①符合题意； ②中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴②符合题意； ③， 或， 分别解得， ∴③符合题意； ④，则或，分别解得， ∴④不符合题意； ⑤中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴⑤符合题意， 故答案为：①②③⑤； （3）解：由题意得， ①当，即时，没有实数根； ②当，即时，有四个实数根， 则或， 分别解得， 当且时，该方程有四个实数根互不相等（即互不相等）； 当时，该方程的四个实数根有且只有两个根相等（即互不相等，） 当时，该方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即） · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论错误的是（   ） A．如果，那么这两个方程一定都有两个不相等的实数根 B．如果是的倒方程的解，则 C．如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解 D．如果是一元二次方程的根，则也是倒方程的根 4．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）关于的多项式： ，其中为正整数，都是整数，且，我们称这样的多项式为“降系多项式”． ①是“降系多项式”．②若关于的多项式是“降系多项式”，且，则关于x的方程无实数根．③若关于的多项式是“降系多项式”，且．则满足条件的不同的多项式共有7个；以上说法中正确的个数是 （   ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（24-25九年级上·重庆·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 7．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24八年级上·上海·单元测试）不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如果关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·上海·期中）若方程与方程至少有一个相等的实数根，那么实数的值为 ． 12．（24-25九年级上·全国·期末）已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ． 13．（24-25九年级上·重庆·期末）已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ． 14．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 15．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ． 16．（23-24九年级上·重庆大足·期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 18．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知一元二次方程．有如下四组条件：①，；②，；③，；④，． （1）能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是_______；（填序号） （2）选择（1）中的一组条件解方程． 19．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程（）． （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根； （2）小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 23．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程有两个实数根； （2）若的两边的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值． 24．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”： ①； ②； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值： （3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差1方程”，设 ，求t的最大值． 25．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； （2）已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． （3）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为_________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一元二次方程根的判别式 · 典例分析 【典例1】一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． （1）当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 （2）下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． （3）当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了新定义，涉及因式分解法解一元二次方程，根的判别式判断根的情况，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到，则或，解方程即可； （2）分别判断每个方程化为两个一元二次方程后的根的判别式值即可； （3）先得到，然后利用根的判别式进行讨论． 【解题过程】 （1）解： ∴或 解得：， 故选：B． （2）解：①中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴①符合题意； ②中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴②符合题意； ③， 或， 分别解得， ∴③符合题意； ④，则或，分别解得， ∴④不符合题意； ⑤中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴⑤符合题意， 故答案为：①②③⑤； （3）解：由题意得， ①当，即时，没有实数根； ②当，即时，有四个实数根， 则或， 分别解得， 当且时，该方程有四个实数根互不相等（即互不相等）； 当时，该方程的四个实数根有且只有两个根相等（即互不相等，） 当时，该方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即） · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【思路点拨】 本题考查根据一元二次方程解的情况求未知系数的取值范围，由题可得，代入原式整理得，然后根据方程有实数根得到，即，然后求出t的取值范围，解题即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵存在实数b， ∴方程有实数根， ∴，即， 整理得， 解得， 所以的最大值为，最小值为，最大值和最小值的和为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【思路点拨】 此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【解题过程】 解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论错误的是（   ） A．如果，那么这两个方程一定都有两个不相等的实数根 B．如果是的倒方程的解，则 C．如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解 D．如果是一元二次方程的根，则也是倒方程的根 【思路点拨】 本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，根据判别式判断一元二次方程的解是解题的关键．根据一元二次方程的解，根的判别式逐项分析判断即可． 【解题过程】 解：A、对于方程和， 其根的判别式均为， ∵， ∴， 又∵， ∴的取值不确定，故无法确定这两个方程一定都有两个不相等的实数根，选项A不正确，符合题意； B、是一元二次方程的倒方程， 将代入，解得，故选项B正确，不符合题意； C、∵一元二次方程无解， ∴，它的倒方程的根的判别式也为， ∴它的倒方程也无解，故选项C正确，不符合题意； D、若是一元二次方程的根， 则有， ∴， 即也是倒方程的根， 故选项D正确，不符合题意． 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【解题过程】 解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性，故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴，故④正确． 故选：B． 5．（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）关于的多项式： ，其中为正整数，都是整数，且，我们称这样的多项式为“降系多项式”． ①是“降系多项式”． ②若关于的多项式是“降系多项式”，且，则关于x的方程无实数根． ③若关于的多项式是“降系多项式”，且．则满足条件的不同的多项式共有7个； 以上说法中正确的个数是 （   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】 本题考查完全平方公式，根与判别式，求不等式组的整数解，利用完全平方公式展开结合新定义判断①，根的判别式结合新定义，判断②；根据新定义推出，求出整数解判断③． 【解题过程】 解：，，故不是“降系多项式”，故①错误； ∵， ∴， ∵关于的多项式是“降系多项式”，且， ∴且为整数， ∴当最大为，最小为1时，此时的值最大，为， ∴关于x的方程无实数根，故②正确； ∵的多项式是“降系多项式”， ∴当时，的和最小为15， ∴， ∴， 当时，， 当时， 当时， 或； 当时，或，或； 综上：满足条件的不同的多项式共有7个；故③正确； 故选B． 6．（24-25九年级上·重庆·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【思路点拨】 本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【解题过程】 解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 7．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 本题主要考查了代数式求值，解一元二次方程，根的判别式，根据，得出，求出，得出①正确；根据，得出或，解方程判定②错误；当式子中取值为与时，对应的值相等，整理得出，当时，即时，成立，此时，，或时，无论m取何值，的值一定相等；当时，成立，，当时，的最大值为3，判断③错误． 【解题过程】 解：①∵， ∴， ∴， 把代入得： ，故①正确； ②当时，， ∵， ∴， ∴或， ∵方程中， ∴此方程无解； 解方程得：或，故②错误； ③∵当式子中取值为与时，对应的值相等， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴当时，即时，成立， 此时，， ∴或时，无论m取何值，的值一定相等； 当时，成立， ∴， 解得：， 此时的最大值为3； ∴当时，的最大值为3；故③错误； 综上分析可知：正确的有1个； 故选：B． 8．（23-24八年级上·上海·单元测试）不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，据此计算即可解答． 【解题过程】 解：（1），，则方程有两个不相等的实数根； 故答案为：，有两个不相等的实数根； （2），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （3），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （4），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （5），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （6），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （7），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （8），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （9），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （10），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （11），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （12），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （13），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （14），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （15），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （16），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （17），，则方程无实数根． 故答案为：，无实数根． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如果关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【思路点拨】 本题考查了方程有实根的情况，熟练掌握一元二次方程的根的判别的应用是解题的关键．当的系数为0时，方程为一元一次方程，有实根；当的系数不为0时，一元二次方程有实根，则，从而得到结果． 【解题过程】 解：①当，即时，方程为有实根， ②当时有根， ， ， ， ， 综上所述，时，关于的方程有实数根， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的值为 ． 【思路点拨】 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式，非负数的性质，根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，． 【解题过程】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·期中）若方程与方程至少有一个相等的实数根，那么实数的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的根，以及根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．设相等的实数根为，则，，两式相减得： ，得到或，再根据题意和根的判别式综合分析即可求解． 【解题过程】 解：方程与方程至少有一个相等的实数根， 设相等的实数根为， 则，， 得：，即， 解得：或， 当时，方程为， 此时，方程无解； 当时，方程为， 解得：， 此时方程为， 解得：，符合题意， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·全国·期末）已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式，分别得到①；②；③；把②分别代入①③得不等式组，解之即可求解． 【解题过程】 解：根据题意得，， 即①； ， 即②； ， 即③； 把②分别代入①③得，， 解不等式组得；，而a为整数， 所以，再代入②得，， 解得， 所以． 故答案为：5 13．（24-25九年级上·重庆·期末）已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ． 【思路点拨】 本题考查了解分式方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握解分式方程及一元二次方程根的判别式是解题的关键．先解分式方程得，然后求得a的整数值，再根据一元二次方程根的判别式，求得，且，所以或5，即可求得答案． 【解题过程】 解：去分母得，， 整理得，， ， 关于y的分式方程有整数解， ，， 或3或或5， 当时，， 解得， 但是分母，即， ， 或3或5， 关于x的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 或5， 所有整数a的值之和为． 故答案为：8． 14．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【思路点拨】 若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【解题过程】 解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， ∵为完全平方数且为正整数， 设，t时整数， 则， 根据偶数的平方是偶数，偶数减去1是奇数，奇数不是48的倍数， 故t是奇数， 当即时，，此时，，符合题意； 当即时，，此时，不符合题意； 当即时，，此时，符合题意； 当即时，，此时，符合题意； 当即时，，此时，不符合题意； 当即时，，此时，不符合题意； 故符合题意的有3个， 故答案为：3． 15．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ． 【思路点拨】 当时，方程，此时方程只有两个不相等的实数根，不符合题意；当时，原方程可化为：或，分别表示出两个方程的，再分两种情况：当有两个解，有一个解时；当有一个解，有两个解时，分别进行计算即可得到答案． 【解题过程】 解：当时，方程为， 此时，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 当时，原方程可化为：或， 当时，整理得：， 此时， 当时，整理得：， 此时， 关于的方程有三个解， 当有两个解，有一个解时， 得， 解得：， 当有一个解，有两个解时， 得， 解得：， ， 不符合题意， ， 若关于的方程有三个解，则实数的值是9， 故答案为：9． 16．（23-24九年级上·重庆大足·期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【解题过程】 解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 17．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键．当，解得；当，有或，分别解不等式组即可得出答案． 【解题过程】 解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得：，或， 当时，， ∵， 设，则不在的范围内， ∴， 解得， 当时，原方程为：，解得，，，两个根都在的范围内，不符合题意； 当时，原方程为：，解得，，，不在的范围内，符合题意； 因此， 当时，， ∵， ∴不在的范围内， ∴， 解得无解， ∴的取值范围为或， 故答案为：或． 18．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知一元二次方程．有如下四组条件：①，；②，；③，；④，． （1）能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是_______；（填序号） （2）选择（1）中的一组条件解方程． 【思路点拨】 此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可． 【解题过程】 （1）解：由得： ①当，， ，方程有两个相等的实数根； ②，， ，方程有两个不相等的实数根； ③，， ，方程有两个不相等的实数根； ④，， ，方程无实数根； 综上可知能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是②③， 故答案为：②③； （2）解：选②，，则这个方程为， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； ③，，则这个方程为， ， 方程有两个不相等的实数根； ， ，．（二者选其一即可） 19．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解． 【思路点拨】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解方程． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法得出，然后试算求解方程即可． 【解题过程】 （1）证明：∵ ∴方程总有两个实数根； （2）由（1）得， ∴， ∵此方程的解均为整数， ∴为奇数， 当时，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，符合题意； ∴，方程的解为或． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 【思路点拨】 本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）根据（1）中得出的的取值范围，得出整数的值为，分别求出方程的解，即可解答． 【解题过程】 （1）解：根据题意得，， ， ． （2）解：， ， 是整数， ∴整数的值为， 当时，方程为， 解得：，符合题意． 当时，，此时方程解不为整数． 当时，方程为，此时方程解不为整数． 当时，方程为， 解得：，符合题意． 综上所述，的值为2或5． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程（）． （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根； （2）小明说：该方程总有一个固定的实数根．请你判断小明的说法是否正确？若正确，请求出该实数根；若不正确，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，有理数大小比较，根据判别式判断一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式来证明即可； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明： ， 关于的一元二次方程（）一定有两个不相等的实数根； （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 由求根公式可得： ， ，， 该方程总有一个固定的实数根， 小明的说法是正确的． 23．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程有两个实数根； （2）若的两边的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值． 【思路点拨】 （1）利用配方的方法将进行配方，然后说明； （2）分两种情况进行讨论，即当时，，求出k的值，和的长度，进行判断是否能构成三角形；当为腰时，将代入方程求出k的值，然后求出另外两边的长度进行判断是否能构成三角形． 本题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式和等腰三角形的性质． 【解题过程】 （1）解：∵关于x的一元二次方程 ∴ ， ∵无论k取何值， ， ∴， 即无论k为何值，方程有两个实数根； （2）解：∵第三边的长为5，且是等腰三角形 ∴，则方程有两个相等的实数根， 即， 解得：， 当时，则， 解得， ∴， ∵， 此时不满足三边关系； 若为的一腰，则方程有一根是5， 将代入方程， 整理得， 解得： 当时， 整理为， 解得， 此时满足三边关系． 当时，， ∵， 此时不满足三边关系． ∴综上所述：当是等腰三角形时，k的值为． 24．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”： ①； ②； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值： （3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差1方程”，设 ，求t的最大值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． （1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【解题过程】 （1）解：① ∴，， ∵， ∴是“差1方程”； ②解：∵ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴不是“差1方程”； （2）解： ∴， 或， 关于x的方程（m是常数）是“差1方程”， ∴或， 或0； （3）解：∵ 由题可得： ∴解方程得， 关于x的方程（a，b是常数，）是“差1方程”， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴当时，即时，的最大值为9． 25．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； （2）已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． （3）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【思路点拨】 （1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为_________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【解题过程】 （1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$