专题2.1 解一元二次方程（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.1 解一元二次方程 · 典例分析 【典例1】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，， （1）仿照以上方法解方程： ①；②； （2）已知：，且，则的值为________． 【思路点拨】 本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可． ②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可． （2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：①设，则原方程可变为， 解得，， 当时，即， ∴； 当时，即， ∴方程无解； ∴综上可得原方程有两个根：，． ②将变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ， ， ， 将代入上式可得， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（   ） A．l B．3 C． D．2.5 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 3．（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）下列结论①当时，若，则；②无论x取任何实数，等式都恒成立，则；③若，，则；④满足的整数解共有12个．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·重庆开州·期中）已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（    ） ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知方程和方程的根完全相同，则 ． 8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ． 10．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）若关于 x 的方程 的根为正整数，且关于 x 的方程的解为整数，则满足条件的所有整数 a 为 ． 11．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，是关于x的一元二次方程的两个根，那么关于x的一元二次方程的解为 ． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 ． 15．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是 ． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·自主招生）方程的实数根是 17．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ； 18．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程 19．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）解方程． 20．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 21．（23-24八年级上·上海青浦·期末）解方程： （1）； （2）； （3） 22．（2024·吉林长春·模拟预测）已知：，，求的值． 23．（23-24九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 24．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）对实数，定义运算如下： 当时，；当时，． 若，求的值（表示不超过的最大整数）． 25．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的一元二次方程（）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． （1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程： ①； ②． （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 26．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含的代数式表示． 27．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． （1）①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （2）已知实数满足，求的值； （3）解方程：． 28．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； （2）利用换元法解方程：． 29．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 30．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． （1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； （3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 31．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． （1）一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； （2）已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； （3）已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 解一元二次方程 · 典例分析 【典例1】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，， （1）仿照以上方法解方程： ①；②； （2）已知：，且，则的值为________． 【思路点拨】 本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可． ②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可． （2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：①设，则原方程可变为， 解得，， 当时，即， ∴； 当时，即， ∴方程无解； ∴综上可得原方程有两个根：，． ②将变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ， ， ， 将代入上式可得， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（   ） A．l B．3 C． D．2.5 【思路点拨】 本题考查的是配方法解一元二次方程，先利用配方法解方程，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论． 【解题过程】 解：原方程可化为， 整理得为， 解得， 若，则方程有四个实数根， 方程必有一个根等于0， ， ， 解得． 故选：B． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【思路点拨】 本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键．根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可． 【解题过程】 解：①当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），； ②当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），， ③当时，方程不成立． ∴此方程的所有实数根的和为： ． 故选：A． 3．（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可． 【解题过程】 解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 4．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【解题过程】 解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故①符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故②不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③不符合题意； 故选：D 5．（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）下列结论①当时，若，则；②无论x取任何实数，等式都恒成立，则；③若，，则；④满足的整数解共有12个．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 ①将代入代数式，计算即可；②提出来公因式，可求得结果；③两方程相加，令，可求得有两个值；④根据题意可得，列出整式解即可． 【解题过程】 解：①当时， 即， 则或， 即或， 故①错误； ②， 即， 则或， ∵取任何实数都成立， ∴， ∴， 故②正确； ③两式相加可得：， 则， 合并可得：， 令，可得， 解得或， 即或与原说法矛盾， 故③错误； ④， 即， ∴， 整数解有： 共13个， 故④错误； ∴正确的个数有1个， 故选：A． 6．（24-25九年级上·重庆开州·期中）已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（    ） ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了配方法的应用、含绝对值的式子的化简、解一元二次方程，整式的加减，熟练掌握相关方法是解题的关键． ①令解出的值，代入代数式即可； ②把代入，再配方求最小值； ③把代入求解； ④根据绝对值的意义求解． 【解题过程】 解：①若，则，解得，； 当时，；当时，；故①正确； ②当时，，， 当时，的最小值取在，此时值为；故②正确； ③当时，，，则，解得，；故③正确； ④当时，，，，． 当且，即时，； 当且，即时，； 当且，即时，； 综上，的取值范围是．故④错误； ∴正确的有三个． 故选：C． 7．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知方程和方程的根完全相同，则 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值． 【解题过程】 解：， ，， 把代入方程得，解得， 解方程方程，解得，， ， ． 故答案为． 8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程．首先根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有一个根为，可得关于的一元二次方程，用十字相乘法分解因式解方程可得：或(舍去)，把不符合要求的解舍去即可． 【解题过程】 解： 是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有一个根为， ， ， 分解因式得：， 或， 解得：或(舍去)， 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据题中所给的新运算法则，分和两种情况解方程即可． 【解题过程】 解：当，即时，， ， ， ∴， ∵， ∴舍去，只取； 当，即时，， ， ， ， ∴， 综上，x的值为或0或4， 故答案为：或0或4． 10．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）若关于 x 的方程 的根为正整数，且关于 x 的方程的解为整数，则满足条件的所有整数 a 为 ． 【思路点拨】 本题考查根据方程的解的情况求参照，先求出分式方程的解，得到为整数，且，进而得到，因式分解法求出一元二次方程的解，根据方程的解为正整数，得到，求解即可． 【解题过程】 解：∵， 解得：， ∵方程的解为整数，且， ∴为整数，且， ∴ ∴为一元二次方程， 解得：， ∵方程 的根为正整数， ∴， ∴， ∴ ∴或0； 故答案为：或0． 11．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程；通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【解题过程】 解：解方程，得：． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，是关于x的一元二次方程的两个根，那么关于x的一元二次方程的解为 ． 【思路点拨】 此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程．当时，将5代入得到，然后结合得到或，然后求解即可；当时，同理求解即可． 【解题过程】 解：当时，将5是关于x的方程的根， ∴，得， ∵， ∴或或或， 解得或． 当时，将是关于x的方程的根， ∴，得， ∵， ∴或或或， 解得或． 故答案为：或． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根数的性质，二次根式有意义的条件，一元二次方程的解法，先求解结合m是整数，可得，再分类计算确定m的值，后求和即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， 解得； ∵ m是整数， 故， 当时，即，方程变形为， 解得，是整数解，符合题意， 故； 当时， ∵， ∴， 解得，， ∵ 方程的根都是整数，， ∴， 综上所述，符合题意的m值为， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元二次方程，先把已给条件式利用完全平方公式得到，令，则，可解得或，当时，解得或，此时方程已经有两个解，那么要么是无解，要么与时的解相同，据此讨论求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， 解得或， 当时，则，解得或，此时方程已经有两个解， ∴要么是无解，要么与时的解相同， 当无解时，则无解， ∴， 当与时的解相同时，则，即； 综上所述，或． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，实数的运算，实数大小比较，分两种情况：当时，即时；当时，即时；然后根据定义的新运算列出方程，解方程即可解答． 【解题过程】 解：分两种情况： 当时，即时， ， ， 整理得：， ， 或， ，舍去； 当时，即时， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 或， ，舍去，； 综上所述：或， 故答案为：或． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·自主招生）方程的实数根是 【思路点拨】 将原方程两边两边同时乘以x，得到，令，将原方程为，求出y的值，再进行分类讨论即可． 【解题过程】 解：， 两边同时乘以x，得：， 令，则， ， 解得：， 经检验，是方程的解， ①当时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ②当时，， 整理得： ， ∵， ∴， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 17．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ； 【思路点拨】 本题主要考查了配方法的应用，先根据题意得到，再利用配方法得到，当时，根据，推出，则，当时，根据，推出，则，据此可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：4． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程 【思路点拨】 本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键． 分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【解题过程】 解：当，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：， 当，即时， 原方程可化为：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解． 综上所述，原方程的解为：． 19．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）解方程． 【思路点拨】 本题考查了解高次方程和一元二次方程，根据题意可知，则，转化为，设，则，求出或，即或，然后转化为一元二次方程或，最后求解检验即可，熟练掌握知识点的应用及换元思想是解题的关键． 【解题过程】 解：根据题意可知， ∴， ， ， 令， ∴， 整理得：， 解得：或，即或， 整理得：或， 解得：，，，， 经检验：，，，是方程的解， ∴，，，． 20．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 【思路点拨】 本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．利用完全平方公式把方程变形为，设，则，通过解一元二次方程可得m的值，即可求出可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴，即：， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上，该方程的解为：，． 21．（23-24八年级上·上海青浦·期末）解方程： （1）； （2）； （3） 【思路点拨】 （1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可． 【解题过程】 （1） 解：移项得，， 两边平方得，， 合并同类项得，， ∴， 两边平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 经检验，，不是原方程的解， ∴原方程的解为：． （2） 解：方程两边同时乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 经检验，，时，， ∴原方程的根为：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 经检验都为原方程的解 ∴原方程的解为：，，，． 22．（2024·吉林长春·模拟预测）已知：，，求的值． 【思路点拨】 本题考查的是整式的乘法与乘法公式的灵活应用，一元二次方程的解法，由结合可得，设，，进一步可得，求解的值，再进一步求解可得答案； 【解题过程】 解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ ． 23．（23-24九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【思路点拨】 本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：方程是“黄金方程”，理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 24．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）对实数，定义运算如下： 当时，；当时，． 若，求的值（表示不超过的最大整数）． 【思路点拨】 本题主要考查的是一元二次方程的应用及一元一次不等式的知识，解决本题的关键是正确的对两种情况进行讨论． 利用新定义的规定得出x值，代入运算得出代数式的值，然后利用的规定计算即可． 【解题过程】 解：当时， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上：的值为17或1． 25．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的一元二次方程（）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． （1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程： ①； ②． （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了新定义“邻根方程”，理解该新定义是解题关键． （1）分别解两个方程，根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用因式分解法解该方程，可得，，然后根据“邻根方程”的定义求解即可． 【解题过程】 （1）解：①， 解得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②， 解得， ∵， ∴方程是“邻根方程”； （2）， ， 或， 解得，， ∵关于x的一元二次方程是“邻根方程”， ∴或， 解得或， 即的值为或． 26．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含的代数式表示． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题关键． （1）根据t是关于x的方程的一正实根得到，配方即可得出结论； （2）根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可； （3）根据，得到，即得到，再进行计算即可． 【解题过程】 （1）证明：∵是关于的方程的一个正实根， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵n、t均为正实数， ∴． 27．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． （1）①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （2）已知实数满足，求的值； （3）解方程：． 【思路点拨】 本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【解题过程】 （1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 28．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； （2）利用换元法解方程：． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【解题过程】 （1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 29．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【思路点拨】 （1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【解题过程】 （1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 30．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． （1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； （3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 【思路点拨】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证，； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程 ” 的两根为，，因此方程的两根，，即，，整理方程得，即得答案． 【解题过程】 （1）解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； （2）解：对于方程， ， 解得，， 根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数；证明如下： 一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根，， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；；互为倒数； （3）解：方程的两根是，， 该方程的“友好方程”的两根为，， 则方程的两根，， 即，， 整理方程得， 关于x 的方程的两根为，． 31．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． （1）一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； （2）已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； （3）已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 【思路点拨】 （1）解一元一次方程可得，再根据题意取的值即可； （2）先解分式方程可得，，再解一元一次不等式组可得，根据解集依次取的值，找出所以满足为整数的的值，再相加即可解题； （3）根据题意分①当方程为一元二次方程时，②当方程为一元一次方程时，先将原方程根据平方差公式，完全平方公式化为，得到或，进而得到，再找出所以满足解为整数的整数的值，进而得到的值，以及根据二次项系数为零，一次项系数不为零求解判断，即可解题． 【解题过程】 （1）解：， ， 为“完美”方程， 或； （2）解：（，且a为整数）是“完美”方程， 解得：， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至多有3个整数解， 当其有一个整数解时，即y取，则，解得：，将代入得：，不是整数，故不满足条件； 当其有两个整数解时，即y取、，则，解得：，为整数，故不满足条件； 当其有三个整数解时，即y取、、，则，解得：，将代入得：，是整数，满足条件； 综上，符合条件的所有整数a的和为； （3）解：①当方程为一元二次方程时， ， 或， 或， 且， 是“完美”方程， 和为整数， 又，， ， 即， 整理后得， ，为整数，且，不为， 或， 即（舍去）或或或， 或或， 满足条件的实数k的值有或或； ②当方程为一元一次方程时， ， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，满足条件的实数k的值有或或或或． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$