17.2勾股定理的逆定理（七大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

17.2勾股定理的逆定理（七大类型提分练） 17.2勾股定理的逆定理（七大类型提分练） 类型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知某三角形的三条边长依次为，，，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B．2，2， C．1，3， D．1，3，3 3．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）在中、，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 类型二、在网格中判定直角三角形 6．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 8．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是，，，三点均在格点上（每个小正方形的顶点叫作格点），依次连接点，，得到，试判断的形状，并说明理由． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 类型三、利用勾股定理的逆定理进行作图 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 11．（20-21八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 类型四、利用勾股定理的逆定理进行求解 12．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)连接，求点到的距离． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，求图中的度数及四边形的面积． 类型五、勾股定理的逆定理的实际应用 16．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量． (1)求、两点之间的距离． (2)求购买运动型塑胶地板的费用． 17．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为向西安游客更好地宣扬西安特色，某中学数学兴趣小组提出一个创意想法：在公交站台的附近设置一个信号发射装置，在公交车上设置信号接收器，当公交车经过站台，车上的信号装置接收到信号源时，就会持续播报该站台附近的西安特色美食与景色，当接收装置接收不到信号源信号时就会立即停止播报．如图是小组同学做出来的模型示意图，，信号源点E与点C距离为，点E与点D距离为，公交车可以看作长方形，公交车在离信号源点E最近的车道从左往右行驶，即从点C到点D，车上接收信号装置长为，且上每一处都能接收到信号．信号源的影响范围为试判断信号源设置在E处是否会让经过的公交车接收到信号？并说明理由． 18．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 类型六、勾股定理的逆定理的拓展问题 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 类型七、新定义探究问题 20．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）有下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．1，，3 C．2，3，4 D．，4，7 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 8．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．（21-22八年级下·重庆忠县·期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，D是上的一点，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 17．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， (1)判断是否为直角三角形？ (2)求最长边上的高？ 18．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离． (1)求点到的距离； (2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标． 19．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数； (2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数． 20．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2勾股定理的逆定理（七大类型提分练） 类型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知某三角形的三条边长依次为，，，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理逆定理的计算判定即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故选：B ． 2．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B．2，2， C．1，3， D．1，3，3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； C、，能构成直角三角形，则此项符合题意； D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）在中、，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，注意：如果一个三角形的两边、平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形内角和定理可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断选项B，C，D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意， 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 类型二、在网格中判定直角三角形 5．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解答 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：在中，．，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是直角三角形； （2）解：设，则， ， ， 在中，， ， ， 即． 6．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 7．（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 8．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是，，，三点均在格点上（每个小正方形的顶点叫作格点），依次连接点，，得到，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，由网格求出，，，然后利用勾股定理的逆定理即可求解，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：是等腰直角三角形． 理由：因为，，， 所以，， 所以为等腰直角三角形． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图一轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出，，，由于，则不是直角三角形； （2）根据轴对称的性质即可画出； （3）利用网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，，， ， 不是直角三角形， 故答案为：不是； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 类型三、利用勾股定理的逆定理进行作图 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 11．（20-21八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 类型四、利用勾股定理的逆定理进行求解 12．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)连接，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点到的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可求，由等积法即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）在中，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴为直角三角形，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，求图中的度数及四边形的面积． 【答案】； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．连接，利用等腰直角三角形的性质求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴． 类型五、勾股定理的逆定理的实际应用 16．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量． (1)求、两点之间的距离． (2)求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】(1) (2)22800元 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）连接，直接利用勾股定理求解即可得； （2）连接，先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据四边形的面积等于求出四边形的面积，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， 答：、两点之间的距离． （2）解：如图，连接， 由（1）已得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ， ∵运动型塑胶地板每平方米200元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 17．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为向西安游客更好地宣扬西安特色，某中学数学兴趣小组提出一个创意想法：在公交站台的附近设置一个信号发射装置，在公交车上设置信号接收器，当公交车经过站台，车上的信号装置接收到信号源时，就会持续播报该站台附近的西安特色美食与景色，当接收装置接收不到信号源信号时就会立即停止播报．如图是小组同学做出来的模型示意图，，信号源点E与点C距离为，点E与点D距离为，公交车可以看作长方形，公交车在离信号源点E最近的车道从左往右行驶，即从点C到点D，车上接收信号装置长为，且上每一处都能接收到信号．信号源的影响范围为试判断信号源设置在E处是否会让经过的公交车接收到信号？并说明理由． 【答案】不能收到，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，过作交于，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，由三角形的面积求出的长度，根据实际意义，即可求解；理解实际意义，能勾股定理逆定理解决问题是解题的关键． 【详解】解：不能收到，理由如下： 过作交于， ， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， ， 信号源设置在E处时，经过的公交车接不能收到信号． 18．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 类型六、勾股定理的逆定理的拓展问题 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 类型七、新定义探究问题 20．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）有下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，且，可求得最大角，故不是直角三角形，符合题意； B、不妨设，，，此时，故是直角三角形，不符合题意； C、，且，可求得，故是直角三角形，不符合题意； D、变形为，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．1，，3 C．2，3，4 D．，4，7 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．据此解答即可． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形； B、，不可以构成直角三角形； C、，不可以构成直角三角形； D、，不可以构成直角三角形． 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为，即可求解面积． 【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为， ∴， ∴该三角形零件为直角三角形， ∴面积为：， 故选：D． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．由勾股定理的逆定理可知，由折叠的性质可知，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故选：D 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 10．（21-22八年级下·重庆忠县·期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． 二、填空题 11．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：取格点，连接，，如图， 由网格的性质，知， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：234． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 【答案】北偏东 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再求出的度数，用方位角表示出来即可． 【详解】解：由题意知，，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 此时快艇位于地的北偏东方向上． 故答案为：北偏东． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点D作交于H，连接，可证明得到，进而得到；证明，得到，则垂直平分，可得，可设，则，，，再证明，根据三角形面积得到，再进一步可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，D是上的一点，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 故是直角三角形； （2）解：设，则， ， ， ， 解得， 故． 17．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， (1)判断是否为直角三角形？ (2)求最长边上的高？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； （2）根据三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 18．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离． (1)求点到的距离； (2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标． 【答案】(1)点到的距离为 (2)，， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，坐标与图形； （1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法，即可求解； （2）由（1）可得，可得的坐标，根据勾股定理先求得的长，进而得出点的坐标，根据得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以， 所以是直角三角形，． 设点到的距离为， 因为，所以 所以点到的距离为． （2）因为， 所以 ， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 19．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数； (2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，涉及无理数，勾股定理及其逆定理： （1）结合有理数的定义即可作图； （2）根据无理数的定义，结合勾股定理及其逆定理即可作图． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，即为所作： 20．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，连接，先求解，证明，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵， ， ∴ ∴． 则放置菊花盆栽区域的面积为： ． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$