第7章 计数原理单元测试卷（基础篇）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

第7章 计数原理单元测试卷（基础篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．10 D．5 【答案】D 【解析】设二项展开式中的第项含有，即中含有项， 令，可得； 所以含的项为，可得的系数为5. 故选：D 2．文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（    ） A．30 B．42 C．56 D．3960 【答案】A 【解析】根据题意，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，这6个节目之间有5个空位， 因为教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，则先将第一个教师节目安排到5个空位中，有5种方法； 再将第二个教师的节目安排到7个节目之间的6个空位中，有6种方法， 由分步乘法计数原理可得，共有种方法. 故选：A. 3．从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题知，不同的排法共有， 故选：D. 4．（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【解析】， 故选：C 5．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式的通项为， 令，得， 则，解得. 故选：A． 6．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【解析】令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 7．如图是一个4×4的数阵，在该数阵中选出4个数，要求每行和每列均有且仅有一个数被选中. 在所有符合条件的选法中，4个数之和的最大值为（   ） A．24 B．100 C．112 D．169 【答案】C 【解析】每种选法可标记为分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为： 所以选中的方格中4个数之和最大，为 故选：C 8．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】B 【解析】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【解析】因为，所以， 即，解得， 又，，所以n的值为3，4． 故选：AB. 10．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为 C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1 【答案】AC 【解析】令，则各项系数的和为，故A正确； 展开式的二项式系数的和为，故B错； 展开式中共有2026项，故C正确； 展开式中的第项为， 因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错； 故选：AC 11．下列说法正确的是（   ） A．将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B．小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C．英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 【答案】ABC 【解析】对于A，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下个团员指标排成一排，个指标之间有个空，用块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将个指标分给个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种，A正确； 对于B，因为借回至少本的反面为本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少本的方法数为种，B正确； 英文单词“”中字母有个，字母有个，字母、、各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种方法，再插入个字母，共有种方法，所以一共有种方法，C正确； 先将除甲，乙，丙外的三人排成一排，共有种方法，再将甲排在丁相邻的位置，有种方法，再将乙，丙插空排入队列中，且保证不插在甲的两侧，有种方法，故共有种方法，D错误； 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为 .（用数字作答） 【答案】80 【解析】展开项的通项公式为 ， 令，解得，所以， 所以项的系数为80. 故答案为：80 13．小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有 种. 【答案】18 【解析】公差为0的情况有6种：111，222，333，444，555，666； 公差为的情况有8种：123，234，345，456，321，432，543，654； 公差为的情况有4种：135，246，531，642， 所以3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有18种. 故答案为：18 14．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 【答案】50 【解析】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起，然后让4个白球排列后形成5个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让4个白球排列后形成5个空位，从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的4个空位选出3个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种. 故答案为：50 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算下列各式． (1)； (2)． 【解析】（1）； （2）. 16．（15分） 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 【解析】（1）当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜， 若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知， 不同的选择方法为（种）. （2）从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）. 由题意，得，整理可得，   因为，所以，所以的最小值为. 17．（15分） 设，求： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 18．（17分） 从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 19．（17分） 已知，，，，设统计量． (1)若，求的取值范围； (2)记，用表示； (3)判断与1的大小关系，并说明理由． 【解析】（1）依题意，，整理得，而，解得， 所以的取值范围是，. （2）依题意，，而， 则 ，，. （3）令，则，而，因此， 数列是递增数列，，，， 所以. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 计数原理单元测试卷（基础篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．10 D．5 2．文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（    ） A．30 B．42 C．56 D．3960 3．从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 5．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 7．如图是一个4×4的数阵，在该数阵中选出4个数，要求每行和每列均有且仅有一个数被选中. 在所有符合条件的选法中，4个数之和的最大值为（   ） A．24 B．100 C．112 D．169 8．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为 C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1 11．下列说法正确的是（   ） A．将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B．小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C．英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为 .（用数字作答） 13．小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有 种. 14．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算下列各式． (1)； (2)． 16．（15分） 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 17．（15分） 设，求： (1)； (2)； (3). 18．（17分） 从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 19．（17分） 已知，，，，设统计量． (1)若，求的取值范围； (2)记，用表示； (3)判断与1的大小关系，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$