第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（基础篇）（10大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：空间向量及其线性运算 题型二：空间向量的数量积运算 题型三：空间向量基本定理 题型四：空间向量运算的坐标表示 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 题型七：用空间向量研究线面角问题 题型八：用空间向量研究二面角问题 题型九：用空间向量研究距离问题 题型十：立体几何中的存在性问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点4：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点5：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点6：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点7：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 解题方法总结 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 【典型例题】 题型一：空间向量及其线性运算 【例1】如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】, 故选：C 【变式1-1】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 【变式1-2】在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 又 ， N为 中点， ， 故选：C 【变式1-3】如图，是的重心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵是的重心，∴. ， . 故选：D. 题型二：空间向量的数量积运算 【例2】若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由，， 得，而， 所以. 故选：D 【变式2-1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【变式2-2】如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，， (1)试用向量，，表示向量 (2)若，求的值. 【解析】（1）因为点D为BC的中点， 所以， 因为，所以， 所以，， 所以； （2）由得， ， 由正四面体OABC可知，， 所以 【变式2-3】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解析】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 题型三：空间向量基本定理 【例3】是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 ． 【答案】1 【解析】因为，且， ． 故答案为：1． 【变式3-1】已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 【答案】5 【解析】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则， 得，解得 故答案为：5 【变式3-2】在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【解析】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 【变式3-3】已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】/ 【解析】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 题型四：空间向量运算的坐标表示 【例4】知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【解析】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 【变式4-1】已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【解析】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 【变式4-2】已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【解析】（1）， 由于，所以， 解得． （2）， 设，即,,,,,,， 所以，解得，，． 【变式4-3】已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 【解析】（1）由题意，. （2）由，，得， 则. （3）由，得，则，即，解得. 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 【例5】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【解析】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式5-2】如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，    求证：． 【解析】设， ， 所以． 故，即． 【变式5-3】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【解析】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 【例6】已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】因为，， 设直线与所成的角为， 则， 所以线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式6-1】在所有棱长均相等的正三棱柱中，是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】如图，取的中点，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，. 设异面直线，所成的角为，则. 故答案为：. 【变式6-2】已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，三条侧棱两两垂直，且，若F为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】因，，三条侧棱两两垂直，且， 故可将该几何体置于棱长为2的正方体中，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 故，， 则异面直线与所成角的余弦值为： . 故答案为：. 【变式6-3】在平行六面体中，底面为正方形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】 如图所示，不妨设， 依题意，令，则. 由图知： 则， 即， ，即， 故得：， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 题型七：用空间向量研究线面角问题 【例7】如图，在三棱锥中，平面，为的中点．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2）以点为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，则， 所以， 平面的法向量为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角大小为 【变式7-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点，连接，如图． 是的中点，，且． ，且， 四边形为平行四边形， , 又平面，平面， 平面． （2）如图，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则取，则． 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 【变式7-3】如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接交于，连接，∵，∴． 又∵，∴，∵平面，平面，∴平面． （2）取中点，连接，∵，∴，， 又∵，，∴四边形为矩形，． ∵，∴． ∵，且平面，平面， ∴平面，以为原点建系如上图， ，，，，， ∴，，， 设为平面的法向量， 令，则，，∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 题型八：用空间向量研究二面角问题 【例8】如图，在四棱锥中，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）取中点，连接，，由条件可知，是的中位线， 所以且，又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面； （2）取中点，连接，， 因为，， 所以，即， 所以为等腰直角三角形，则， 在直角梯形中，且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以，，由，故， 又因为，，平面，，所以平面， 如图以为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，，， 设平面的一个法向量为，则，得 取， 设平面的一个法向量为，则得 取，设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【变式8-1】在直三棱柱中，是的中点，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）连接，与相交于点，连接， 因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，故为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴， 垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 过点作⊥轴于点， 因为，所以， 又， 故， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 故， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. 【变式8-2】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【解析】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 【变式8-3】如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． (1)证明：平面AMC； (2)求平面和平面AMC夹角的余弦值． 【解析】（1）（1）如图，连接，由题意知平面，所以，又，，所以， 因为M是的中点，所以． 因为平面ABC，所以，又，，所以平面，所以． 因为，所以平面AMC． （2）以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，取， 由（1）知平面AMC的一个法向量为， 因为， 所以平面和平面AMC夹角的余弦值为． 题型九：用空间向量研究距离问题 【例9】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【解析】（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 【变式9-1】如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【解析】（1）因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （3）由（2）知，平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故， 所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 【变式9-2】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． ，分别是线段和线段上的动点，且，． (1)求证：平面； (2)若到平面的距离为，求的长度． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以，又， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，， 则， 所以， 因为，所以， 所以， 又， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以， 所以，又平面，所以平面； （2）若到平面的距离为，则， 又， 所以， 整理可得，解得或（舍去）， 则，所以. 【变式9-3】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 题型十：立体几何中的存在性问题 【例10】如图，在长方体中，点，分别是，的中点，，． （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）以点为坐标原点，直线，，为分别轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，因为点，分别是，的中点，，， 所以，，2，，，． 所以，． 设平面的法向量为， 所以即 令，则，．所以． 由题知，平面的一个法向量为， 所以． 又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值是． （Ⅱ）假设在线段上存在一点，使得平面． 设点的坐标为，，．所以． 因为平面的一个法向量为， 所以与不平行． 所以在线段上不存在点，使得平面． 【变式10-1】如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 【变式10-2】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    (1)证明：平面； (2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 【解析】（1）证明：由题意知，， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面 （2）作，垂直为Q，由（1）知，平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面 故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，，， 又， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则 设与平面所成角为θ， 则， 解得或， 由题意知，故. 【变式10-3】如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2．        图1                        图2 (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）在中，因为，，， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面； （2）因为，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 即，，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则， 假设点存在，设， 则， ，, 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 又平面的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使得二面角的大小为， 则，解得， 所以点存在，且点是线段的中点，即. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：空间向量及其线性运算 题型二：空间向量的数量积运算 题型三：空间向量基本定理 题型四：空间向量运算的坐标表示 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 题型七：用空间向量研究线面角问题 题型八：用空间向量研究二面角问题 题型九：用空间向量研究距离问题 题型十：立体几何中的存在性问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点4：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点5：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点6：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点7：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 解题方法总结 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 【典型例题】 题型一：空间向量及其线性运算 【例1】如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是的重心，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：空间向量的数量积运算 【例2】若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2-1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，， (1)试用向量，，表示向量 (2)若，求的值. 【变式2-3】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 题型三：空间向量基本定理 【例3】是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 ． 【变式3-1】已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 【变式3-2】在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【变式3-3】已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 题型四：空间向量运算的坐标表示 【例4】知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【变式4-1】已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【变式4-2】已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【变式4-3】已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 【例5】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【变式5-2】如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，    求证：． 【变式5-3】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 【例6】已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为 . 【变式6-1】在所有棱长均相等的正三棱柱中，是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【变式6-2】已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，三条侧棱两两垂直，且，若F为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式6-3】在平行六面体中，底面为正方形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型七：用空间向量研究线面角问题 【例7】如图，在三棱锥中，平面，为的中点．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式7-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式7-3】如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 题型八：用空间向量研究二面角问题 【例8】如图，在四棱锥中，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式8-1】在直三棱柱中，是的中点，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式8-2】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【变式8-3】如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． (1)证明：平面AMC； (2)求平面和平面AMC夹角的余弦值． 题型九：用空间向量研究距离问题 【例9】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【变式9-1】如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【变式9-2】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． ，分别是线段和线段上的动点，且，． (1)求证：平面； (2)若到平面的距离为，求的长度． 【变式9-3】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 题型十：立体几何中的存在性问题 【例10】如图，在长方体中，点，分别是，的中点，，． （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式10-2】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    (1)证明：平面； (2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 【变式10-3】如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2．        图1                        图2 (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$