7.4 二项式定理（3个知识点+11类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

7．4 二项式定理 课程标准 学习目标 （1）能利用多项式运算法则，建立二项式展开式中项的系数与组合数公式之间的联系，发现二项式定理，并能用计数原理进行解释． （2）能通过分析二项展开式的结构特征发现通项公式，并能用于解决相关问题． （3）能通过分析二项展开式的结构特征发现二项式系数的性质，能列出“杨辉三角形”，联系函数知识发现二项式系数的一些规律，并能用二项式系数的性质解决简单问题． （1）理解二项式定理的相关概念. （2）掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. （3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01 二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 【即学即练1】写出的展开式． 【解析】在二项式定理中令，可得 ． 知识点02 二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 【即学即练2】的展开式中的常数项为 . 【答案】40 【解析】依题意，的展开式的通项为，令可得. 故常数项为. 故答案为：40 知识点03 二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 【即学即练3】在的展开式中，的系数是 . 【答案】9 【解析】在的展开式中，含的项是6个因式中任取5个用， 余下一个因式用常数项相乘积的和，因此展开式中含的项是， 所以的系数是9. 故答案为：9 题型一：二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】（1）求的展开式； （2）化简． 【解析】（1） . （2）原式 . 【典例1-2】用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 【方法技巧与总结】 （1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． （2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 【变式1-1】求的展开式． 【解析】根据二项式定理得           【变式1-2】求的展开式． 【解析】 . 题型二：二项式系数与项的系数 【典例2-1】的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【解析】的展开式中的常数项为. 故选：D 【典例2-2】设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． （2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为． 【变式2-1】二项式的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．10 D．5 【答案】D 【解析】设二项展开式中的第项含有，即中含有项， 令，可得； 所以含的项为，可得的系数为5. 故选：D 【变式2-2】已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 【答案】A 【解析】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 故选：A. 【变式2-3】在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 【答案】C 【解析】的通项为 令，故， 所以含项的二项式系数为， 故选：C 题型三：展开式中的特定项 【典例3-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【解析】的展开式通项公式为，， 要想系数为整数，需为整数，显然当时，满足要求， 故系数为整数的项数为3. 故选：C 【典例3-2】在的展开式中，系数为整数的项数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】根据题意有：， 因为，所以，所以系数为整数的项为：1，4，7，故有3项 故选：C. 【方法技巧与总结】 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【变式3-1】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 【变式3-2】已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 【变式3-3】在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】常数项为，解得. 故选：D. 题型四：求两个多项式积的特定项 【典例4-1】的展开式中项的系数为 ． 【答案】48 【解析】因为的展开式中含项的系数为：； 含项的系数为：. 所以展开式中项的系数为：. 故答案为：48 【典例4-2】的展开式中，的系数是 . 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项为， 当时，的系数是，当时，常数项是， 所以的展开式中，的系数是. 故答案为： 【方法技巧与总结】 求多项式积的特定项的方法：“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 【变式4-1】若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【解析】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 【变式4-2】的展开式中常数项是 ． 【答案】15 【解析】的通项公式为：， 所以的展开式中常数项是：, 故答案为：15 【变式4-3】的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【解析】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 题型五：系数的最值问题 【典例5-1】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【解析】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 【典例5-2】展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【答案】12 【解析】的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 【方法技巧与总结】 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项． 【变式5-1】的展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【解析】 ， 所以的展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 【变式5-2】已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则. 由的展开式通项公式，， 所以二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大， 时，时， 时，时， 则该展开式中系数最大的项为. 故答案为： 【变式5-3】在的展开式中系数最大的项是第 项． 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数， 故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 题型六：余数和整除的问题 【典例6-1】设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 【典例6-2】若，则除以7的余数是 ． 【答案】0 【解析】， ， 故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0． 故答案为：0 【方法技巧与总结】 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 【变式6-1】被10除的余数为 . 【答案】1 【解析】由题 ， 因为可以被10整除， 所以被10除的余数为1. 故答案为：1. 【变式6-2】已知，则a被10除所得的余数为 . 【答案】1 【解析】， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1 题型七：证明不等式或求近似值 【典例7-1】求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 【解析】（1）由二项式定理展开式得 由于精确到0.001，所以 （2）由二项式定理展开式得 ， 由于精确到0.001，所以 【典例7-2】（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 【解析】（1）证明：因为 所以能被整除； （2） 【方法技巧与总结】 的近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式等． 【变式7-1】 【解析】记，则， 所以 由于， 所以 所以中的系数为：， 而展开式中的系数为， 所以成立 题型八：二项展开式的系数和问题 【典例8-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A:令，则， 令，则，所以，A,D选项正确； 对于B:令，则，B选项正确； 对于C:令，则，C选项错误； 故选：ABD. 【典例8-2】（多选题）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 【方法技巧与总结】 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． （2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 【变式8-1】（多选题）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，含的项为，所以，故B错误， 对于C，令得，， 令，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，令，可得， 两边同乘以，可得，故D正确； 故选：ACD. 【变式8-2】设，求： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 题型九：二项式系数性质的应用 【典例9-1】在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误； 令，各项系数之和为，②正确； 二项式系数最大项为第四项，③正确； ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确. 故选：B. 【典例9-2】在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（    ） A．180 B．165 C．120 D．55 【答案】B 【解析】在的展开式中，若二项式系数最大值为, 由于， . 故选:B. 【方法技巧与总结】 （1）二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论． ①当为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当为偶数时，中间一项的二项式系数最大． （2）展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数的最大项． 【变式9-1】 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的第三项为（    ） A．180 B．-180 C．180 D．-180 【答案】A 【解析】因的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则， 所以展开式的第三项为. 故选：A 【变式9-2】已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：A. 【变式9-3】若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以， 则展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为. 故选：D 题型十：三项式及多项式展开问题 【典例10-1】的展开式中的系数为 ． 【答案】672 【解析】由题设，含的项为, 故其系数为． 故答案为：672. 【典例10-2】的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【解析】的展开式为． 令解得 所以其常数项为． 故答案为： 【方法技巧与总结】 通项法 【变式10-1】的展开式中，的系数是 . 【答案】6 【解析】对于的展开式，依据排列组合知识， 相当于从这3个因式中选出个因式取元素， 再从剩下的个因式中选出个因式取元素， 最后再从剩下的个因式中取元素1. 根据分步乘法计数原理，可知选取的情况种数为. 所以可以得到的通项公式为： . 根据通项公式，可得的系数为. 故答案为：6 【变式10-2】展开式中含的项的系数是 ． 【答案】 【解析】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为. 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 【变式10-3】在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】, 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数，所以. 所以， 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数， 令，则， 所以的系数为. 故答案为：. 【变式10-4】展开式中的系数为 . 【答案】480 【解析】看成6个相乘， 从6个因式中选2个，再从剩下的4个因式中选3个，最后一个选， 即得到展开式中的系数为. 故答案为：480. 题型十一：杨辉三角问题 【典例11-1】如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【答案】 【解析】由题意知，，则 当时，= 当时，，也符合上式． 综上，． 故答案为： 【典例11-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】 【解析】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是， 第五行的第三位数字是，，第十五行的第三位数字是， 由 ， 则 . 故答案为：. 【方法技巧与总结】 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． 【变式11-1】杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示） 【答案】 11 【解析】依据给定条件我们发现第8条线为，第9条线为， 第10条线为，第11条线为， 第12条线为，第13条线为， 第14条线为，第15条线为， 第16条线为，第17条线为， 第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数， 第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数， 所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1， 所以第21条线上的数共有11个 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1， 第5条线有，所以最大数字为3， 第9条线有，所以最大数字为15， 第13条线有，所以最大数字为84， 第17条线有，所以最大数字为495， 若设线的条数为，则第21条线中的最大数字也满足 第条线上的最大数字的规律， 而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行， 第8行为，第9行为， 第10行为， 第11行为， 第12行为， 第13行为， 第14行为， 第15行为， 第16行为， 我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数， 第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个， 第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个， 所以我们归纳出如下规律，在线的条数为时， 其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位， 所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为. 故答案为：11； 【变式11-2】将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 . 【答案】或 【解析】根据题意可得， 因为 ， 即，所以或. 故答案为：或. 【变式11-3】“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为 ． 【答案】252 【解析】依题意，第10行中各数是二项式展开式的二项式系数，最大数为. 故答案为：252 【变式11-4】求证： 【解析】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 1．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 2．的展开式中的系数是（   ） A．90 B．100 C．-40 D． 【答案】D 【解析】由的展开式的通项为， 则的展开式中的系数是. 故选：D. 3．在的展开式中，的系数是（   ） A．690 B． C．710 D． 【答案】D 【解析】观察原式，这是首项为，公比为（），项数为的等比数列的和. 根据等比数列求和公式 要求原式展开式中的系数，即求展开式中的系数. 根据二项式展开式的通项公式分别求出和展开式中的系数. 对于，，令，则的系数为. 对于，，令，则的系数为. 所以展开式中的系数为，即原式展开式中的系数为.   故选：D. 4．已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【解析】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 5．二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 6．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式的通项为， 令，得， 则，解得. 故选：A． 7．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，取，得，A错误； 对于B，展开式中项的系数为，B错误； 对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于D，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误. 故选：C 8．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 9．（多选题）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 【答案】ACD 【解析】由题设，二项式展开式通项为，， 所以的展开式中的常数项是，A对； 的展开式中的各项系数之和为，B错； 由，，即，C对； 由，D对. 故选：ACD 10．（多选题）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 【答案】ABC 【解析】，得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：ABC 11．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．被8除的余数为1 D．的展开式中含项的系数为5292 【答案】BD 【解析】对A：若第2,3项的二项式系数相等且最大，则；若只有第3项的二项式系数最大，则； 若第3,4项的二项式系数相等且最大，则.故A错误； 对B：令可得；令可得， 所以，故B正确； 对C：因为， 所以被8除的余数为7，故C错误； 对D：因为 . 所以的系数为，故D正确. 故选：BD 12．已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】81 【解析】由得， 因为的通项公式， 令，， 所以的常数项为. 因为的通项公式, 令，， 令，, 所以的常数项为. 的展开式中的常数项为. 故答案为：81. 13．的展开式中常数项为 ． 【答案】80 【解析】求的展开式中常数项即求的展开式中含项的系数， 的展开式通项为， 令，得，， 故答案为：80 14．若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 【答案】13 【解析】依题意，， 当时，都不能被5整除，能被5整除， 则n的最小值为4，， 当，时，方程表示直线； 当，时，方程表示直线； 当且时，方程表示直线； 当且时，方程表示的直线条数为 （方程与表示同一条直线，方程与表示同一条直线）， 所以方程表示的不同直线的条数为13. 故答案为：13 15．在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【解析】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 16．已知 (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）的展开式中，当时，，通项公式为， 可知，，，，，， 所以， 当时，， 所以； （2）根据题意，令，得， 由（1）知，，所以 17．已知. (1)若，求； (2)若的展开式中的系数为6，求展开式中系数的最小值. 【解析】（1）已知. 所以，所以. 当时，，即. （2）因为的展开式中的系数为6， 所以，所以，即，展开式中系数 ， 对称轴为.又因为，所以当时，系数的最小值为5. 当时，系数的最小值为6. 综上所得，系数的最小值为5. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．4 二项式定理 课程标准 学习目标 （1）能利用多项式运算法则，建立二项式展开式中项的系数与组合数公式之间的联系，发现二项式定理，并能用计数原理进行解释． （2）能通过分析二项展开式的结构特征发现通项公式，并能用于解决相关问题． （3）能通过分析二项展开式的结构特征发现二项式系数的性质，能列出“杨辉三角形”，联系函数知识发现二项式系数的一些规律，并能用二项式系数的性质解决简单问题． （1）理解二项式定理的相关概念. （2）掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. （3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01 二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 【即学即练1】写出的展开式． 知识点02 二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 【即学即练2】的展开式中的常数项为 . 知识点03 二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 【即学即练3】在的展开式中，的系数是 . 题型一：二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】（1）求的展开式； （2）化简． 【典例1-2】用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 （1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． （2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 【变式1-1】求的展开式． 【变式1-2】求的展开式． 题型二：二项式系数与项的系数 【典例2-1】的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【典例2-2】设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧与总结】 （1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． （2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为． 【变式2-1】二项式的展开式中，的系数为（   ） A． B． C．10 D．5 【变式2-2】已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 【变式2-3】在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 题型三：展开式中的特定项 【典例3-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【典例3-2】在的展开式中，系数为整数的项数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【方法技巧与总结】 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【变式3-1】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【变式3-3】在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 题型四：求两个多项式积的特定项 【典例4-1】的展开式中项的系数为 ． 【典例4-2】的展开式中，的系数是 . 【方法技巧与总结】 求多项式积的特定项的方法：“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 【变式4-1】若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【变式4-2】的展开式中常数项是 ． 【变式4-3】的展开式中，项的系数为 . 题型五：系数的最值问题 【典例5-1】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【典例5-2】展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【方法技巧与总结】 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项． 【变式5-1】的展开式中系数最大的项为 ． 【变式5-2】已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 . 【变式5-3】在的展开式中系数最大的项是第 项． 题型六：余数和整除的问题 【典例6-1】设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【典例6-2】若，则除以7的余数是 ． 【方法技巧与总结】 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 【变式6-1】被10除的余数为 . 【变式6-2】已知，则a被10除所得的余数为 . 题型七：证明不等式或求近似值 【典例7-1】求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 【典例7-2】（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 【方法技巧与总结】 的近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式等． 【变式7-1】 题型八：二项展开式的系数和问题 【典例8-1】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例8-2】（多选题）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． （2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 【变式8-1】（多选题）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【变式8-2】设，求： (1)； (2)； (3). 题型九：二项式系数性质的应用 【典例9-1】在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A．4 B．3 C．2 D．1 【典例9-2】在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（    ） A．180 B．165 C．120 D．55 【方法技巧与总结】 （1）二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论． ①当为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当为偶数时，中间一项的二项式系数最大． （2）展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数的最大项． 【变式9-1】 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的第三项为（    ） A．180 B．-180 C．180 D．-180 【变式9-2】已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 题型十：三项式及多项式展开问题 【典例10-1】的展开式中的系数为 ． 【典例10-2】的展开式中的常数项为 ． 【方法技巧与总结】 通项法 【变式10-1】的展开式中，的系数是 . 【变式10-2】展开式中含的项的系数是 ． 【变式10-3】在的展开式中，的系数为 ． 【变式10-4】展开式中的系数为 . 题型十一：杨辉三角问题 【典例11-1】如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【典例11-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【方法技巧与总结】 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． 【变式11-1】杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示） 【变式11-2】将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 . 【变式11-3】“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为 ． 【变式11-4】求证： 1．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 2．的展开式中的系数是（   ） A．90 B．100 C．-40 D． 3．在的展开式中，的系数是（   ） A．690 B． C．710 D． 4．已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 5．二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 9．（多选题）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 10．（多选题）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 11．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．被8除的余数为1 D．的展开式中含项的系数为5292 12．已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 13．的展开式中常数项为 ． 14．若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 15．在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 16．已知 (1)求的值； (2)求的值. 17．已知. (1)若，求； (2)若的展开式中的系数为6，求展开式中系数的最小值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$