7.3 组合（4个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

7．3组合 课程标准 学习目标 （1）能通过实例，用自己的语言解释组合的定义；能用定义判断是不是组合问题，发展数学抽象素养． （2）能从组合的定义出发，利用排列与组合的关系推导组合数公式，并能用组合数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用组合的概念和公式解决简单的实际问题． （1）了解组合及组合数的概念. （2）能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 知识点01 组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 【即学即练1】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 知识点02 组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 【即学即练2】（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 知识点03 组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 【即学即练3】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点04 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法” 【即学即练4】将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 题型一：组合概念的理解 【典例1-1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【典例1-2】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【方法技巧与总结】 排列、组合辨析切入点 （1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可． （2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． （3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【变式1-1】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【变式1-2】下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 题型二：简单的组合问题 【典例2-1】甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 【典例2-2】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合． 【方法技巧与总结】 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数． 【变式2-1】写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合． 【变式2-2】在A、B、C、D四位候选人中， (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 题型三：组合数公式的应用 【典例3-1】若，则 ． 【典例3-2】已知，则 . 【方法技巧与总结】 （1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明． （2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且． 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 题型四：组合数的性质 【典例4-1】下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【方法技巧与总结】 计算时应注意利用组合数的两个性质： ①；②． 【变式4-1】若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 【变式4-2】（    ） A． B． C． D． 题型五：多面手问题 【典例5-1】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【典例5-2】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______ 【方法技巧与总结】 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 【变式5-1】某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 题型六：分组、分配问题 【典例6-1】某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 【典例6-2】“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 种． 【方法技巧与总结】 “分组”与“分配”问题的解法 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【变式6-1】为筹备2025年第九届亚冬会，某单位需要安排甲、乙、丙三人初一至初四值班4天，每天一人值班，每人至少值一天班，则甲值不连续两天的概率为 . 【变式6-2】第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【变式6-3】小明将个不同时期的生肖纪念币分成份进行观赏，每份至少个，且每份数量不同，则不同的分配方法有 种． 题型七：与几何有关的组合应用题 【典例7-1】已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【典例7-2】正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 （用数字作答）． 【方法技巧与总结】 （1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． （2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 【变式7-1】已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【变式7-2】平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 【变式7-3】至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 题型八：隔板法 【典例8-1】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【典例8-2】已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 隔板法是一种解决组合问题的数学方法，其核心在于通过在n个元素间的(n-1)个空中插入k个板，将n个元素分成k+1组。应用隔板法需满足元素互不相异、每组至少分得一个元素、组别彼此相异等条件。隔板法具有逻辑清晰、易于操作和理解的优点，广泛应用于相同元素的分组分配问题。 【变式8-1】满足不等式的有序整数组的数目为（    ） A．228 B．229 C．230 D．231 【变式8-2】若方程，其中，则方程的正整数解的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式8-3】把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 题型九：分堆问题 【典例9-1】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【典例9-2】有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)甲分1本、乙分2本、丙分3本； (2)一人分4本，另两人各分1本. 【方法技巧与总结】 分堆问题是一类常见的组合问题，其关键在于确定如何将元素合理地分配到不同的堆中。解决这类问题通常可以采用枚举、分类讨论等方法。需要明确分堆的标准，确保每个元素都被分配到合适的堆中，同时考虑堆的数量、大小以及元素之间的顺序或约束条件。通过灵活运用这些方法，可以有效地解决各种复杂的分堆问题。 【变式9-1】已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【变式9-2】已知有6本不同的书. (1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ 1．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 2．6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 3．在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 4．有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 5．现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 6．3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（   ） A．18种 B．36种 C．54种 D．72种 7．某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 8．五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 9．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B．小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C．英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 10．（多选题）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．（多选题）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 12．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 13．某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 14．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 15．从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动. (1)共有多少种不同的选法？ (2)既有男生又有女生的选法有多少种？ 16．（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 17．从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．3组合 课程标准 学习目标 （1）能通过实例，用自己的语言解释组合的定义；能用定义判断是不是组合问题，发展数学抽象素养． （2）能从组合的定义出发，利用排列与组合的关系推导组合数公式，并能用组合数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用组合的概念和公式解决简单的实际问题． （1）了解组合及组合数的概念. （2）能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 知识点01 组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 【即学即练1】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 知识点02 组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 【即学即练2】（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【解析】由. 故选：C. 知识点03 组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 【即学即练3】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得， 故 . 故选：D. 知识点04 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法” 【即学即练4】将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 【答案】50 【解析】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生， 包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人， 当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种， 当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种， 根据分类计数原理得到共有（种）. 故答案为：50 题型一：组合概念的理解 【典例1-1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【典例1-2】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 排列、组合辨析切入点 （1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可． （2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． （3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【变式1-1】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 【变式1-2】下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 题型二：简单的组合问题 【典例2-1】甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 【解析】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合： {甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}. （2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式 （符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）： （甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、 （乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）. 【典例2-2】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合． 【解析】 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示： 由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种． 【方法技巧与总结】 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数． 【变式2-1】写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合． 【解析】可按顺序写出， 所以所有组合为. 【变式2-2】在A、B、C、D四位候选人中， (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 【解析】（1）选举种数 (种)，所有可能的选举结果： AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC. （2）选举种数 (种)，所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD. 题型三：组合数公式的应用 【典例3-1】若，则 ． 【答案】 【解析】若，则， 解得，或舍去. 故答案为：. 【典例3-2】已知，则 . 【答案】6 【解析】，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明． （2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且． 【变式3-1】已知，则 ． 【答案】21或10 【解析】因为，所以， 则或， 当时，即，解得，此时； 当时，即，解得或（舍去）， 此时． 故答案为：21或10. 【变式3-2】已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 题型四：组合数的性质 【典例4-1】下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 【典例4-2】（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【答案】C 【解析】 . 故选：C 【方法技巧与总结】 计算时应注意利用组合数的两个性质： ①；②． 【变式4-1】若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 【答案】C 【解析】因为，所以或，解得或， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C 【变式4-2】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由组合数性质得， . 故选：C. 题型五：多面手问题 【典例5-1】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 【典例5-2】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______ 【答案】92 【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、， ①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种； ②若和两人只去一人参加比赛， (i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种； (ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种； ③若和两人均去参加比赛， (i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种； (ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷， 则选派方法为种； (iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种， 综上所述，不同的选派方法共有种. 故答案为：92. 【方法技巧与总结】 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 【变式5-1】某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法． 第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法． 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3+18+16=37种选法． 题型六：分组、分配问题 【典例6-1】某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 【答案】36 【解析】将4名教师分配到3个学校，每个学校至少1人， 首先，将4名教师分成3组，其中2组各1人，1组2人，共有种分组方式， 然后，将这3组教师分配到3个学校，共有种分配方式， 根据分步乘法计数原理，总共有种不同的安排方式． 故答案为：36 【典例6-2】“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 种． 【答案】60 【解析】第1步：电音舞台先安排2人有种方法； 第2步：将剩余3人分给其余的3个网红点，有种方法． 故电音舞台恰好安排两人的方法有种． 故答案为：60 【方法技巧与总结】 “分组”与“分配”问题的解法 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【变式6-1】为筹备2025年第九届亚冬会，某单位需要安排甲、乙、丙三人初一至初四值班4天，每天一人值班，每人至少值一天班，则甲值不连续两天的概率为 . 【答案】 【解析】由条件可知，甲、乙、丙三人有1人值2天班，其余2人值1天班，共种方法， 甲值不连续两天，有种方法， 所以甲值不连续两天的概率为. 故答案为： 【变式6-2】第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【答案】150 【解析】若有1人完成3项任务，其余两人各完成1项任务，安排方法种数为: ， 若有1人完成1项任务，其余两人各完成2项任务，安排方法种数为: ， 故不同的安排方法共有种. 故答案为：150. 【变式6-3】小明将个不同时期的生肖纪念币分成份进行观赏，每份至少个，且每份数量不同，则不同的分配方法有 种． 【答案】 【解析】由题可得，满足条件的分类方式有． 由分类加法计数原理可得，满足要求的分配方法有种． 故答案为：. 题型七：与几何有关的组合应用题 【典例7-1】已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【解析】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 【典例7-2】正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 （用数字作答）． 【答案】12 【解析】作出正八面体，如图，正八面体共有6个顶点，其中有3组不同的四点共面， 则以正八面体顶点为顶点的三棱锥的个数为. 故答案为：12 【方法技巧与总结】 （1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． （2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 【变式7-1】已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【答案】58 【解析】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为： 【变式7-2】平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 【答案】26 【解析】先分类，再分步. 当取3个共线的点中的两个时，可确定1条； 当取不共线的5个点中的两个时，可确定条； 当取不共线的5个点中的一个与共线三个点点中的一个时，可确定条； 所以一共26条. 故答案为：26 【变式7-3】至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 【答案】81 【解析】共有12条棱，即有12个中点，根据任意3点不共线，故可得个平面， 其中，过4个中点的平面有：正方体的6个面，正方体的3个中截面，与面对角线和棱平行的面有个，共有个， 过6个中点的平面有4个， 所以重复的有个平面， 所以满足条件的平面有个. 故答案为： 题型八：隔板法 【典例8-1】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 【典例8-2】已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】问题可转化为，10个相同的小球放到三个不同的盒子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是方程的一组解， 由隔板法可知，共有种不同的分法， 即方程共有组不同的解. 故选：A 【方法技巧与总结】 隔板法是一种解决组合问题的数学方法，其核心在于通过在n个元素间的(n-1)个空中插入k个板，将n个元素分成k+1组。应用隔板法需满足元素互不相异、每组至少分得一个元素、组别彼此相异等条件。隔板法具有逻辑清晰、易于操作和理解的优点，广泛应用于相同元素的分组分配问题。 【变式8-1】满足不等式的有序整数组的数目为（    ） A．228 B．229 C．230 D．231 【答案】D 【解析】先考虑的有序整数解的个数，由绝对值的和为3、4或5，可得个数为. 若有一个为零，则有序整数解的个数为， 若有两个为零，则有序整数解的个数为， 若全为零，则有序整数解的个数为个， 故共有不同组数231. 故选：D. 【变式8-2】若方程，其中，则方程的正整数解的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】A 【解析】因为方程，其中， 则，将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列， 利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为；第二组小球数目为；第三组小球数目为， 共有种方法，故方程的正整数解的个数为10， 故选：A. 【变式8-3】把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A 【解析】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法. 故选：A． 题型九：分堆问题 【典例9-1】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【解析】先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法， 【典例9-2】有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)甲分1本、乙分2本、丙分3本； (2)一人分4本，另两人各分1本. 【解析】（1）依题意分书可分为以下三步： 第一步：先从6本里面选一本给甲，有种分法； 第二步：再从剩下的5本里面选两本给乙，有种分法； 第三步：将剩下的三本给丙，有种分法. 由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种. （2）依题意分书可分为以下两大步： 第一步：先从6本里面选4本，再从3人里面选1人将刚刚选取的4本分给他，由分步乘法计数原理可知有种分法； 第二步：先从剩下的两本中选一本给剩下两人中的其中一人，最终将最后一本给剩下一人,由分步乘法计数原理可知有种分法. 因此由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种. 【方法技巧与总结】 分堆问题是一类常见的组合问题，其关键在于确定如何将元素合理地分配到不同的堆中。解决这类问题通常可以采用枚举、分类讨论等方法。需要明确分堆的标准，确保每个元素都被分配到合适的堆中，同时考虑堆的数量、大小以及元素之间的顺序或约束条件。通过灵活运用这些方法，可以有效地解决各种复杂的分堆问题。 【变式9-1】已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为； （2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为． 【变式9-2】已知有6本不同的书. (1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ 【解析】（1）6本书平均分成3堆， 所以不同的分堆方法的种数为. （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆， 所以不同的分堆方法的种数为. 1．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】B 【解析】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 2．6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 【答案】B 【解析】首先安排C场馆的3名同学，即； 再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即； 最后安排2名同学到丙场馆，即. 所以不同的安排方法有：种. 故选：B 3．在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【解析】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 4．有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【解析】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 5．现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 【答案】A 【解析】首先，将包含球的5个不同的小球分成四组，共有种组合； 然后，将含有球的一组小球放到除去甲盒之外的三个盒子中，共有种； 剩余三组小球再分别放入3个不同的盒子中，共种； 因此不同安排方案的种数是. 故选：A 6．3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（   ） A．18种 B．36种 C．54种 D．72种 【答案】B 【解析】当学校甲分配一名医生和2名护士时，学校乙分配2名医生和2名护士， 共有种分配方法； 当学校甲分配2名医生和2名护士时，学校乙分配1名医生和2名护士， 共有种分配方法； 分类相加，所以共有36种. 故选：B 7．某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】B 【解析】若某高校将4名学生分配到3所中学实习， 每所中学至少分配名学生，则一定有所中学分配的学生有名， 首先把名学生安排在同一所中学实习，分配方案有种， 再把剩下的学生分配到对应的中学，分配方案有种， 由分步乘法计数原理得分配方案有种，故B正确. 故选：B 8．五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【解析】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有种； 综上，共有72种. 故选：C 9．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B．小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C．英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 【答案】ABC 【解析】对于A，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下个团员指标排成一排，个指标之间有个空，用块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将个指标分给个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种，A正确； 对于B，因为借回至少本的反面为本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少本的方法数为种，B正确； 英文单词“”中字母有个，字母有个，字母、、各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种方法，再插入个字母，共有种方法，所以一共有种方法，C正确； 先将除甲，乙，丙外的三人排成一排，共有种方法，再将甲排在丁相邻的位置，有种方法，再将乙，丙插空排入队列中，且保证不插在甲的两侧，有种方法，故共有种方法，D错误； 故选：ABC. 10．（多选题）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】因为，为正整数且， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11．（多选题）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【答案】ABD 【解析】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确； B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确； C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误； D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确． 故选：ABD 12．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【解析】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 13．某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 【答案】36 【解析】将4名教师分配到3个学校，每个学校至少1人， 首先，将4名教师分成3组，其中2组各1人，1组2人，共有种分组方式， 然后，将这3组教师分配到3个学校，共有种分配方式， 根据分步乘法计数原理，总共有种不同的安排方式． 故答案为：36 14．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 【答案】 1728 3840 【解析】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题， 若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端， 先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法， 最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有种不同的放法． 若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法， 又2个红球的放法有种， 再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法． 故答案为：； 15．从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动. (1)共有多少种不同的选法？ (2)既有男生又有女生的选法有多少种？ 【解析】（1）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动， 共有种不同的选法. （2）选出4名同学既有男生又有女生有三种情况： 有1名男同学和3名女同学，则有：种不同的选法. 有2名男同学和2名女同学，则有：种不同的选法. 有3名男同学和1名女同学，则有：种不同的选法. 所以既有男生又有女生的选法有种. 16．（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【解析】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得， 解得，所以不等式解集为． 17．从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$