7.2 排列（4个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

7．2 排列 课程标准 学习目标 （1）能通过实例，用自己的语言解释排列的定义；能用定义判断是不是排列问题，发展数学抽象素养． （2）能从排列的定义出发推导排列数公式，并能用排列数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题． （1）理解并掌握排列的概念. （2）能应用排列知识解决简单的实际问题． （3）能用排列数公式进行化简与证明． 知识点01 排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 【即学即练1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 知识点02 排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 【即学即练2】可表示为（　　） A． B． C． D． 知识点03 阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 【即学即练3】不等式的解集为 ． 知识点04 排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 【即学即练4】2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 题型一：排列的概念 【典例1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【典例1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【方法技巧与总结】 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 【变式1-1】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【变式1-2】从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 题型二：画树形图写排列 【典例2-1】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【典例2-2】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【方法技巧与总结】 树形图的画法 （1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位． （2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类． （3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止． 【变式2-1】从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【变式2-2】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 题型三：简单的排列问题 【典例3-1】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【典例3-2】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． 【方法技巧与总结】 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解． 【变式3-1】从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【变式3-2】从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数，试写出所有满足条件的三位数． 题型四：排列数公式的应用 【典例4-1】计算下列各式． (1)； (2)． 【典例4-2】计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【方法技巧与总结】 排列数公式的选择 （1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． （2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 【变式4-1】计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【变式4-2】计算：；         （2）解不等式：. 题型五：阶乘的概念及性质 【典例5-1】解关于的不等式； （2）解不等式：. 【典例5-2】已知，求x的值． 【方法技巧与总结】 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 【变式5-1】证明，并用它来化简． 【变式5-2】求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【变式5-3】求证： 题型六：与排列数公式有关的证明问题 【典例6-1】证明：； （2）化简：． 【典例6-2】“数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意，有如下定义： 定义：“数”：； 定义：“阶乘”：规定； 定义：“组合数”： (1)求的值． (2)证明：对任意，都有 ①； ② (3)证明：对任意，都有 【方法技巧与总结】 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式． 【变式6-1】证明下列等式． (1)； (2)． 【变式6-2】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【变式6-3】证明：； （2）化简：． 题型七：相邻问题 【典例7-1】有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【典例7-2】行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 【方法技巧与总结】 相邻问题捆绑法 【变式7-1】名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 【变式7-2】甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【变式7-3】若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 题型八：不相邻问题 【典例8-1】甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为 ． 【典例8-2】五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有 种． 【方法技巧与总结】 不相邻问题插空法 【变式8-1】随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 【变式8-2】、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为 ． 【变式8-3】2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 题型九：定序问题 【典例9-1】某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种． 【典例9-2】期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 【变式9-1】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答） 【变式9-2】如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）. 题型十：间接法 【典例10-1】3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有 种站法 【典例10-2】由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【方法技巧与总结】 正难则反 【变式10-1】现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 【变式10-2】第21届“东盟博览会”于2024年9月24号至9月28号在南宁召开，某记者与参会的4名国际友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若记者不站中间，国际友人甲不站两边则有 种排法. 1．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 2．两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 3．是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 4．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 5．有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 8．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 10．（多选题）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 11．（多选题）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 12．第13届中国电子信息博览会将于2025年4月在深圳举行．某公司要从，，，，，共6个不同的展位中选3个分别展示甲、乙、丙3种不同的电子产品，且主推产品甲必须在展位，则共有 种不同的展示方法． 13．某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 14．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有 种. 15．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 16．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 17．5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．2 排列 课程标准 学习目标 （1）能通过实例，用自己的语言解释排列的定义；能用定义判断是不是排列问题，发展数学抽象素养． （2）能从排列的定义出发推导排列数公式，并能用排列数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题． （1）理解并掌握排列的概念. （2）能应用排列知识解决简单的实际问题． （3）能用排列数公式进行化简与证明． 知识点01 排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 【即学即练1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 知识点02 排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 【即学即练2】可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故选：B. 知识点03 阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 【即学即练3】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】原不等式可化为，其中，， 整理得，即，所以或． 因为，，所以，，所以原不等式的解集为． 故答案为：. 知识点04 排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 【即学即练4】2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】A 【解析】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种. 故选：A. 题型一：排列的概念 【典例1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【典例1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 【方法技巧与总结】 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 【变式1-1】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【答案】A 【解析】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问题； ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题， ③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题， 所以属于排列问题的为①④. 故选：A 【变式1-2】从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【解析】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题； ∵除法不满足交换律，∴②是排列问题； 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题； 在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题． 故选：B． 题型二：画树形图写排列 【典例2-1】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【解析】先画出下面的树形图： 于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc． 【典例2-2】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【解析】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 【方法技巧与总结】 树形图的画法 （1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位． （2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类． （3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止． 【变式2-1】从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【解析】（1）由题意作“树形图”，如下． 故组成的所有两位数为，共有12个． （2）由题意作“树形图”，如下． 故所有的排列为：，. 【变式2-2】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 【解析】所求排列数为. 所有的排列可用图所示. 由图可知，所有排列为，，，，，. 题型三：简单的排列问题 【典例3-1】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【解析】任意取出两个元素的所有排列为： . 【典例3-2】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． 【解析】由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，可分为三类： 当排在第一时：BADC，BCDA，BDAC； 当排在第一时：CADB，CDAB，CDBA， 当排在第一时：DABC，DCAB，DCBA， 所以不同的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA． 【方法技巧与总结】 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解． 【变式3-1】从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【解析】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数. 故排列数是. （2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314， 2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231， 4312，4321，共24个四位数. 故排列数是. 【变式3-2】从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数，试写出所有满足条件的三位数． 【解析】所有满足条件的三位数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个. 题型四：排列数公式的应用 【典例4-1】计算下列各式． (1)； (2)． 【解析】（1）； （2）. 【典例4-2】计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【解析】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 【方法技巧与总结】 排列数公式的选择 （1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． （2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 【变式4-1】计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【解析】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 【变式4-2】计算：；         （2）解不等式：. 【解析】（1）由排列数的公式，可得. （2）因为，可得， 所以，可得， 又因为且，解得， 所以不等式的解集为. 题型五：阶乘的概念及性质 【典例5-1】解关于的不等式； （2）解不等式：. 【解析】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 【典例5-2】已知，求x的值． 【解析】，化为：， 即，解得， 所以x的值为. 【方法技巧与总结】 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 【变式5-1】证明，并用它来化简． 【解析】证明，即证. 【变式5-2】求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【解析】（1）. （2），. 【变式5-3】求证： 【解析】， ， ， 综上，. 题型六：与排列数公式有关的证明问题 【典例6-1】证明：； （2）化简：． 【解析】（1）证明：； （2）原式． 【典例6-2】“数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意，有如下定义： 定义：“数”：； 定义：“阶乘”：规定； 定义：“组合数”： (1)求的值． (2)证明：对任意，都有 ①； ② (3)证明：对任意，都有 【解析】（1）． （2）①，， 故， ②， 而， 则 ， 而 ， 则， 故． （3）由（2）知， 得， 所以， ， ， ， 将上述个等式两边分别相加得， ， 故命题得证． 【方法技巧与总结】 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式． 【变式6-1】证明下列等式． (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式6-2】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由可得， 则. 所以 （2）因为， 所以. 【变式6-3】证明：； （2）化简：． 【解析】（1）证明：； （2）原式． 题型七：相邻问题 【典例7-1】有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【答案】 【解析】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 【典例7-2】行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 【答案】 【解析】将陈老师和姜老师捆绑到一起有种方法， 然后把他们看成一个大元素与剩下的名老师排成一排共有种方法， 则总共有种方法. 故答案为： 【方法技巧与总结】 相邻问题捆绑法 【变式7-1】名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【解析】分以下两种情况讨论： 若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种； 若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种. 综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种. 故答案为：. 【变式7-2】甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【解析】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）； 当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种）， 所以不同的站法共有（种）． 故答案为:20. 【变式7-3】若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 【答案】48 【解析】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 题型八：不相邻问题 【典例8-1】甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为 ． 【答案】 【解析】甲、乙等4人排成一列，甲乙两人不相邻， 则先将其余两人先排列，有种排法， 再将甲、乙两人插空，有种排法， 综上一共有种排法. 故答案为： 【典例8-2】五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有 种． 【答案】 【解析】由题意，设五种商品编号分别为， 其中A，B两种必须连排，C，D两种不能连排， 将A，B两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成个空，选择个空，将C，D插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）, 故答案为: 【方法技巧与总结】 不相邻问题插空法 【变式8-1】随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 【答案】144 【解析】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法， 在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有种排法. 故答案为：144． 【变式8-2】、、、、五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则不住2号房间，且、两人不住编号相邻房间的住法种数为 ． 【答案】 【解析】由题意，不住2号房间，且两人不住编号相邻房间，则可以住号房间， 若住在1号房间，则可以住在三个房间，有三种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在3号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在4号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况； 若住在5号房间，则可以住在两个房间，有2种情况，剩下三人安排在其他三个房间， 此时，有种情况， 由分类计数原理得，共有种不同的住法. 故答案为：. 【变式8-3】2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【答案】43200 【解析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 题型九：定序问题 【典例9-1】某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种． 【答案】 【解析】演出中的6个节目全排列有, 甲、乙、丙3个节目全排列有, 所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有， 故答案为：. 【典例9-2】期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 【答案】60480 【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外 的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 确定，只有一种方法，故共有60480种排法． 解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法． 解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因 为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法． 故答案为：60480 【变式9-1】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答） 【答案】40 【解析】5个元素无约束条件的全排列有种排法， 由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A， 因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法 有（种）. 故答案为：40 【变式9-2】如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）. 【答案】 【解析】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有种取法， 又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱， 由排列中的定序问题，可知不同的取法有种. 故答案为：90. 题型十：间接法 【典例10-1】3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有 种站法 【答案】96 【解析】由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为． 故答案为：96. 【典例10-2】由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【解析】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 【方法技巧与总结】 正难则反 【变式10-1】现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 【答案】21600 【解析】由1，2，…，9这9个正整数构成的圆排列有（种）情况， 任意相邻两数之积不小于4，则1，2不能相邻且1，3不能相邻． 设满足1，2相邻的圆排列有种情况，满足1，3相邻的圆排列有种情况， 满足1，2相邻且1，3相邻的圆排列有种情况， 则，， 则满足要求的排列的情况有（种）． 故答案为：. 【变式10-2】第21届“东盟博览会”于2024年9月24号至9月28号在南宁召开，某记者与参会的4名国际友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若记者不站中间，国际友人甲不站两边则有 种排法. 【答案】60 【解析】5个人全排列的总数为种. 当记者站中间时，其余4人全排列，排法数为种. 当国际友人甲站两边（有两种站法），其余4人全排列，排法数种. 当记者站中间且国际友人甲站两边时（甲有两种站法），其余3人全排列，排法数为种. 满足条件的排法数等于全排列数减去记者站中间的排法数减去国际友人甲站两边的排法数再加上记者站中间且国际友人甲站两边的排法数，即种. 故答案为：60. 1．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 【答案】B 【解析】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位； 若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位； 若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法． 在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有种， 故这六人不同的座位安排方法种数为． 故选：B． 2．两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【解析】两男两女站成一排照相，女生相邻， 则可将两个女生捆绑，则有种方法， 再与两个男生进行全排列，有种方法， 则女生相邻的所有排列种数为种． 故选：C 3．是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【答案】B 【解析】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 故选：C 4．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 【答案】C 【解析】先排数学，有种不同的排法； 再排英语，有种不同的排法； 最后排剩余课程，有种不同的排法； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 5．有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 6．小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 7．北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 【答案】A 【解析】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 8．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 9．（多选题）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【解析】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 10．（多选题）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 【答案】ACD 【解析】对于A，不同排法种数为，A正确； 对于B，先排，再在每种排法的3个间隙中插入，不同排法种数是，B错误； 对于C，先排，再在每种排法的5个位置中插入，不同排法种数是，C正确； 对于D，不同排法种数是，D正确. 故选：ACD 11．（多选题）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【解析】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 12．第13届中国电子信息博览会将于2025年4月在深圳举行．某公司要从，，，，，共6个不同的展位中选3个分别展示甲、乙、丙3种不同的电子产品，且主推产品甲必须在展位，则共有 种不同的展示方法． 【答案】20 【解析】因为主推产品甲必须在A展位，所以需从B，C，D，E，F共5个不同的展位中任选2个分别展示乙、丙，故共有（种）不同的展示方法. 故答案为：20. 13．某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 【答案】720 【解析】10个节目随意排列，有种排法； 原计划中的7个节目随意排列，有种排法． 保持原计划中的7个节目的先后顺序不变， 则这10个节目的不同排法有共有种． 故答案为: 14．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有 种. 【答案】64 【解析】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故答案为：64. 15．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【解析】（1）先排丙、丁、戊，有种站法． 再插空排甲、乙．有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）满足条件的站法可分为两类， 第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法． 第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法． 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 16．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 17．5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【解析】（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； （2）由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； （3）由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$