专题05 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题05 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用 技巧1：巧用平行四边形的性质解决动点问题 技巧2：巧用矩形的性质解决动点问题 技巧3：巧用菱形的性质解决动点问题 技巧4：巧用正方形的性质解决动点问题 技巧1：巧用平行四边形的性质解决动点问题 如图所示，是线段上的两点，，，，点是线段上的一动点，分别以为边在的同一侧作两个等边三角形，连接并取中点为，连结，在点从点出发运动到点的过程中，线段扫过的区域面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于H，连接，可证出四边形是平行四边形，P为中点，也是的中点，从而点P的运动轨迹为线段，得到扫过的图形为梯形，求出其面积即可解决． 【详解】解：延长交于H，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴四边形是平行四边形，， ∵P是的中点， ∴点G、P、H三点共线，且P为的中点， 取的中点M、N点，连接，则为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴三点共线， ∴点在线段上移动， ∴扫过的图形为梯形， ∵， ∴， ∴， 过H作于Q，取的中点，连接，则：，，， ∴，在线段上，为梯形的高线， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，解题的关键是确定点的运动轨迹． 一．解答题（共5小题） 1.如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 2．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 3．中，平分交于点E．已知，，．动点P从点E出发，沿方向匀速向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向匀速向点E运动，已点P，Q的运动速度都是，运动时间为，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. (1)求的长； (2)如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得．若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；     (3)如图2在运动过程中，以为边向下作等边三角形．通过操作发现点M的位置是固定的．请求出此时线段的长； (4)如图3，在运动过程中，以为边向下作等腰直角三角形，使得，．请先判断运动过程中，点M的位置是否发生变化.若M的位置不发生变化，请直接写出的长；若点M的位置发生变化，请直接写出点M的运动路经长． 4．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 5．已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 技巧2：巧用矩形的性质解决动点问题 如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 1． 填空题（共3小题） 1．如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 2．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    3．如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形． 二．解答题（共1小题） 4．如图，在矩形中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止．将沿直线翻折得到，设点运动时间为，所在直线与射线交于点． (1)用含的代数式表示的长为______； (2)求证为等腰三角形； (3)当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，直接写出的取值范围； (4)当时，直接写出的值． 技巧3：巧用菱形的性质解决动点问题 如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 一．填空题（共2小题） 1．如图，在菱形中，已知，点E为的中点，点F为射线上的一动点，以为边向上作等边，若为直角三角形时，的长为 ．    2．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上一动点，以为斜边向右侧作等腰，连接，则线段的最小值为 ． 二．解答题（共3小题） 3.如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） (2)点在上，时，求的值． (3)当直线平分平行四边形的面积时，求的值． (4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 4．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______________，与的位置关系是______________； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出的面积． 5．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 技巧4：巧用正方形的性质解决动点问题 （1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．判断三点的位置关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2）点，点，点三点共线，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定理由和性质． （1）由可证，可得； （2）连接交于O，过点F作直线于，可证得，得出，，推出，即点C，点D，点F三点共线． 【详解】解：（1）四边形是菱形，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）点，点，点三点共线，理由如下： 如图，连接交于，过点作 于， 四边形是正方形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线． 1． 填空题（共3小题） 1．如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 2．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 3．如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用 技巧1：巧用平行四边形的性质解决动点问题 技巧2：巧用矩形的性质解决动点问题 技巧3：巧用菱形的性质解决动点问题 技巧4：巧用正方形的性质解决动点问题 技巧1：巧用平行四边形的性质解决动点问题 如图所示，是线段上的两点，，，，点是线段上的一动点，分别以为边在的同一侧作两个等边三角形，连接并取中点为，连结，在点从点出发运动到点的过程中，线段扫过的区域面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于H，连接，可证出四边形是平行四边形，P为中点，也是的中点，从而点P的运动轨迹为线段，得到扫过的图形为梯形，求出其面积即可解决． 【详解】解：延长交于H，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴四边形是平行四边形，， ∵P是的中点， ∴点G、P、H三点共线，且P为的中点， 取的中点M、N点，连接，则为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴三点共线， ∴点在线段上移动， ∴扫过的图形为梯形， ∵， ∴， ∴， 过H作于Q，取的中点，连接，则：，，， ∴，在线段上，为梯形的高线， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，解题的关键是确定点的运动轨迹． 一．解答题（共5小题） 1.如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】(1)10 (2)当点P在线段上时，；点P在射线上时， (3)t的值为5或6或 (4)或 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 2．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 3．中，平分交于点E．已知，，．动点P从点E出发，沿方向匀速向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向匀速向点E运动，已点P，Q的运动速度都是，运动时间为，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. (1)求的长； (2)如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得．若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；     (3)如图2在运动过程中，以为边向下作等边三角形．通过操作发现点M的位置是固定的．请求出此时线段的长； (4)如图3，在运动过程中，以为边向下作等腰直角三角形，使得，．请先判断运动过程中，点M的位置是否发生变化.若M的位置不发生变化，请直接写出的长；若点M的位置发生变化，请直接写出点M的运动路经长． 【答案】(1) (2)存在； (3) (4)点M的位置发生变化；理由见解析；点M的运动路经长 【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质进行求解即可； （2）根据题意得出，根据等腰三角形的判定得出，根据，得出； （3）连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出点M为一个定点，，，过点M作于点F，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可； （4）过点M作，过点P作于点D，过点Q作于点G，过点C作于点H，过点M作于点F，证明，得出，，设，则，求出，得出，根据得出，说明随t的变化而变化，说明点M是变化的，且点M在平行于的直线上运动；根据t的取值范围求出点M运动的路径长即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：存在；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴点M为一个定点，，， ∴， 过点M作于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴． （4）解：点M的位置发生变化；理由如下： 过点M作，过点P作于点D，过点Q作于点G，过点C作于点H，过点M作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理得：四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点M到的距离为定值， ∵， ∴， ∴ ， ∴随t的变化而变化， ∴点M是变化的，且点M在平行于的直线上运动； ∵， ∴， ∴的最小值为， 的最大值为， ∴点M运动的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3)存在，当t为4或者或者时，为等腰三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据题意有：，进而有，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过点于；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意有：， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，四边形是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过点作于，过点于，如图， 根据，可得四边形是矩形， 则， 故， ∵梯形为等腰梯形，于， ， 根据（1）有， ， ∴，解得， 综上所述：或时，． （3）解：存在，理由如下： 根据（1）有， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时， 过点于，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过点于，过点于，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 5．已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)9.6秒或16秒或19.2秒 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义可得，则可得，再结合可得是等边三角形，进而可得． （2）作于H点，由平行四边形的性质可得，再根据等边三角形面积公式计算即可． （3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形是平行四边形可得，因此．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则，设运动时间为t秒，分4种情况讨论：①，②，③，④，根据列方程，即可求出t的值． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵平分， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）如图，作于H点， ∵四边形是平行四边形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ． （3）由题知P点从A点运动到D点需要，Q点从C点运动到B点需要，因此P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则． 设运动时间为t秒， ①当时，，， ， 此方程无解； ②当时，，， ， 解得； ③当时，，， ， 解得； ④当时，，， ， 解得． 综上，当运动时间为9.6秒或16秒或19.2秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键． 技巧2：巧用矩形的性质解决动点问题 如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 1． 填空题（共3小题） 1．如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 3．如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形． 【答案】4或5或 【分析】根据题意，得，，，得到，结合，利用勾股定理得到，利用分类思想，分，，三种情况解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵长方形中，，． ∴，，， ∵， ∴， 当时，，，， 当时，，，， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为4或5或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的定义是解题的关键． 二．解答题（共1小题） 4．如图，在矩形中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止．将沿直线翻折得到，设点运动时间为，所在直线与射线交于点． (1)用含的代数式表示的长为______； (2)求证为等腰三角形； (3)当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，直接写出的取值范围； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由，计算出代入即可得到答案； （2）由翻折性质得到，再由平行性质得到，等量代换得到，利用等腰三角形的判定即可得证； （3）根据题意，分两种情况：当时；当时；分情况计算即可得到答案； （4）根据题意，分两种情况：当点落在矩形内部时；当点落在矩形外部时；分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，， 点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动， ， ， 故答案为：； （2）证明：由翻折性质可知， ∵在矩形中，， ， ， ， 为等腰三角形； （3）解：点从点出发，将沿直线翻折得到，当落在边上时（与重合），如图所示： 由（2）知， 再由折叠性质可知， 点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动， ； 当时，即当时，四边形与矩形重叠部分是筝形，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形， 综上所述，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，的取值范围是； （4）解：当点落在矩形内部时，作于点，如图所示： 四边形是矩形，则， 由翻折性质可知，， ， ∵在矩形中，， ， 在和中， ， ，， 在矩形中，， ， ， ， ， ，则， 在中，由勾股定理可得， 则，解得； 当点落在矩形外部时，如图所示： 由折叠性质得到， 由（2）知为等腰三角形， ， ，， 当时，，即， 如图所示： 此时，点和点重合，则． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及矩形性质、折叠性质、平行线性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握矩形的性质，数形结合是解决问题的关键． 技巧3：巧用菱形的性质解决动点问题 如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 一．填空题（共2小题） 1．如图，在菱形中，已知，点E为的中点，点F为射线上的一动点，以为边向上作等边，若为直角三角形时，的长为 ．    【答案】或4或 【分析】分两种情况：①，此时点F在中点或与点B重合；②当时，又分点M与点B重合，点M在延长线上两种情况． 【详解】解： ①当点F在中点或与点B重合时，；      如图1，当点F在中点，点M与点D重合时， ∵四边形是菱形，， ∴，； ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点F与点B重合时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：； ②当时， 当点M与点B重合，且时，如图3； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 如图4，当是等边三角形时，则， ∵， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∴；    综上，的长为或4或． 故答案为：或4或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想．关键是分类讨论思想的运用． 2．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上一动点，以为斜边向右侧作等腰，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，线段最短的理解等知识的综合运用，掌握菱形的性质，理解线段最短的计算方法是解题的关键．根据题意，当点，，三点共线时，最短，则的值最小，如图所示，连接，过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据含角的直角三角形可求出的值，根据角度关系可得是等腰直角三角形，，再证明，设，可求出，的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，， 当点，，三点共线时，最短，则的值最小，如图所示，连接，过点作于点， 四边形是菱形，， ，， ，且， 是等边三角形， 是的中点， ，， 在中，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得，，即， ， 故答案为：2． 二．解答题（共3小题） 3.如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） (2)点在上，时，求的值． (3)当直线平分平行四边形的面积时，求的值． (4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． （1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； （4）当时，则为菱形或菱形，据此可求得的值． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； （2）解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； （3）解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； （4）解： ， ， 点P在上，点Q在上， ①当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ②当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 4．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______________，与的位置关系是______________； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，延长交于，   四边形是菱形，， ∴ ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ∵是等边三角形， ， ，即 又， ． 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接，   ， ，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ，， 则， ， 又， ． （3）解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ， ， ，， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 同理得：， 由（2）知， ， ， 是等边三角形，， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 5．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能； (3)或4；理由见解析 【分析】（1）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的判定即可解答； （2）根据含有角的直角三角形的性质及菱形的性质解答即可； （3）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的性质即可解答． 本题考查了含有角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，斜边的中线等于斜边的一半，菱形的性质，掌握含有角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：设点运动的时间是秒（）， ∵点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动， ∴， ∵点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形；理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为平行四边形， ∴若使为菱形，则需， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形，理由如下： 根据题意，分三种情况讨论： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，， 即， 解得； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 技巧4：巧用正方形的性质解决动点问题 （1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．判断三点的位置关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2）点，点，点三点共线，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定理由和性质． （1）由可证，可得； （2）连接交于O，过点F作直线于，可证得，得出，，推出，即点C，点D，点F三点共线． 【详解】解：（1）四边形是菱形，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）点，点，点三点共线，理由如下： 如图，连接交于，过点作 于， 四边形是正方形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线． 1． 填空题（共3小题） 1．如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解∶延长至点G，使，连接、、， ∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当D、E、G三点共线时，取最小值为， 在边长为5的正方形中，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 2．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过作，交延长线于点，则，证明，则，，从而证明四边形是矩形，再证明，则，故有点在上运动，四边形是正方形，通过正方形的性质和勾股定理得出，作作的对称点，连接，又，所以当三点共线时，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作，交延长线于点，则， 由旋转性质可知：，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上运动，四边形是正方形， 在正方形中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 作作的对称点，连接， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，， 如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，在的延长线上取一点，使得，连接，过点作于点，证明，推出，，可得，推出平分，因为关于对称，所以，推出，可知当点在上时，的值最小，最小值为线段的长. 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，在的延长线上取一点，使得，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴关于对称， ∴， ∴， ∴当点在上时，的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$