专题训练 特殊四边形的判定问题提升精练-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

特殊四边形的判定问题提升精练 平行四边形的判定 1．（2025·浙江舟山·一模）已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长和面积． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接、． (1)若，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 3．（2025·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若点F是的中点，，，求的长． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的中线，，且， 连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，、交于点， 过作交于点，的平分线与交于点，请写出线段、、之间的数量关系　　　； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 6．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时： ①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由； ②请写出，之间的数量关系并说明理由； ③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________. 矩形的判定 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知如图，中，平分外角，D是边上一动点，过D作，交于点E， (1)求证：； (2)连，当点D运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 3．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求和的长度． 5．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 6．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 菱形的判定 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 2．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)若，求菱形面积． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②．连接，若，求的长． 4．（2025·北京房山·一模）如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 5．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)用t的代数式表示： ， (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F． (1)判断四边形的形状并证明； (2)如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由； (3)补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由． 正方形的判定 1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． (1)求证：； (2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 4．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______； (3)当时，需运动多少时间？ 5．（24-25八年级下·天津·期中）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形： (2)求的值． (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 6．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）综合与实践 【教材再现】 （1）如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点．直接写出线段，，的数量关系：_______． 【变式思考】 （2）如图2，在矩形中，是边上的一点，于点，，，．求证：四边形是正方形． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形中，是边上的一点，于点，过点作，交的延长线于点，，交于点．试探究线段，，的数量关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特殊四边形的判定问题提升精练 平行四边形的判定 1．（2025·浙江舟山·一模）已知：在中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长和面积分别为20和 【分析】由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形； 由平行四边形的性质得，，四边形的周长，又因为，所以，所以，再根据勾股定理及直角三角形的性质求出平行四边形的周长． 本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高． 【详解】（1）证明：， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， 故 ， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，四边形的周长， 又， ， ， ，，， ，， ， ，点D是的中点， ， 四边形的周长 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接、． (1)若，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)80° (2)详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据角平分线的定义，再根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 3．（2025·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若点F是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【详解】（1）证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵在中，，点F是的中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； （ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：（i）由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （ii）过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的中线，，且， 连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，、交于点， 过作交于点，的平分线与交于点，请写出线段、、之间的数量关系　　　； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质可得，结合已知可得，进而根据一组对比平行且相等即可得证； （2）连接，过点作交于点，过点作垂直分别为，根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据角平分线的性质可得，即可证明，进而得出，证明是等边三角形，进而证明得出， 即可得出结论； （3）过点作于点，由（2）可得得出，设，勾股定理解，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 理由如下， 如图所示，连接，过点作交于点，过点作垂直分别为， . ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴, ∵ ∴ ∵的平分线与交于点， ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵，的平分线与交于点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴，则 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，过点作于点， ∵垂直平分 ∴ 设，则， 由（2）可得，又 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 即． 6．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时： ①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由； ②请写出，之间的数量关系并说明理由； ③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________. 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，理由见解析；③ 【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，则是等腰直角三角形，即可得结论； ②证明，利用全等三角形性质即可得到； ③过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ． ，， ， ， ． 四边形是平行四边形； （2）①，理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，则， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ②，理由如下： 由上可知是等腰直角三角形， ∴，， ， ． ， ． ，， ， ， ． ③． 理由如下：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， ． 四边形是平行四边形，， ． ，， ， ，， ， ， ． 在中，，则． ， ． 故答案为：． 矩形的判定 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知如图，中，平分外角，D是边上一动点，过D作，交于点E， (1)求证：； (2)连，当点D运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点D运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的性质和三角形外角的性质得到，再根据平行四边形的判定法则得到四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）连接，由点D是中点，得到，从而得到，从而得到四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：点D运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵点D是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点D运动到中点时，四边形是矩形． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 3．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求和的长度． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质，平行四边形的性质，以及等腰直角三角形的性质，先求得，进而勾股定理求得，根据，求得，进而根据直角三角形斜边中线可得：，利用勾股定理计算的长，可得结论． 【详解】（1）证明四边形是平行四边形 ，． ， ， 即． 点、在直线上 ，． 四边形是平行四边形   又，垂足是， ． 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ，． ，， ． ， ． ．   在中，． ， ．   ∴ 在中， ∴； 在中，． ． 点是平行四边形对角线的交点， 为中点 在中，．为中点． ． 5．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （2）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵当时，四边形是矩形， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】本题考查矩形的判定以及勾股定理和相似三角形等内容．熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）先得出，进一步进行等量代换得出即可证明四边形是矩形； （2）①由四边形是矩形以及勾股定理得出，即可根据得出的长； ②先证明，得出，进一步由勾股定理，得，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，平分， ∵平分， 即 ∴四边形是矩形． （2）解：① ， 又∵O是的中点， , ． ∵四边形是矩形． ． 在中，由勾股定理，得: ∵O是的中点． ② ， ， 解得 在 中，由勾股定理，得： 解得 ． 菱形的判定 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可求出的长，再利用勾股定理可求出． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ∵， ， ， ． 2．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)若，求菱形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②．连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵， 且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 设 ， 则， ∵，， ∴， 解得 （负根已经舍弃）， ∴， ∴． 4．（2025·北京房山·一模）如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行及角平分线得，即，从而得四边形是平行四边形，再由即可证明结论成立； （2）设交于点O，由菱形的性质及垂直关系得点G是线段的中点，得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵ ∴； ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点O，如图； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点， ∴； 在中，，， 由勾股定理得：． 5．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得证； （2）由题中条件证得的对角线，再由菱形的判定定理即可得证； （3）由菱形的面积列方程求出，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （3）解：由（2）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)用t的代数式表示： ， (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2)四边形AEFD能够成为菱形， (3)当t为或20时，为直角三角形 【分析】（1）根据点的运动，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找一等量关系列方程可以求出的值． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ， ， 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ，， ， ， ， 当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： 当时，如图3， 则四边形为矩形， ， ，， ， ， 当时，如图4， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，， ， ， 则， ， 当不成立； 综上所述：当为或20时，为直角三角形． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为1． 【分析】（1）证明，推出，，得到是线段的垂直平分线，再得到，即可推出四边形为菱形； （2）在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，然后利用三角形的外角性质即可求得； （3）证明、和都是等边三角形，分两种情况讨论，根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰中，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的外角性质知， 又， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴， 当即时，此时， ∴， ∴， ∴； 当即时，此时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵恒小于， ∴不存在的情况， 综上，的长为1． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F． (1)判断四边形的形状并证明； (2)如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由； (3)补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定与性质、 （1）利用菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质，，根据直角三角形斜边中线性质得到，利用垂直定义和等腰三角形的性质推导出，根据角平分线的定义和角的运算得到，进而得到是等腰直角三角形即可得出结论； 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： 四边形中，对角线，互相垂直平分， 四边形是菱形； （2）解：． 理由：由（1）知四边形的形状是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∵的平分线，交于E， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：当时，；当时，；当时， 如图 设，由（2）可得 ∵四边形是菱形； ∴ ∴ ∵ ∴ 当时，即，是等腰直角三角形，则 ∴ 即当时，； 当时，则 ∴ ∵，则 ∵， ∴，即 ∴； 当时，同理可得，． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 正方形的判定 1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)点到线段的距离为． 【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形； （2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离． 【详解】（1）证：菱形中，，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又点、是对角线所在直线上两点， ， 平行四边形是菱形， 菱形中，平分，， ， 菱形是正方形． （2）解：正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的对角线长为， 、互相垂直且平分， ，， ， ， 中，， 设点到线段的距离为， 则根据菱形面积计算公式可得：， 即， 解得， 点到线段的距离为． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． (1)求证：； (2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． （1）证明四边形是矩形即可得出； （2）根据正方形的判定方法可知，当时，四边形为正方形． 【详解】（1）∵ 平分平分 的外角 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）当时，四边形为正方形，理由； ∵四边形是矩形，， ∴四边形为正方形． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）由（1）可知四边形是正方形，得，再由（2）可知，得，即可得，再推出得即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵平分， ∴， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______； (3)当时，需运动多少时间？ 【答案】(1)四边形为平行四边形，证明见解析 (2) (3)6或7 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）根据题意得到，根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）根据正方形的定义得，由列方程求解即可； （3）由存在两种情况：一种是四边形是平行四边形；一种是四边形是等腰梯形，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下： 当时， ∵， ∴； 又， ∴， 又, ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∴； ∴点的运动速度为 故答案为：； （3）解：根据题意得：，，则， 若要，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时，即， ∴， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时， 即 ∴， 解得：， 即当或时，． 5．（24-25八年级下·天津·期中）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形： (2)求的值． (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得，即可解决问题； （3）根据题意，分两种情况分析：当线段与夹角为时，即，当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴． （3）解：如图，当线段与夹角为时，即， ∴， 如图所示： 由（1）得， ∴， ∴； 当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F， ∴， 如图所示： ∴， ∴； 综上可得：或． 6．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）综合与实践 【教材再现】 （1）如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点．直接写出线段，，的数量关系：_______． 【变式思考】 （2）如图2，在矩形中，是边上的一点，于点，，，．求证：四边形是正方形． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形中，是边上的一点，于点，过点作，交的延长线于点，，交于点．试探究线段，，的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）证明可得：，，利用等量代换即可证明； （2）根据矩形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是正方形； （3）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到． 【详解】解：结论：． 理由：是正方形， ，， ， ， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）证明：，，则 ，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （3）解：，理由如下： ，，，则 ， 四边形是矩形， ， 同理（2）可得， 四边形是正方形， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$