第三章 概率初步（压轴题特训）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第三章 概率初步（压轴题特训） 一、单选题 1．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 3．生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（   ） A． B． C． D． 4．电路图是人们为研究工程规划的需要，用物理电学标准化的符号绘制的一种表示各元器件组成及器件关系的原理布局图．如图所示，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡、，同时闭合开关．，，可以使小灯泡、发光．对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是（    ） A．闭合开关，，中的1个，灯泡发光是不可能事件 B．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是随机事件 C．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是必然事件 D．闭合开关，，中的2个，灯泡、发光的概率相同 5．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（   ）个 A．15 B．8 C．16 D．18 6．巴黎2024年奥运会官方发行彩色银币套装，以巴黎奥运会吉祥物运动元素为主题，银币正面为统一设计，背面为奥运会吉祥物进行代表性运动项目的场景．如图所示为该套装内运动项目为橄榄球、滑板、街舞、网球的银币，将其正面朝上洗匀放好，从中随机一次性拿出两枚银币，则这两枚银币上的运动项目都是球类项目的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 8．北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（   ） A． B． C． D． 9．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（   ） A．2500 B．2700 C．2800 D．3000 10．在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 11．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面四个推断中正确的是（    ） ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 12．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 13．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 14．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（    ） A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 15．数学兴趣小组在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率 B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为3的倍数的概率 C．从装有3个红球、2个黄球的袋子中，随机摸出1个球为红球的概率 D．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张，牌的花色是红桃的概率 16．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 17．小华把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 18．如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（　　　）． A． B． C． D． 二、填空题 19．“赵爽弦图"巧妙地利用图形的面积天系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 20．用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    21．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．    三、解答题 22．小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项A、B、C、D，正确答案是A；第二道单选题有3个选项E、F、G，正确答案是E．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项） (1)如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是________； (2)若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关的概率； 23．“二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． (2)小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 24．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（） 频数 频率 A B 20 C D 4    根据图表信息，回答下列问题： (1)表中___，___； (2)若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___； (3)学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 25．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为______  (精确到0.1) (2)盒子里约有白球_______个 (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少 26．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 (1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； (4)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 27．某市林业局要考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，请你根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______；（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵，根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 28．中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． (1)小华选取到《九章算术》是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）； (2)小颖恰好选取到《几何原本》的概率为 ； (3)将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率． 29．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 30．某校对九年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩分（为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用、、、表示），等级：，等级：，等级：，等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： (1)上表中的______，______，______． (2)请补全条形图．（其中表示女生的长条要涂黑） (3)若从等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用树状图或表格求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率初步（压轴题特训） 一、单选题 1．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表格或树状图求概率，掌握列表格或树状图求概率的一般步骤是解题的关键．先列出表格，利用概率公式求出四种情况的概率，再比较即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 第一次第二次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 2 3 0 3 0 1 2 3 0 1 4 1 2 3 0 1 2 5 2 3 0 1 2 3 6 3 0 1 2 3 0 朝上的面上的两个数字之和除以4，余数为0的有9个，； 余数为1的有8个，； 余数为2的有9个，； 余数为3的有10个， ， 最大． 故选：D 2．如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从E出口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有6种，李师傅恰好从E出口驶出的结果有2种， 则李师傅恰好从E出口驶出的概率为， 故选：B． 3．生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解答本题的关键． 先列表求出所有等可能的结果，再找出高茎豌豆可能的结果种数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表格如下： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 共有种等可能的结果，其中后代出现高茎绿色豌豆的有种， 所以理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为， 故选：B． 4．电路图是人们为研究工程规划的需要，用物理电学标准化的符号绘制的一种表示各元器件组成及器件关系的原理布局图．如图所示，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡、，同时闭合开关．，，可以使小灯泡、发光．对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是（    ） A．闭合开关，，中的1个，灯泡发光是不可能事件 B．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是随机事件 C．闭合开关，，中的2个，灯泡发光是必然事件 D．闭合开关，，中的2个，灯泡、发光的概率相同 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，用列表法或画树状图法求概率，逐个闭合开关，，中的1个即可判断A；分别闭合开关和，和，和即可判断B，C；画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有2种，灯泡发光的结果有2种，然后由概率公式求解即可判断D． 【详解】对于A，闭合开关，，中的任何1个，灯泡都不发光， 所以灯泡发光是不可能事件，故选项A不符合题意； 对于B，闭合开关，，灯泡不发光； 闭合开关，，灯泡发光； 闭合开关，，灯泡不发光， 所以灯泡发光是随机事件，故选项B不符合题意； 对于C，闭合开关，，灯泡发光； 闭合开关，，灯泡不发光； 闭合开关，，灯泡不发光， 所以灯泡发光是随机事件，不是必然事件，故选项C符合题意； 对于D，由图可知，闭合开关，能让灯泡发光，闭合开关，能让灯泡发光， 画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有2种，灯泡发光的结果有2种， 所以灯泡发光的概率灯泡发光的概率， 即灯泡、发光的概率相同，故选项D不符合题意． 故选：C． 5．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（   ）个 A．15 B．8 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中黄球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黄球约有15个， 故选：A． 6．巴黎2024年奥运会官方发行彩色银币套装，以巴黎奥运会吉祥物运动元素为主题，银币正面为统一设计，背面为奥运会吉祥物进行代表性运动项目的场景．如图所示为该套装内运动项目为橄榄球、滑板、街舞、网球的银币，将其正面朝上洗匀放好，从中随机一次性拿出两枚银币，则这两枚银币上的运动项目都是球类项目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【详解】解：根据题意作出树状图如下， 由树状图可知，随机一次性拿出两枚银币，共有12种等可能的结果， 其中两枚银币上的运动项目都是球类项目的结果有2种， 所以，两枚银币上的运动项目都是球类项目的概率为． 故选：A． 7．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率是解题的关键，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， 则估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为． 故选B． 8．北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 9．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（   ） A．2500 B．2700 C．2800 D．3000 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据图表中数据得出种子的发芽率大约，进而利用需要保证的发芽数为2500粒，则需试验的种子数粒数为x，得出等式求出即可 【详解】解：利用图表中数据可得出：种子的发芽率大约， ∴需要保证的发芽数为2500粒，则需试验的种子数粒数为x，根据题意得出： ， 解得：， ∴需试验的种子数最接近的粒数为2700. 故选：B 10．在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．先根据图得到黄球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式表示出，求解即可． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在附近 解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 11．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面四个推断中正确的是（    ） ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球（个），故本选项推理正确； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误． 所以，正确的推断是②③． 故选：C 【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 12．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 13．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】A 【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案． 【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意； 取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意； 取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意； 取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 14．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（    ） A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 【答案】B 【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为x cm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可． 【详解】解：假设不规则图案的面积为x cm2， 由已知得：长方形面积为10cm2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上：=0.35， 解得：x=3.5， ∴不规则图案的面积大约为3.5cm2， 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简． 15．数学兴趣小组在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率 B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为3的倍数的概率 C．从装有3个红球、2个黄球的袋子中，随机摸出1个球为红球的概率 D．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张，牌的花色是红桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.6附近波动，即其概率P≈0.6，计算四个选项的概率，约为0.6者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； B、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为3的倍数的概率为，故此选项不符合题意； C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率为，故此选项符合题意； D．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张，牌的花色是红桃的概率为，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解． 16．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】C 【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】解：由题可得：312（个）． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 17．小华把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形和正方形的面积公式及概率公式即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的面积为4×4=16，阴影区域的面积为×4×1+ ×2×3=5， ∴飞镖落在阴影区域的概率是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是求出阴影部分的面积与总面积的比． 18．如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（　　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，根据树状图的方法分析，即可得到答案． 【详解】画树状图如下： 根据题意，共有12种等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的结果有2种 ∴同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率为：= 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图的性质，从而完成求解． 二、填空题 19．“赵爽弦图"巧妙地利用图形的面积天系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，由题意得中间小正方形的边长为，得出面积为，然后除以大正方形面积即可，正确掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∴面积为：， ∴飞镖落在阴影小正方形内的概率是， 故答案为：． 20．用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率问题，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 21．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， ， 大正方形的面积， 小球停留在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 三、解答题 22．小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项A、B、C、D，正确答案是A；第二道单选题有3个选项E、F、G，正确答案是E．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项） (1)如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是________； (2)若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是； （2）解：∵小明将“求助”留在第二道题使用， ∴假设去掉一个错误答案， 列表可得： 第一题第二题 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小明通关的情况有种， ∴小明通关的概率为． 23．“二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． (2)小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：小王从中随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，抽中A（秋分）的情况只有1种， ∴； （2）由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的结果共有7张， ∴． 24．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（） 频数 频率 A B 20 C D 4    根据图表信息，回答下列问题： (1)表中___，___； (2)若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___； (3)学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 【答案】(1)0.55；12 (2)660名 (3)树状图见解析，甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为 【分析】（1）由扇形统计图可得的百分比，用表格中的频数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数乘以扇形统计图中的百分比可得的值，进而可得等级的频数，用等级的频数除以抽取的学生人数可得的值． （2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中等级的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果，以及甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人， ， 等级的频数为， ． 故答案为：0.55；12． （2）解：（人． 估计该校成绩为等级的学生人数约为660人． 故答案为：660． （3）解：解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种， ∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、频数与频率、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 25．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为______  (精确到0.1) (2)盒子里约有白球_______个 (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少 【答案】(1)0.6 (2)24 (3)12 【分析】本题考查了由频率估计概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据表格的数据即可得解； （2）用总数乘以概率即可得解； （3）根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由表格可得：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为， （2）解：估算盒子里约有白球(个)； （3）解：根据题意知，， 解得， 答：推测x可能是12． 26．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 (1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； (4)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)120；72 (2)补图见解析 (3)136 (4)选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． （1）由“一般”人数除以“一般”所对应的扇形的百分数，得出总人数；再由“优秀”所对应百分比乘以360°，得出扇形的圆心角度数； （2）按照良好的百分比乘以总人数120，补充统计图即可； （3）根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解； （4）画出树状图，由概率公式即可得出答案； 【详解】（1）人； “优秀”的百分比为： 对应的度数为：； （2）良好的人数为：人； （3）人； （4）画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 27．某市林业局要考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，请你根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______；（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵，根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)80000棵 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）（棵） 答：估计还需要移植80000棵． 28．中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． (1)小华选取到《九章算术》是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）； (2)小颖恰好选取到《几何原本》的概率为 ； (3)将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率． 【答案】(1)随机事件 (2) (3) 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，以及概率公式的应用， （1）根据随机事件的含义可得答案； （2）根据题意共有4中可能得结果，满足题意得只有1种，利用概率公式求解即可； （3）利用列表法将所有可能得结果列出，找到满足题意得6种结果，结合概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，小华选取到《九章算术》是随机事件； （2）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《几何原本》的结果有1种，则．小颖恰好选取《几何原本》的概率为； （3）解：列表如下： B C B C 共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为． 29．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 30．某校对九年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩分（为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用、、、表示），等级：，等级：，等级：，等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： (1)上表中的______，______，______． (2)请补全条形图．（其中表示女生的长条要涂黑） (3)若从等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用树状图或表格求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)，，； (2)见解析； (3)树状图见解析，抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为． 【分析】本题考查了用树状图与列表法求概率，直方图与统计表，概率公式，理解直方图与统计表是解答关键． （1）根据等级的人数和所占的百分比列式计算求出本次共抽取的学生人数，用减去、、所占的百分比求出，再用总人数乘和所占的百分比来求解； （2）根据（1）的结果补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好是一男一女的结果有种，再用概率公式求解． 【详解】（1）解：本次调查共抽取的学生人数为：（人）， （人），， （人）． 故答案为：，，． （2）解：根据（1）中计算结果补全条形统计图如下 （3）解：画树状图如图： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好是一男一女的结果有种， ∴抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$