专题08 概率统计与计数原理-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（浙江专用）

专题08 概率统计与计数原理 题型概览 题型01概率运算 题型02统计 题型03排列组合 题型04二项式定理 题型05 离散型随机变量及其分布 题型06 新定义 ( 题型01 ) 概率运算 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）（多选） 现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D. 若再给甲一次选择机会，则甲换号后中奖概率不变 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误； 对于B，，，，， 则， 因此，B正确； 对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子， 若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误. 故选：BC 2.（2025·浙江金华·一模）（多选）从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（ ） A. B. C. 时，为定值 D. 数列的最大项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】还原情境，求出和，逐项判断即可求解. 【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为， 若要行走次时恰好第一次回到点，则第1、2次均不到点A, 所以，故A选项正确； 若要行走次时恰好第二次回到点，则第2次必须回到点A，概率为，故B选项错误； 若要行走次时恰好为第一次回到点，则次均未到达点A，所以， 所以为定值，故C选项正确； 当时，； 当时，设第次第一次到达点A，第n次恰好第二次到达点A， 由于第1次和第次的行走不用限制，所以此时概率为， 所以， 令，解得， 所以， 所以和为最大值，故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解题意还原情境求出和. 3.（2025·浙江宁波·一模）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】列举第一轮中甲得1分的情况，结合排列组合以及乘法公式即可求解. 【详解】若第一轮在第一轮中得1分， 若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2， 若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3， 若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4， 若第一轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有， 因此第一轮中甲得1分的概率为, 在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球即可，故概率为， 因此甲在两轮中共得2分的概率为， 故答案为： 4.（2025·浙江绍兴·一模）已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，再结合古典概率模型即可求解． 【详解】由题意可得：， ， ， ， 若，则， 从各随机从中选一个，共有种情况； 若， 可分为三类： 都取0，一种情况； 中两个取0，一个取1，一个取，共有， 中两个取1，两个取，共有， 共计19种情况， 所以的概率为：． 故答案为： 5.（2025·浙江台州·一模）台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到44的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列法求得总的方法数为，利用间接法求得两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的方法数为，从而可求概率. 【详解】从16个格子中选4个排4个人有种排法， 两个男生既不同行也不同列的排法有种排法， 两个女生也既不同行也不同列的排法有种排法， 两名女生与两名男生排在一起的排法有， 两名女生中有一名与男生排在一起的排法有， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列（每人一格）有种， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是:. 故选：D 【点睛】关键点点睛：重点在于求得4个各站一格且两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的方法数，适用间接法. ( 题型0 2 ) 统计 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大 C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小 【答案】C 【解析】 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱， 但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确 对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确； 对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差. 所以相关系数的绝对值越趋于0，故C正确； 对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确； 故选：C 2.（2025·浙江温州·一模）（多选）观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由相关关系对应的图形是散点图，能反映两个变量的变化规律才具有相关关系直接可以判断. 【详解】相关关系对应的图形是散点图，ABC都能反映两个变量的变化规律，它们都具有相关关系； D中的点散乱地分布在坐标平面内，不能反映两个变量的变化规律，不具有相关关系． 故选：ABC. 3.（2025·浙江宁波·一模） 研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（ ） A. 7 B. 7.5 C. 7.8 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算公式即可求解. 【详解】由于 样本数据的第60百分位数值是：小时； 故选：B 4.（2025·浙江绍兴·一模）（多选） 随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 则块试验田的亩产量数据中（ ） A. 中位数低于 B. 极差不高于 C. 不低于的比例超过 D. 第百分位数介于至之间 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数、极差和百分位数的定义直接判断即可. 【详解】由题知，共块，所以其中位数为第和第个数据的平均数， 由表格知，这两个数据均在内，故A错； 由表格知，极差最大为，故B正确； 由表格知，不低于的比例为，C正确； 因为， 所以第百分位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由表格知，这两个数据均在内， 所以第百分位数介于至之间，D错. 故选：BC 5．（2025·浙江台州·一模）已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（ ） A. 6.6 B. 5 C. 1 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本中心在回归直线上求解. 【详解】因为经验回归方程为，且，， 所以， 故选：C ( 题型0 3 ) 排列组合 1.（2025·浙江金华·一模） 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种 【答案】16 【解析】 【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有种选法， 其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种， 所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种. 故答案为：16 ( 题型0 4 ) 二项式定理 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）在的展开式中，的系数为，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由二项式的展开式，令的次数为1，此时的系数等于10建立等式，解出的值. 【详解】， 令，则， ∴. 故答案为：5. 2.（2025·浙江绍兴·一模）的展开式中常数项为______ ． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式,再令 的指数为0,解出,进而可求出常数项. 【详解】 的展开式中的通项公式：. 令-6=0，解得r=4． ∴的展开式中常数项为:=60． 故答案为60． 【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题. ( 题型0 5 ) 离散型随机变量及其分布 1.（2025·浙江台州·一模）（多选）下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从分布，且，则 D. 若随机变量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从分布，且，则，故错误； D.由随机变量满足，则， 所以，故正确； 故选：ABD 2.（2025·浙江温州·一模） 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先确定分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望. 【详解】玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，故. 玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出，，，，，故. 玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故. 设玩家投掷次即可到达终点，那么第次掷得的点数可以为，分别记作，，，，，则玩家投掷次的基本事件是投掷次的倍，能到达终点的掷法：之前的对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，.是投掷次即可到达终点的倍. 所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以. 所以 即 两边同乘以得： 两式相减得：. 故选：D 【点睛】结论点睛：若数列是首项为，公比为的等比数列，当且时，数列的所有项的和为：. ( 题型0 6 ) 新定义 1.（2025·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. （1）若，求此时的信息熵; （2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【答案】（1） （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果； （2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义. 【小问1详解】 当时，，且， ∴， ∴ 【小问2详解】 令，则， ∴ 有题意可知当时，风险最小（最合理）的决定， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 2.（2025·浙江宁波·一模） 开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.的具体计算方式：是的个位数字.例如：若静态密码为，动态校验钥匙，则，从而动态校验码，进而得到四位开柜密码为. （1）若用户最终得到的四位开柜密码为，求所有可能的动态校验钥匙； （2）若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙，求动态校验码的概率分布列； （3）若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙的概率为，其中是互不相等的正数.记得到的动态校验码的概率为，试比较与的大小. 【答案】（1） （2） 0 5 （3）【解析】 【分析】（1）根据，即可分类讨论时的情况求解， （2）根据可得只能是0或5，结合，对分奇偶即可求解个数，进而可求解概率， （3）根据，,分别求解和和的概率，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：静态密码为，动态验证码， 若,则，得，符合题意， 若,则，得，不符合题意， 若,则，得，不符合题意， 若,则，得，不符合题意， 若,则，得，不符合题意， 综上可得， 【小问2详解】 对于三位静态密码，由可得的末位是0或5，即只能是0或5， 又， 当为奇数时，，当为偶数时，， 下面计算为奇数时，的个数， ①均为奇数时，个， ②一奇两偶时，个， 共有个， 所以，进而， 因此分布列为 0 5 【小问3详解】 记事件:得到的动态校验码，事件:得到的动态校验码， 事件:收到动态校验钥匙， 则, 从而， 同理可得, ①对于事件:由第（2）问可知：, 从而,所以， ②对于事件:静态密码对应的, 当或4时，为偶数，得可知， 又当时，,得,可知, 从而，, 所以， ③对于事件:静态密码对应的, 当时，若遍历这十个整数，得的个位数也遍历这十个整数，可知，,从而 当时，若遍历这十个整数，得的个位数遍历，继而有的个位数字也遍历这十个整数，可知，,从而 由①②③可知,即， 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 概率统计与计数原理 题型概览 题型01概率运算 题型02统计 题型03排列组合 题型04二项式定理 题型05 离散型随机变量及其分布 题型06 新定义 ( 题型01 ) 概率运算 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）（多选） 现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D. 若再给甲一次选择机会，则甲换号后中奖概率不变 2.（2025·浙江金华·一模）（多选）从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（ ） A. B. C. 时，为定值 D. 数列的最大项为 3.（2025·浙江宁波·一模）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为______. 4.（2025·浙江绍兴·一模）已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______． 5.（2025·浙江台州·一模）台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到44的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（ ） A B. C. D. ( 题型0 2 ) 统计 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大 C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小 2.（2025·浙江温州·一模）（多选）观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（ ） A. B. C. D. 3.（2025·浙江宁波·一模） 研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（ ） A. 7 B. 7.5 C. 7.8 D. 8 4.（2025·浙江绍兴·一模）（多选） 随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 则块试验田的亩产量数据中（ ） A. 中位数低于 B. 极差不高于 C. 不低于的比例超过 D. 第百分位数介于至之间 5．（2025·浙江台州·一模）已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（ ） A. 6.6 B. 5 C. 1 D. 14 ( 题型0 3 ) 排列组合 1.（2025·浙江金华·一模） 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种 ( 题型0 4 ) 二项式定理 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）在的展开式中，的系数为，则______. 2.（2025·浙江绍兴·一模）的展开式中常数项为______ ． ( 题型0 5 ) 离散型随机变量及其分布 1.（2025·浙江台州·一模）（多选）下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从分布，且，则 D. 若随机变量满足，则 2.（2025·浙江温州·一模） 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( 题型0 6 ) 新定义 1.（2025·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. （1）若，求此时的信息熵; （2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 2.（2025·浙江宁波·一模） 开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.的具体计算方式：是的个位数字.例如：若静态密码为，动态校验钥匙，则，从而动态校验码，进而得到四位开柜密码为. （1）若用户最终得到的四位开柜密码为，求所有可能的动态校验钥匙； （2）若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙，求动态校验码的概率分布列； （3）若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙的概率为，其中是互不相等的正数.记得到的动态校验码的概率为，试比较与的大小. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$