9.1.2分层随机抽样、9.1.3获取数据的途径课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9．1.2&9.1.3　分层随机抽样　获取数据的途径 明确目标 发展素养 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围． 2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法． 3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值． 4.知道获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等. 1.通过对分层随机抽样的学习，培养数学抽象、数据分析素养． 2.在获取数据的过程中，培养数学建模素养. 1．分层随机抽样的定义： 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行_________抽样，再把所有子总体中抽取的样本__________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 简单随机 合在一起 知识点一　分层随机抽样 (一)教材梳理填空 2．比例分配： 在分层随机抽样中，如果每层_______都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．即 样本量 [微思考] (1)什么情况下适用分层随机抽样？ 提示：当总体中个体之间差异较大时可使用分层随机抽样． (2)简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？ 提示：区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样是先将总体分成几层，然后在各层中按比例分配抽取样本． 联系：①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小． ( ) (2)由于分层随机抽样是在各层中按比例抽取，故每个个体被抽到的可能性不一样． ( ) (3)从全班40名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽 样．Q ( ) × × × 2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 (　　) A．抽签法　　　　　　　　 B．按性别分层随机抽样 C．按学段分层随机抽样 D．随机数法 答案：C 3．为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求 (　　) A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等 C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样 D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 答案：C 4．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 (　　) A．9,7 B．10,6 C．8,8 D．12,4 答案：A (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)要得到某乡镇的贫困人口数据，可以通过试验获取数据． ( ) (2)要了解一批节能灯的使用寿命，可以采用普查的方式． ( ) (3)普查获取的资料更加全面、系统，抽样调查更方便、快捷． ( ) 2．下面问题可以用普查的方式进行调查的是 (　　) A．检验一批钢材的抗拉强度 B．检验海水中微生物的含量 C．调查某小组10名成员的业余爱好 D．检验一批汽车的使用寿命 答案：C × × √ 3．下列要研究的数据一般通过试验获取的是 (　　) A．某品牌电视机的市场占有率 B．某电视连续剧在全国的收视率 C．某校七年级一班的男女同学的比例 D．某型号炮弹的射程 答案：D 题型一　分层随机抽样的概念 【学透用活】 [典例1]　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是 (　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 [解析]　A项总体中个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C、D项总体中个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B项总体中个体差异明显，适合用分层随机抽样． [答案]　B [方法技巧] 分层随机抽样的特点 (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． (2)样本能更充分地反映总体的情况． (3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．　　 【对点练清】 某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是 (　　) A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高二学生被抽到的可能性最大 C．高三学生被抽到的可能性最大 D．每位学生被抽到的可能性相等 答案：D　 题型二　分层随机抽样的设计与应用 [探究发现] 怎样确定分层随机抽样中各层入样的个体数？ 【学透用活】 [典例2]　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． [方法技巧] 分层随机抽样的步骤 【对点练清】 某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． [答案]　(1)B　(2)6 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A．90 B．100 C．180 D．300 答案:B　 答案：1 800 [解析]　某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得． [答案]　D [方法技巧] 选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性．　　 【对点练清】 1．为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是 (　　) A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 解析：因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小 明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据． 答案：D　 解析： “中国天眼”主要是通过观察获取数据． 答案：C　 (1)＝. (2)＝. 3．样本平均数的计算公式： 在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，，总体的样本平均数为，则＝　＋＝＋. 我们可以用样本平均数估计总体平均数. 知识点二　获取数据的途径 (一)教材梳理填空 解析：按照分层随机抽样，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于＝. 提示：在实际操作时，应先计算出抽样比＝，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝×该层个体数目．　　　 [解]　抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本． 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法． 具体过程如下： 第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层． 第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．第四步，将300人合到一起，即得到一个样本． 题型三　分层随机抽样中的相关计算 【学透用活】 [典例3]　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 (　　) A．101　　　　　　　　 B．808 C．1 212 D．2 012 (2)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________． [解析]　(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以驾驶员的总人数为 (12＋21＋25＋43)÷＝808(人)． (2)＝×3＋×8＝6. [方法技巧] 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的3个关系 (1)＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． (3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ＝＋＝＋.　　 【对点练清】 1．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 (　　) 解析：设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层随机抽样的特点得＝，解得x＝180. 答案：C　 2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为 (　　) A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m 解析：由题意得我国13岁男孩的平均身高为＝1.56 m. 3．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 解析：由题设，抽样比为＝.设甲设备生产的产品总数为x件，则＝50，所以x＝3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800. 题型四　获取数据途径的选择 【学透用活】 [典例4]　下列哪些数据一般是通过试验获取的 (　　) A．1988年济南市的降雨量 B．2020年新生儿人口数量 C．某学校高一年级同学的数学测试成绩 D．某种特效中成药的配方 2．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five hundred meters Aperture Spherical Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是 (　　) A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中进行问卷调查，如果要在所有问卷中抽出120份用于评估． (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ (2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，若采用简单随机抽样，则应如何操作？ 解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层随机抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体容量为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比为＝，所以500×＝8,3 000×＝48,4 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8,48,64. 分层随机抽样的步骤： ①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目，在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8,48,64；③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论． (2)如果用抽签法，要做3 000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是：第一步，将3 000份问卷都编上号码：0001,0002，0003，…,3000；第二步，用随机数工具产生1～3 000范围内的随机数；第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的问卷进入样本；第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量． 二、应用性——强调学以致用 2．一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的 沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”“我是因祸得福，落榜使我走上了另一条成功之路”，等等．小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜，他的结论正确吗？ 解：小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性． $$