9.2.1总体取值规律的估计总体集中趋势课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9．2　用样本估计总体 9．2.1　总体取值规律的估计 明确目标 发展素养 1.选择适当的统计图表对数据进行可视化描述． 2.结合实例，理解并掌握统计图表的画法及应用，能用样本估计总体的取值规律. 1.通过对统计图表的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2.通过应用统计图表估计总体的取值规律，培养数据分析素养. 极差为一组数据中________________的差． 第二步，决定组距与组数． 第三步，将数据分组． 通常对组内数据取”__________区间，最后一组数据取闭区间． 最大值与最小值 左闭右开 知识点一　频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 (一)教材梳理填空 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)用样本的频率分布可以估计总体分布． ( ) (2)频率分布直方图的纵轴表示频率． ( ) (3)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数． ( ) 2．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为 (　 ) A．10组　　　　　　　　　 B．9组 C．8组 D．7组 √ × × 答案：A 3．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)内的汽车有 (　　) 答案：C 知识点二　其他几类常用的统计图 (一)教材梳理填空 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的______ 条形图和 直方图 直观描述不同类别或分组数据的____________ 折线图 描述数据随______的变化趋势 比例 频数和频率 时间 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)解决统计类问题时常需要将若干种统计图结合，不能孤立分开．( ) (2)扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例． ( ) 2．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到 (　　) 答案：D 3．某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________． 答案：0.1 [探究发现] (1)要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？ 提示：分组、频数累计、计算频数和频率． (2)画频率分布直方图时，如何决定组数与组距？ 题型一　频率分布直方图的绘制 (3)同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？ 提示：不同．对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有一定的影响．为了方便，往往按等距分组，或者除了第一和最后的两段，其他各段按等距分组．　　　 【学透用活】 [典例1]　某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)： 48　64　52　86　71　48　64　41　86　79 71　68　82　84　68　64　62　68　81　57 90　52　74　73　56　78　47　66　55　64 56　88　69　40　73　97　68　56　67　59 70　52　79　44　55　69　62　58　32　58 根据上面的数据，回答下列问题： (1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？ (2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图． (3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？ [解]　(1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分． (2)根据题意，列出样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [30,40) 1 0.02 [40,50) 6 0.12 [50,60) 12 0.24 [60,70) 14 0.28 [70,80) 9 0.18 [80,90) 6 0.12 [90,100] 2 0.04 合计 50 1.00 频率分布直方图如图所示： 【对点练清】 如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm). 区间 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人数 5 8 10 22 33             区间 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]   人数 20 11 6 5   (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比． 解：(1)样本频率分布表如下： 分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 分组 频数 频率 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计 120 1.00 (2)其频率分布直方图如下： (3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%. 题型二　频率分布直方图的应用 【学透用活】 [典例2]　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 【对点练清】 1．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 (　　) 答案:D　 2．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50～350千瓦时范围内，频率分布直方图如图所示． A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月 C．2018年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比 较平稳 [解析]　由2018年1月至2020年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2018年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选C. [答案]　C 【对点练清】 1．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图： 则下面结论中不正确的是 (　　) A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案：A 答案：甲 分组 频数 频率 0≤t<5 0 0 5≤t<10 10 0.10 10≤t<15 10 ② 15≤t<20 ① 0.50 20≤t≤25 30 0.30 合计 100 1.00 一、综合性——强调融会贯通 1．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图． 答案：C　 第四步，列频率分布表． 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表，表格形式如下： 第五步，画频率分布直方图． 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示. A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆 A．79% B．80% C．18% D．82% 提示：若为整数，则＝组数． 若不为整数，则＋1＝组数． 注意：[x]表示不大于x的最大整数． (3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头小、中间大，左右基本对称，说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布． [方法技巧] 绘制频率分布直方图应注意的问题 (1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．　　 (2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组．在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.　　 [解]　(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08. 又因为第二小组的频率＝， 所以样本容量＝＝＝150. (2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%. [方法技巧] 频率分布直方图的性质 (1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)样本量＝.　　 A．56 B．60 C．120 D．140 解析：由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D. (1)直方图中x的值为________； (2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． 解析：(1)第一组的频率为0.002 4×50＝0.12， 第二组的频率为0.003 6×50＝0.18， 第三组的频率为0.006 0×50＝0.3， 第五组的频率为0.002 4×50＝0.12， 第六组的频率为0.001 2×50＝0.06， 所以第四组的频率为1－0.12－0.18－0.3－0.12－0.06＝0.22，所以x＝0.22÷50＝0.004 4. (2)用电量落在区间[100,250)内的户数为第二、三、四组的数据，所以(0.18＋0.3＋0.22)×100＝0.7×100＝70. 答案：(1)0.004 4　(2)70 题型三　其他统计图及应用 【学透用活】 [典例3]　某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2018年1月至2020年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 (　　) [方法技巧] 折线统计图的读图方法 (1)读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；其次要明确图中的数量及其单位． (2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．　　 解析：设新农村建设前经济收入为a万元，种植收入占比60%，即种植收入是a×60%＝0.6a万元， 新农村建设后经济收入为2a万元，种植收入占比37%，即种植收入是2a×37%＝0.74a万元，0.6a<0.74a，故选A. 2．甲、乙两个城市2020年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________城市．(填“甲”或“乙”) 解析：这9天里，乙城市的最高气温约为35 ℃，最低气温约为20 ℃；甲城市的最高气 温约为25 ℃，最低气温约为21 ℃.故甲城市气温比较稳定． 解答下列问题： (1)这次抽样的样本量是多少？ (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图． (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？ 解：(1)样本量是100. (2)①50　②0.10　所补频率分布直方图如图中的阴影部分． (3)设旅客平均购票用时为t min，则有 ≤ t<，即15≤t<20. 所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组15≤t<20中． 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．为了比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如图中甲的数学抽象能力指标值为4，乙的数学抽象能力指标值为5，则下面叙述正确的是 (　　) A．乙的逻辑推理能力指标值优于甲的逻辑推理能力指标值 B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 解析：由图易知，乙的逻辑推理能力指标值为3分，而甲的逻辑推理能力指标值为4分，故A错误；甲的数学建模能力指标值为3分，乙的直观想象能力指标值为5分，故B错误；乙的六维能力指标值有3项优于、1项等于甲的六维能力指标值，故C正确；甲的数学运算能力指标值为4分，而甲的直观想象能力指标值为5分，故D错误． $$