9.2.2总体百分位数的估计、9.2.3总体集中趋势的估计课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9．2.2&9.2.3　总体百分位数的估计　总体集中趋势的估计 明确目标 发展素养 1.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 2.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 通过总体百分位数的估计，平均数、中位数、众数的计算及应用，培养数学运算、数据分析、数学抽象素养. p% 2．求百分位数的步骤： 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从_______排列原始数据． 第2步，计算i＝________. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_______． 小到大 n×p% 平均数 [微思考] (1)班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ 提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． (2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分． 答案：A √ × × 答案：A 知识点二　总体集中趋势的估计 (一)教材梳理填空 1．众数、中位数和平均数的定义： (1)众数：一组数据中______________的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_____位置的数．如果个数是偶数，则取______两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的____除以数据个数所得到的数． 出现次数最多 中间 中间 和 2．众数、中位数和平均数的比较： 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 续表名称 优点 缺点 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 3．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系： (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的_______与小矩形的_____的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______． (3)众数：众数是_____小矩形底边的中点所对应的数据． 横坐标 面积 相等 最高 [微思考] (1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？ 提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数． (2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？ 提示：一组数据的众数可能一个都没有(这组数全不相等)，可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)一组数据中的平均数和中位数都不一定是原数据中的数． ( ) (2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． ( ) (3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． ( ) 2．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是 (　　) A．84,85 B．84,84 C．85,84 D．85,85 答案：B 3．已知一组数据7.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么这组数据的平均数为________． 答案：8.0 √ × × (1)第p百分位数有什么特点？ 提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%. (2)某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？ 提示：不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在． 题型一　百分位数的计算及应用 [探究发现] 【学透用活】 [典例1]　(1)已知甲、乙两组数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 [答案]　(1)2.5　1　9.5　12　(2)124.44 [答案]　(1)A　(2)D 答案：9.6　9.6 答案：A　 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图． 日期 2月 2月 2月 2月 2月 14日 15日 16日 17日 18日 销售 白天 35 32 43 39 51 量/件 晚上 46 42 50 52 60 已知摊位租金900元/档，售余精品可以进货价退回厂家． (1)求表中10个销售数据的中位数和平均数． (2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有．如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？ 知识点一　总体百分位数的估计 (一)教材梳理填空 1．百分位数： (1)把n个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第(p＋1)个数据分别为a，b，区间(a，b)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．一般地，我们取这两个数的平均数＝c，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数． (2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 3．四分位数： 常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若一组样本数据各不相等，则其第65%分位数大于第15%分位数．( ) (2)若一组样本数据的第20%分位数是30，则在这组数据中有20%的数据大于30. ( ) (3)若一组数据有80个，按从小到大排列，第80百分位数为第64项数据． ( ) 2．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是 (　　) A．第50百分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C．它一定是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据 3．下列一组数据的第25百分位数是 (　　) 2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6 A．3.2　　　　　　　　　 B．3.0 C．4.4 D．2.5 则甲、乙两组数据的第25%分位数分别为________，________；第75%分位数分别为________，________. (2)如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________．(结果保留两位小数) [解析]　(1)因为数据个数为20，且20×25%＝5，20×75%＝15，所以甲组数据的第25%分位数为＝2.5， 乙组数据的第25%分位数为＝1， 甲组数据的第75%分位数为＝9.5. 乙组数据的第75%分位数为＝12. (2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%， 因此，80%分位数一定位于[120,130)内． 由120＋×10≈124.44， 故此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44. [方法技巧] 频率分布直方图中第p百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)．　　 【对点练清】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. (1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数； (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量； (3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准． 解：(1)将所有数据从小到大排列，得 7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3， 12×75%＝9，12×95%＝11.4，则第25百分位数是＝8.15， 第75百分位数是＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9. (2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9. (3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品． 【学透用活】 [典例2]　(1)一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为 (　　) A．14,14　　　　　　　 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 (2)已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16, 18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有 (　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a [解析]　(1)把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18, 19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14. (2)由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，所以c＞b＞a. [方法技巧] 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算． [提醒]　如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值． 【对点练清】 1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是 (　　) A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分 C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分 解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为 ＝87. 答案：C　 2．某校在一次学生演讲比赛中，共有7个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分的平均分．某学生所得分数为9.6,9.4,9.6,9.7,9.7,9.5,9.6，这组数据的众数是________，该学生最后得分为________． 解析：根据题意，得这组数据的众数为9.6，去掉一个最高分和一个最低分后的平均数为＝9.6，故最后得分为9.6. 题型三　频率分布直方图中集中趋势参数的计算 【学透用活】 [典例3]　某校从参加高二年级学业水平测试的800名学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分； (4)试估计这次测试高二年级80分以上的学生人数． [解]　(1)由图知众数为＝75. (2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3. (3)由图知这次测试数学成绩的平均分为： 45×0.005×10＋55×0.015×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.005×10＝72. (4)因为[80,90)分的频率为0.025×10＝0.25，[90,100]分的频率为0.005×10＝0.05，所以估计这次测试高二年级80分以上的学生人数为800×(0.25＋0.05)＝240. [深化探究] 如何用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数及百分位数． 提示：(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标作为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(4)第p百分位数：①确定第p百分位数所在的区间[a，b)；②确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为x%，y%，则第p百分位数为a＋×(b－a)．　　 [方法技巧] 频率分布直方图的性质 (1)小长方形的面积＝组距×＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. (3)小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为. [提醒]　要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系．　　 【对点练清】 1.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是 (　　) A．32.5 mm B．33 mm C．33.5 mm D．34 mm 解析：棉花0纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%， 在35 mm以下的比例为85%＋10%＝95%， 因此，90%分位数一定位于[30,35]内． 由30＋5×＝32.5，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm. 2.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05. 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65.又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65. (2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分． (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 解：(1)(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5. 即直方图中x的值为0.007 5. (2)月平均用电量的众数是＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， (0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内． 设中位数为a，则0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5， 解得a＝224，即中位数为224. (3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有15户，月平均用电量在[260,280)的用户有10户，月平均用电量在[280,300]的用户有5户，故抽取比例为＝.∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)． 二、应用性——强调学以致用 2．寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据. 解：(1)中位数为＝44.5，平均数为 ＝45. (2)由题知，今年花市期间该摊位销售精品的销售量与时间段有关，明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担．今年白天的平均销售量为＝40(件/天)，今年晚上的平均销售量为＝50(件/天)， 所以甲同学应分担的租金为900×＝400(元)， 乙同学应分担的租金为900×＝500(元)． [析题建模]　(1)根据表中数据计算中位数及平均数即可． (2)计算今年花市期间白天与晚上的平均销售量，按此比例收取甲、乙两人的租金比较合理． $$